蘇教版高中數(shù)學(xué)2-2 1.5.3 微積分基本定理 學(xué)案

1.5.3微積分基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：微積分基本定理及利用定理求會(huì)用定積分求曲邊梯形的面積．

定積分．難點(diǎn)：利用定積分求較復(fù)雜的圖形的面積.微積分基本定理對(duì)于被積函數(shù)如果F＝b)＝ 亦 ＝Fb)a－F(a)．預(yù)習(xí)交流1做一做12d＝ .0預(yù)習(xí)交流2做一做(cosx1)＝ .0預(yù)習(xí)交流3議一議：結(jié)合下列各圖形，判斷相應(yīng)定積分的值的符號(hào)：(1b) 0a(2bg) 0a(3bh) 0aa在預(yù)習(xí)中還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)答案：預(yù)習(xí)導(dǎo)引FbFa) bF)xa 11：預(yù)習(xí)交流2：提示：∵(sinx＋x)′＝cosx＋1，∴(co1)(si＋dn＋－(sin＋0＝0 0預(yù)習(xí)交流3：提示：(1)＞(2)＜(3)＞一、簡(jiǎn)單定積分的求解計(jì)算下列各定積分：(12d；0(2)121

(1－t3)dt；(32xd；1(4)0 (cos＋x)；π(542d；2 1(632d.1思路分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系，求定積分要先找到一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的原函數(shù)，再據(jù)牛頓—萊布尼茨公式寫出答案，找原函數(shù)可結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式表．1．1(＋)＝，則 .0π定積分0

sin(－x)dx＝ .求下列定積分的值：(12 d；11－x2(232d.2微積分基本定理是求定積分的一種基本方法，其關(guān)鍵是求出被積函1數(shù)的原函數(shù)，特別注意y＝x的原函數(shù)是y＝lnx.求定積分時(shí)要注意積分變量，有時(shí)被積函數(shù)中含有參數(shù)，但它不一定是積分變量．定積分的值可以是任意實(shí)數(shù)．二、分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)定積分的求解計(jì)算下列定積分：π 1(1)5|x－3|dx；(2) 02

sin2xdx；(3) 0

e2xdx思路分析：被積函數(shù)帶絕對(duì)值號(hào)時(shí)，應(yīng)寫成分段函數(shù)形式，利用定積分性質(zhì)求解．當(dāng)被積函數(shù)次數(shù)較高時(shí)，可先進(jìn)行適當(dāng)變形、化簡(jiǎn)，再求解．2，0≤<1．設(shè)f(x)＝ 則2f(x)dx＝ .2－x1<≤，02，， 12．(1)設(shè)f(x)＝ 求cos－，>，

f(x)dx；求

x2dx(a＞0)．a(chǎn)a當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)時(shí)，要特別注意原函數(shù)的求解，與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)區(qū)分開(kāi)來(lái)．例如：對(duì)于被積函數(shù)y＝sin其原函數(shù)應(yīng)為y 1 x，而其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為＝－3cos3y′＝3cos3x.三、由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解已知拋物線y＝4－x2.x軸所圍成圖形的面積；x＝0，x＝3，y＝0所圍成圖形的面積．思路分析：畫出圖形，結(jié)合圖形分析定積分的積分區(qū)間，同時(shí)注意面積與積分的關(guān)系．拋物線y＝x2－x與x軸圍成的圖形面積．曲線y＝cosx0≤x 3π與坐標(biāo)軸所圍成的面積． ≤23．(2012a＞0.y＝x所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝ .利用定積分求曲線所圍成的平面圖形的面積的步驟：根據(jù)題意畫出圖形；(3)確定被積函數(shù)；(4)寫出相應(yīng)的定積分表達(dá)式，即把曲邊梯形面積表示成若干個(gè)定積分的和或差；(5)用微積分基本定理及其運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算定積分，求出結(jié)果．1．(2012江西高計(jì)算定積分1 ＋sinx) .1 a2＋d＝＋ln，則a的值 ．1定積分211定積分21

2x＋1dx＝ .|x3|dx的值為 ．5 1 1．由直線x＝2，x＝2，曲線y＝x及x軸所圍圖形的面積是 ．提示：用最精練的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記提示：用最精練的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記.知識(shí)精華 技能要領(lǐng)答案：

12活動(dòng)與探究1：解：(1)∵2x′＝x，∴2xdx＝21x2′dx＝2－0＝2. 2 0 0 14 3(2)∵t－4t′＝1－t，1 3 1

14∴ (1－t)dt＝2

′dt1 1

1 27＝－4－－2－4(－2)＝4.(3)∵(lnx)′ 1＝x，1∴2xd2(ld＝ln－ln＝ln2.1 1(4)∵(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，∴0 (cox)＝0 (si＋xdxπ π＝(0＋1)－(0＋e－π)＝1－e－π.(5)∵(t2x)′＝t2，22∴42d42)42－2222.22x2 1 1x(6)∵x＋x′＝2x－2，∴32x－1dx＝3x2＋1′dx x2 x1 1＝7 1 22＋3＝3.遷移與應(yīng)用：1．1 1(＋)1(2＋kd＝1＋＝，＝1.0π2．－1 解析：0

0πsin(－x)dx＝0

π20π20x2 3 1x3．解：(1)∵3x2x2 ， ∴21

2 33xdx＝ x223 12 23 2＝3×2－3×12＝3(2 2－1)． 1

1 1 1－x(2)∵－x－lnx′＝x2－x＝x2，1－x 1 3∴32

x2dx＝－x－lnx2 1 1 ＝－3－ln3－－2－ln1 2＝6＋ln3.－3∈[，5，活動(dòng)與探究解：(1)由|x－3|＝ ，－∈[，35－3|x2＝3－3|＋5－3|x2 3＝3(－)53)x2 333 12 512 ＝xd＋x－3x2 3＝9 9 25 9－2－6＋2＋2－15－2＋95＝2.π

1－cos2x(2) 2 sin2xdx＝0 0

2 dxπ 1 1 ＝2 2x－4sin2x′dx04π 1 π4＝4－4sin.(3)2 e2xdx＝2 2e2x′dx＝2e－2.1 1 1 1 10 0遷移與應(yīng)用：516 2)＝2d2(－)x0 0 1131 2 122 1 1 5＝3x 0＋x－2x1＝3＋2＝6.2解：(1)11

x)＝01

2d1(co－1)x3 3 ＝01

1x3′dx＋1(sinx－x)′dx0＝sin1 2(2)由

－3.x2x2a，x2x2a＝ 得 dx－，<， a＝ad＋0a

(－x)dx0a12′ 0 1 2＝

2xdx－a0

2x′dx＝a.活動(dòng)與探究3：解：(1)如圖(1)，由于拋物線y＝4－x2與x軸相交于(－2,0)和(2,0)點(diǎn)，故其與x軸圍成圖形的面積為S＝

12 4 2(4－x)d2 4 2

32. 3 2＝3(2)如圖(2)，拋物線y＝4－x2x軸上方和下方各一部分，故其面積S2(－2)3|－2|x0 2＝2(－2)32－4)x0 224 13 313 ＝xd＋x－4x0 216 7 23＝3＋3＝3.遷移與應(yīng)用：1

12 1 2

112 13′ 11．6

解析：所求面積為

xx

x)x

dx＝6.2．2．3 解析：0≤x≤π2π 3π2＜x≤2時(shí)，cosx≤0，3π故圖形的面積為2 |cosx|dx0π＝2 0π

3π2 (－cosx)dxπ2π＝2 0x4x

2 (sinx)′dx＝3.π239 由題意可得曲線＝與直線＝a0所圍成封閉圖形的面積a02 3 2 3 4dx＝x23

3a2＝a2a＝9.當(dāng)堂檢測(cè)2 1 1 21．3

解析：1

(x2＋sinx)dx＝x3－cosx1313

＝3. 12．2 解析：a2＋xdx1＝a2＋ld＝2＋ln－11＝3＋ln2，所以a＝2.35333 5－ 解析：2 ＋1x1＝21＝2313

31)2