導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中的兩個(gè)重要不等式 論文

導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中的兩個(gè)重要不等式摘要：自新課程改革以來(lái)，以導(dǎo)數(shù)為工具在解決曲線的切線、討論函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、恒成立與存在性問(wèn)題、不等式的證明等成為各省市高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，這類問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法要求較高，具有很強(qiáng)的綜合性和靈活性，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，在高考中常以壓軸題的形式出現(xiàn)，在解決這類問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到兩個(gè)常見(jiàn)的不等式，利用這兩個(gè)不等式可以將問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的作用，現(xiàn)在主要來(lái)介紹這兩個(gè)不等式及應(yīng)用。關(guān)鍵詞：指數(shù)不等式；對(duì)數(shù)不等式；切線方程；單調(diào)性；不等式的應(yīng)用1.兩個(gè)重要不等式引例1：求函數(shù)yxe在點(diǎn)()1,0處的切線方程.分析：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為yf(x0)fx0)(xx0)解：yxe即kyx01則切線方程為：yx1如圖1，直線yx1是曲線yxe在點(diǎn)()1,0處的切線，函數(shù)yxe的圖像始終在切線yx1圖像的上方。exx1.結(jié)論1：對(duì)xR，都有證明：令f(x)exx1，則fx)xe1所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在[)上單調(diào)遞增，則f(xf(0)0圖1)即exx1，故不等式成立.推論1：對(duì)x0，都有exax1恒成立，則a1.證明：令f(x)exax1，且f(0)0，即求f(x)min0，又因?yàn)閒)exa因?yàn)閒(x)在[)是單調(diào)遞增函數(shù)，則fx)f0)1a.（1）當(dāng)a1時(shí)，fx)0，即函數(shù)f(x)在[)上遞增，滿足題意。（2）當(dāng)a1時(shí)，f(x)在,0lna)遞減，在[lna,)上單調(diào)遞增，則f(x)minf(lna)f(0)，不滿足題意。綜上：則a的取值范圍為a1。拓展延伸1：對(duì)xR，都有exax1恒成立，則a1證明：令f(x)exax1，即求f(x)min0，又因?yàn)閒)exa（1）當(dāng)a0時(shí)，f(x)在R上遞增，且x0R,有f(x0)0，不滿足題意，舍去。（2）當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(,lna)上單調(diào)遞減，在[lna,)上單調(diào)遞增，則f(x)f(lna)aalna10令g(a)aalna1，即g(a)0；則ga)lna，所以，g(a)在()1,0單增，在,1[)單減，則g(a)g)1(0，所以g(a)0，則a.1推論2：對(duì)x0，都有exa()1恒成立，則a1.（證明略）拓展延伸2：對(duì)xR，都有exa()1恒成立，則a1.（證明略）引例2：求函數(shù)ylnx在點(diǎn)0,1()處的切線方程.分析：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為yf(x0)fx0)(xx0)解：y1即kyx01則切線方程為：yx1x如圖2，直線yx1是曲線ylnx在點(diǎn)0,1()處的切線，函數(shù)ylnx的圖像始終在切線yx1圖像的下方。lnxx1.（證明略）結(jié)論2：對(duì)x0，都有推論1:對(duì)x0，都有l(wèi)nxax1恒成立，則a1.證明：因?yàn)閘nxax1，即alnx1，則ag(x)max圖2x令g(x)lnx1，則gx)lnxxx2所以g(x)在()1,0上遞增，,1[)遞減，即g(x)max1，則a的范圍為a1推論2：對(duì)x1，都有l(wèi)nxa(x)1恒成立，則a1.證明：令f(x)lnxa(x)1，則fx)1ax（1）當(dāng)a1時(shí)，則fx)0，即f(x)在,1[)遞減，則f(x)f)1(0，滿足。（2）當(dāng)a0時(shí)，則fx)0，即f(x)在,1[)遞增，則f(x)f)1(0，不滿足。（3）當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在1,1(a)上遞增，當(dāng)x1,1(a)時(shí)，f(x)f)1(0，不滿足。綜上所述，a的取值范圍為a1.延伸拓展：對(duì)x0，都有l(wèi)nxa(x)1恒成立，則a1.（證明略）2.不等式的應(yīng)用例1（2017年全國(guó)卷理科第21題節(jié)選）已知函數(shù)f(x)ax2axxlnx,且f(x)0，求a.解：由結(jié)論2的延伸拓展可知，a1.例2（2012年山東省理科數(shù)學(xué)第22題）已知函數(shù)f(x)lnx1.xex,0g(x)1e2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)(x2x)fx),其中f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)分析：引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，基本思路是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求最值，但是如何構(gòu)造函數(shù)是難點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。解：（1）略（2）因?yàn)閒x)1xxlnx,x(,0)，則g(x)x11(xxlnx)xexexe2，令h(x)1xxlnx，則hx)lnx2.e2當(dāng)x(,0e2)時(shí)，hx)0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(e2)時(shí)，hx)0，h(x)單調(diào)遞減。所以h(x)的最大值為h(e2)1e2，即1xxlnx1由結(jié)論1可知：exx1，則x11，所以x11(xxlnx)1xeex因此對(duì)x,0g(x)1e2.小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，分類和整合的思想方法貫穿其中，解題時(shí)常把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題。例3（2018年安慶重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f(x)2lnx2.xe（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)x0時(shí)，都有fx)ln(x)122.exex2解：（1）略；（2）要證明fx)ln(x)12e22exx即證1(xxlnx)ln(x)11(1)xe2由結(jié)論2可知，0ln(x)1x，即證：1xxlnx11。e2令g(x)1xxlnx，則gx)2lnx，當(dāng)0x1時(shí)，gx)0；當(dāng)x1時(shí)，gx)0；e2e2所以函數(shù)當(dāng)g(x)在(,01)上單調(diào)遞增，在(1

e2)上單調(diào)遞減，2e所以g(x)g(1)11，即1xxlnx11。e2e2e2綜上所述，當(dāng)x0時(shí)，都有fx)ln(x)12e22。exx小結(jié)：證明函數(shù)不等式，最終要化歸為構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；利用函數(shù)的特點(diǎn)，挖掘結(jié)構(gòu)特征，注重不等式的合理代換。數(shù)與函數(shù)不等式的綜合，融合了許多知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)方法，導(dǎo)數(shù)是解決與函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)解決問(wèn)