數(shù)學(xué)教案－等差數(shù)列

數(shù)學(xué)教案－等差數(shù)列

難點：等差數(shù)列“等差”的特點。公差是每一項（從第2項起）與它的前一項的關(guān)肯定不能把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。

等差數(shù)列通項公式的含義。等差數(shù)列的通項公式由它的首項和公差所完全確定。換句話說，等差數(shù)列的.首項和公差已知，那么，這個等差數(shù)列就確定了。

過程：

一、引導(dǎo)觀看數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10，……

3，0，-3，-6，……

，，，，……

12，9，6，3，……

特點：從其次項起，每一項與它的前一項的差是常數(shù)—“等差”

二、得出等差數(shù)列的定義：（見P115）

留意：從其次項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數(shù)。

1．名稱：AP首項公差

2．若則該數(shù)列為常數(shù)列

3．尋求等差數(shù)列的通項公式：

由此歸納為當(dāng)時（成立）

留意:1等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)

2假如通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP

證明：若

它是以為首項，為公差的AP。

3公式中若則數(shù)列遞增，則數(shù)列遞減

4圖象：一條直線上的一群孤立點

三、例題：留意在中，，，四數(shù)中已知三個可以（）

求出另一個。

例1（P115例一）

例2（P116例二）留意：該題用方程組求參數(shù)

例3（P116例三）此題可以看成應(yīng)用題

四、關(guān)于等差中項：假如成AP則

證明：設(shè)公差為，則

∴

例4《教學(xué)與測試》P77例一：在-1與7之間順次插入三個數(shù)使這五個數(shù)成AP，求此數(shù)列。

解一：∵∴是-1與7的等差中項

∴又是-1與3的等差中項

∴

又是1與7的等差中項∴

解二：設(shè)∴

∴所求的數(shù)列為-1，1，3，5，7

五、推斷一個數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法

1．定義法：即證明

例5、已知數(shù)列的前項和，求證數(shù)列成等差數(shù)列，并求其首項、公差、通項公式。

解：

當(dāng)時

時亦滿意∴

首項

∴成AP且公差為6

2．中項法：即利用中項公式，若則成AP。

例6已知，，成AP，求證，，也成AP。

證明：∵，，成AP

∴化簡得：

=

∴，，也成AP

3．通項公式法：利用等差數(shù)列得通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

例7設(shè)數(shù)列其前項和，問這個數(shù)列成AP嗎？

解：時時

∵∴

∴數(shù)列不成AP但從第2項起成AP。

五、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項公式、等差中項、等差數(shù)列的證明方法

六、作業(yè)：P118習(xí)題3．21-9

七、練習(xí)：

1．已知等差數(shù)列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d（2）a5=20,a20=-35,寫出數(shù)列的通項公式及a100.

2.在數(shù)列{an}中，an=3n-1，試用定義證明{an}是等差數(shù)列，并求出其公差。

注：不能只計算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等幾項等于常數(shù)就下結(jié)論為等差數(shù)列。

3．在1和101中間插入三個數(shù)，使它們和這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，求插入的三個數(shù)。

4．在兩個等差數(shù)列2，5，8，…與2，7，12，…中，求1到200內(nèi)相同項的個數(shù)。

分析：本題可采納兩種方法來解。

（1）用不定方程的求解方法來解。關(guān)鍵要從兩個不同的等差數(shù)列動身，依據(jù)

相同項，建立等式，結(jié)合整除性，查找出相同項的通項。

（2）用等差數(shù)列的性質(zhì)來求解。關(guān)鍵要抓住：兩個等差數(shù)列的相同項按原來的前后次序仍組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)。

5．在數(shù)列{an}中,a1=1,an=,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.證明數(shù)列是等

差數(shù)列，并求Sn。

分析：只要證明(n≥2)為一個常數(shù)，只需將遞推公式中的an轉(zhuǎn)化

為Sn-Sn-1后再變形，便可達(dá)到目的。

6．已知數(shù)列{an}中，an-an-1=2(n≥2),且a1=1，則這個數(shù)列的第10項為（）

A18B19C20D21

7．已知等差數(shù)列{an}的前三項為a-1,a+1,2a+3,則此數(shù)列的公式為（）

A2n-5B2n+1C2n-3D2n-1

8.已知m、p為常數(shù)，設(shè)命題甲：a、b、c成等差數(shù)列；命題乙：ma+p、mb+p、mc+p

成等差數(shù)列，那么甲是乙的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件

C充要條件D既不必要也不充分條件

9．（1）若等差數(shù)列{an}滿意a5=b,a10=c(b≠c),則a15=（）

（2）首項為-12的等差數(shù)列從第8項開頭為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（）

（3）在正整數(shù)100至500之間能被11整除的整數(shù)的個數(shù)是（）

10．已知a5=11,a8=5,求等差數(shù)列{an}的通項公式。

11．設(shè)數(shù)列{an}的前n項Sn=n2+2n+4(n∈N*)

(1)寫出這個數(shù)列的前三項a1,a2,a3;

(2)證明：除去首項后所成的數(shù)列a2,a3,a4…是等差數(shù)列。

12．已知兩個等差數(shù)