函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和無(wú)窮廣義積分的收斂性判別

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和無(wú)窮廣義積分的收斂性判別一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也叫無(wú)窮級(jí)數(shù)，是由一系列函數(shù)相加而得到的。一般寫(xiě)作：$$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$$其中，$u_n(x)$是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的第n項(xiàng)函數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性與其項(xiàng)函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，以下是一些常用的收斂性判別法：1.Cauchy收斂準(zhǔn)則如果對(duì)于任意正數(shù)$\\epsilon>0$，存在正整數(shù)$N$，當(dāng)$n,m>N$時(shí)，有$|\\sum_{k=n}^{m}u_k(x)|<\\epsilon$，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$收斂。2.比較判別法如果存在另一函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}v_n(x)$，使得對(duì)于某一正整數(shù)$N$，當(dāng)$n>N$時(shí)，有$|u_n(x)|\\leqkv_n(x)$，其中$k$是一個(gè)定值，則：（1）當(dāng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}v_n(x)$收斂時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$絕對(duì)收斂；（2）當(dāng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}v_n(x)$發(fā)散時(shí)，若級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}|u_n(x)|$也發(fā)散，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$發(fā)散。3.比值判別法如果存在正數(shù)$q$，使得$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}=q$，則：（1）當(dāng)$q<1$時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$絕對(duì)收斂；（2）當(dāng)$q>1$時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$發(fā)散；（3）當(dāng)$q=1$時(shí)，不能確定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$的收斂性。4.根值判別法如果存在正數(shù)$p$，使得$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{|u_n(x)|}=p$，則：（1）當(dāng)$p<1$時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$絕對(duì)收斂；（2）當(dāng)$p>1$時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$發(fā)散；（3）當(dāng)$p=1$時(shí)，不能確定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$的收斂性。二、無(wú)窮廣義積分的收斂性判別無(wú)窮廣義積分也稱(chēng)為瑕積分，是指函數(shù)在某一區(qū)間存在一個(gè)或多個(gè)可去奇點(diǎn)，或者積分區(qū)間無(wú)限，但積分仍有意義。無(wú)窮廣義積分的收斂性與積分函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，以下是一些常用的收斂性判別法：1.初等判別法根據(jù)積分函數(shù)的性質(zhì)和出現(xiàn)在被積函數(shù)中的代數(shù)式、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行直接比較推斷。2.常用判別法設(shè)$f(x)$在區(qū)間$I$上連續(xù)，則：（1）如果存在正整數(shù)$k$，使得$\\lim_{x\\rightarrowb^-}(x-b)^kf(x)=A$，則無(wú)窮廣義積分$\\int_a^bf(x)dx$收斂；（2）如果$f(x)$在區(qū)間$I$上連續(xù)且非負(fù)，則$\\int_a^bf(x)dx$收斂的充分必要條件是：積分區(qū)間$I$是有限的且$f(x)$在$I$內(nèi)面積有限；（3）如果$f(x)\\simg(x)$，即$\\lim_{x\\rightarrowb^-}\\frac{f(x)}{g(x)}=1$，其中$g(x)$為一個(gè)收斂的正常廣義積分，則$f(x)$的無(wú)窮廣義積分和$g(x)$的正常廣義積分同斂散；（4）如果$f(x)$在區(qū)間$I$上連續(xù)且非負(fù)，則$\\int_a^bf(x)dx$收斂的充分必要條件是：積分區(qū)間$I$是無(wú)限的且$f(x)$在$I$內(nèi)單調(diào)遞減趨于$0$；（5）如果$f(x)$在區(qū)間$I$上單調(diào)，且$\\int_a^b|f(x)|dx$有限，則$\\int_a^bf(x)dx$收斂。3.Abel判別法設(shè)光滑函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞減且存在有限的積分$\\int_a^bf(x)dx$，光滑函數(shù)$u(x)$在區(qū)間$[a,b]$