數(shù)學(xué)史 第八講

數(shù)學(xué)史第八講第1頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.數(shù)理邏輯數(shù)理邏輯是公理化、集合論與形式邏輯相結(jié)合的產(chǎn)物。有這樣幾種說法：“數(shù)學(xué)是建立在集合論與數(shù)理邏輯兩塊基石上的”（胡作玄）；“數(shù)學(xué)理論源于公設(shè)集與邏輯這兩個(gè)因素的相互作用”（H.伊夫斯）；我們說“數(shù)學(xué)是建立在實(shí)數(shù)和數(shù)理邏輯上的”。盡管各種說法在形式上有所不同，但邏輯或說數(shù)理邏輯總是其公共部分，可見數(shù)理邏輯在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)作用了。純數(shù)學(xué)致力于從已有概念和結(jié)論得到出新的結(jié)論，數(shù)理邏輯則不然，它致力于從邏輯學(xué)的“演算”出發(fā)，根據(jù)某些基本事實(shí)，推出數(shù)學(xué)賴以存在的基石和生長(zhǎng)點(diǎn)。第2頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)代數(shù)理邏輯在如下四個(gè)分支上是很活躍的。（1）證明論又叫元數(shù)學(xué)，由弗雷格創(chuàng)立于1893年，后為希爾伯特及其學(xué)派發(fā)展成一門獨(dú)立分支。它的主要任務(wù)是要證明數(shù)學(xué)中的“相容性”（也叫無矛盾性）。不過希爾伯特早期想用“有限”步來完成對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的相容性證明是不現(xiàn)實(shí)的，當(dāng)哥德爾不完全性定理表時(shí)“有限步”的設(shè)想不可能后，才被修改成“無窮步證明數(shù)學(xué)的相容性”。甘岑的“超窮歸納法”對(duì)“無窮步證明”貢獻(xiàn)也較大，但至今仍沒有完成原來擬定的任務(wù)，比如關(guān)于數(shù)學(xué)分析的相容性證明，都還有待繼續(xù)發(fā)努力。第3頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）遞歸論它屬于硬數(shù)學(xué)，探討對(duì)一個(gè)函數(shù)能否用有限步進(jìn)行有效計(jì)算問題。簡(jiǎn)稱有效可計(jì)算問題。所謂“有效”即是要得到精確結(jié)果。能進(jìn)行有效可計(jì)算的函數(shù)叫做遞歸函數(shù)。遞歸函數(shù)是一種簡(jiǎn)單的離散動(dòng)力體系模型。遞歸論研究的主要對(duì)象是遞歸函數(shù)。作為遞歸函數(shù)研究的深入，是探討非遞歸函數(shù)，從而得出判定問題和非判定問題概念。一般判定問題是，對(duì)一個(gè)具體公式或定理，證明是否存在一個(gè)有限可實(shí)現(xiàn)的步驟，使之被形式地推導(dǎo)出來，第一個(gè)提出判定問題的是希爾伯特以其“第十個(gè)問題”──決定戴氏方程的可解性。該問題已于1972年為一蘇聯(lián)青年人馬吉亞色維奇解決，其方法十分初等，令同行長(zhǎng)輩們驚訝不矣。判定問題又叫計(jì)算復(fù)雜性問題，這是計(jì)算機(jī)科學(xué)中一個(gè)重要理論分支。對(duì)“計(jì)算復(fù)雜性”之復(fù)雜性，曾有人戲稱，若誰(shuí)解決了它，當(dāng)授予兩噸重金質(zhì)勛章，并全世界數(shù)學(xué)家放假四日，以示慶賀。第4頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3）模型論模型論產(chǎn)生于1950年左右，“模型”是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它常常是人為構(gòu)造的，其目的是為了解釋數(shù)理論邏輯上某種或某組語(yǔ)句（一組語(yǔ)言的閉公式）。對(duì)于一個(gè)語(yǔ)句，若能構(gòu)造出一個(gè)模型使得語(yǔ)句在該模型中成為“可滿足的”，則該語(yǔ)句為真。有人把語(yǔ)句比作語(yǔ)法，模型比作語(yǔ)義。亦即這時(shí)的模型相當(dāng)于在語(yǔ)句所給語(yǔ)法范圍內(nèi)，構(gòu)造出一個(gè)例句來，若構(gòu)造成功，則該語(yǔ)句是“合理”的。顯然，模型論的關(guān)鍵在于構(gòu)造模型，這是很難的具有高度技巧性的內(nèi)容，是需要專門研究的課題，目前已創(chuàng)造出若干建模的方法，諸如初等鏈法、圖式法、力迫法、超積法、齊性集合法、緊性定理法等等。第5頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4）公理集合論在本章第二節(jié)已簡(jiǎn)單介紹，公理集合論是繼哥德爾不完全定理之后，為了謹(jǐn)慎探索集合論的性質(zhì)，分別提出來的若干公理系統(tǒng)，從而也是一定的限制范圍內(nèi)研究集合的理論。這的確是很湊效的，每個(gè)公理系統(tǒng)都為數(shù)理邏輯或純數(shù)學(xué)作出了重要貢獻(xiàn)。其中最早完成也是最有名、貢獻(xiàn)最大的公理系是策梅羅的選擇公理系，好多有名定理的證明都不少不了選擇公理系。第6頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.數(shù)學(xué)哲學(xué)哲學(xué)是一個(gè)認(rèn)識(shí)科學(xué)，它把經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)象上升成理念，以認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，因此任何一門科學(xué)，包括對(duì)社會(huì)、人生的理解，只要觸及到本質(zhì)，可以說就進(jìn)入了哲學(xué)。在這方面數(shù)學(xué)更為典型。歷史一開始，數(shù)學(xué)與哲學(xué)就是孿生兄弟，數(shù)學(xué)方法為哲學(xué)的方法論所傾慕，而數(shù)學(xué)方法探源則成了哲學(xué)的認(rèn)識(shí)論。這就不難理解數(shù)學(xué)史上任何時(shí)期都不乏身兼數(shù)、哲兩職的數(shù)學(xué)家了，原來這正是數(shù)學(xué)自身的需要。即然是哲學(xué)，就少不了爭(zhēng)論，在這場(chǎng)數(shù)學(xué)哲學(xué)的爭(zhēng)論中主要希望解決邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系、什么是數(shù)學(xué)等問題，在爭(zhēng)論中形成了三大學(xué)派，他們共同的目標(biāo)是，試圖用自己的一套理論去統(tǒng)覽數(shù)學(xué)。

第7頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1）直覺主義學(xué)派其代表人物L(fēng).布勞威爾（1881—1966）。知道布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的讀者不少，但知道他對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點(diǎn)者，就不一定多了。直覺主義的特點(diǎn)是“植根于數(shù)學(xué)的構(gòu)造性”。這是算術(shù)計(jì)算形式的深化與擴(kuò)充，屬枚舉數(shù)學(xué)、窮竭法等思想體系，也可以叫它做“硬數(shù)學(xué)”。它既不同于現(xiàn)實(shí)世界中的感覺（經(jīng)驗(yàn)主義），也不同于邏輯主義中的“演算，”它認(rèn)為邏輯規(guī)律并不對(duì)數(shù)學(xué)有任何約束作用，數(shù)學(xué)是自由的，他們不承認(rèn)無理數(shù)、不承認(rèn)無窮性的階和超勢(shì)等抽象的概念；他們堅(jiān)持康德的觀點(diǎn)，認(rèn)為算術(shù)是在時(shí)間基礎(chǔ)上的直覺，而數(shù)學(xué)是建立在算術(shù)基礎(chǔ)上的，所以數(shù)學(xué)應(yīng)該是“直覺”的；他們?cè)噲D構(gòu)造一個(gè)不依靠排中律的集合論，為此還于1909年直接與希爾伯特通信辯論過。第8頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2）形式主義學(xué)派盡管希爾伯特自己并不承認(rèn)其形式主義，但舉世公認(rèn)形式主義學(xué)派的代表人物是希爾伯特，他的信條是“數(shù)學(xué)與形式符號(hào)有關(guān)”。他是在完成《幾何學(xué)原理》（1899）的基礎(chǔ)上“建立起”這一學(xué)派的，他提出了一套“宏偉”計(jì)劃，試圖把整個(gè)數(shù)學(xué)無矛盾地納入一套完備的形式符號(hào)體系，由此產(chǎn)生了所謂“元數(shù)學(xué)”以解決形式系統(tǒng)的“相容性”問題，這些理論已完全表述在其失敗巨著《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一、二卷上（1934—1939）。雖然這套計(jì)劃被哥德爾不完全性定理（1930）打破了，整個(gè)數(shù)學(xué)形勢(shì)也為之改觀了，但形式主義也僅僅“被潑了一瓢涼水”，其結(jié)果不是冷卻了。而是變得更清醒了。第9頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3）邏輯主義學(xué)派其代表人物是羅素，他的信條是“數(shù)學(xué)屬于邏輯學(xué)”，因此他致力于從邏輯角度推出全部數(shù)學(xué)，或說企圖把數(shù)學(xué)還原為邏輯學(xué)。他在其著作《數(shù)學(xué)原理》中說，“數(shù)學(xué)是所有形如＂P蘊(yùn)含q＂的命題集，其中p、q都含相同數(shù)目的一元或多元命題“，他企圖在”類“和”關(guān)系“的概念下，通過命題演算和謂詞演算推出”自然數(shù)系“，并由此演生算術(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)，大有把數(shù)學(xué)一并囊括到邏輯學(xué)的架勢(shì)。不過在包括他本人也發(fā)現(xiàn)了悖論之后，使得他“可以把數(shù)學(xué)還原成邏輯”的猜想遇到了困難。但這并未使他屈服，僅使他把邏輯主義的方向轉(zhuǎn)為“在消除悖論的基礎(chǔ)上”，“仍然致力于把數(shù)學(xué)還原為邏輯學(xué)”這一目標(biāo)，這也是羅素與懷特海德的名著《數(shù)學(xué)原理》（1913）的動(dòng)因和努力方向。第10頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為什么具有如此殊異和相互矛盾的三大流派：“直覺主義”、“形式主義”和“邏輯主義”能夠同時(shí)存在一個(gè)嚴(yán)緊的數(shù)學(xué)體系內(nèi)呢？仔細(xì)想來，這不本身就回答了“為什么數(shù)學(xué)會(huì)有不完全性”的問題了嗎？要是數(shù)學(xué)真的“完全”，它就不能容納三大獨(dú)立的描述整體數(shù)學(xué)的完整體系于一家。借此我們還能相信，數(shù)學(xué)作為一個(gè)體系是個(gè)沒有邊界的范疇，是不可能統(tǒng)一于一個(gè)無矛盾的統(tǒng)一體內(nèi)的，從另一方面，由三大派別的殊異性也正好構(gòu)成了相互制約的格局，使我們站在他們理論外面的人不難相信，“誰(shuí)也不可能包覽數(shù)學(xué)整體”。第11頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.數(shù)學(xué)發(fā)展的源動(dòng)力

數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力是什么？（1）實(shí)踐的需要這里“實(shí)踐”包括生產(chǎn)實(shí)踐、科技實(shí)踐乃至社會(huì)生活實(shí)踐。恩格斯說，“科學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，一開始就是由生產(chǎn)所決定的?！钡拇_，歷史之初從結(jié)繩記事，洽指數(shù)數(shù)到測(cè)量幾何、航海三角、雞兔代數(shù)等實(shí)踐中產(chǎn)生的初等數(shù)學(xué)已是人所不諱的了?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)又怎么樣呢？我們說哈米爾頓同周游世界和哥尼斯堡七橋問題產(chǎn)生圖論，賭博問題產(chǎn)生概率論，養(yǎng)免問題產(chǎn)生悲波拉契級(jí)數(shù)，計(jì)算機(jī)問題產(chǎn)生模糊數(shù)學(xué)，優(yōu)化需求產(chǎn)生運(yùn)籌學(xué)，電子理論產(chǎn)生極限環(huán)等等。其實(shí)諸如大系統(tǒng)理論、規(guī)范場(chǎng)理論、非交換調(diào)和分析、動(dòng)力體系、混沌理論等等，無一不是實(shí)踐需要下產(chǎn)生的數(shù)學(xué)理論分支。第12頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）內(nèi)在的刺激數(shù)學(xué)發(fā)展的另一大動(dòng)力來自內(nèi)在問題刺激，這是已表述過的觀點(diǎn)，現(xiàn)只須說明三個(gè)問題。1）產(chǎn)生內(nèi)在問題不在數(shù)學(xué)發(fā)生之初，僅在數(shù)學(xué)或其分支發(fā)展到一定程度之后。比如數(shù)論三大難題的提出不是在數(shù)論產(chǎn)生之初；數(shù)學(xué)大爆炸不是在19世紀(jì)以前；數(shù)學(xué)危機(jī)不發(fā)生在人類初起等等，實(shí)際上數(shù)學(xué)或其分支之最初動(dòng)力往往來自客觀（包括生產(chǎn)）刺激，到一定時(shí)刻才產(chǎn)生內(nèi)在刺激以致獨(dú)立發(fā)展。第13頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2）為什么內(nèi)在的問題能驅(qū)使人們?nèi)グl(fā)展數(shù)學(xué)？我們認(rèn)為這來自一種人類對(duì)數(shù)學(xué)完美要求刺激；來自人類的一種征服心理的刺激。黎曼在創(chuàng)造黎曼幾何時(shí)并非認(rèn)識(shí)到它會(huì)是相對(duì)論的基礎(chǔ)；伽羅華創(chuàng)造群論時(shí)并不知道它如此普遍的應(yīng)用領(lǐng)地，可說只是憑著他們天賦興趣的驅(qū)使去創(chuàng)造的。3）內(nèi)在刺激的具體形式，這就是已經(jīng)談到過的問題：悖論、猜測(cè)、詭辯等形式。總之，本節(jié)觀點(diǎn)是，不僅“數(shù)學(xué)之樹”中的樹根是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)發(fā)生的環(huán)境也是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力（土壤中的營(yíng)養(yǎng)）也應(yīng)該是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。第14頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六最后我們指出;數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支都是互相聯(lián)系著的。

數(shù)學(xué)的每個(gè)分支就像庭院里的瓜藤，把它的觸須伸得長(zhǎng)長(zhǎng)的，逢上任何東西都緊緊地與之拉起手來。這就是我們已經(jīng)看到的現(xiàn)象─連續(xù)數(shù)學(xué)可用上離散方法，離散模型可用上連續(xù)方法，計(jì)算數(shù)學(xué)離不了演繹數(shù)學(xué)，演繹數(shù)學(xué)少不了計(jì)算方法；代數(shù)中有分析，分析中有代數(shù)……原來數(shù)學(xué)中每個(gè)分支幾乎都與別的所有學(xué)科神奇般的聯(lián)系著，形成了一個(gè)嚴(yán)密的“網(wǎng)”，這或許才是今日數(shù)學(xué)之真面目。第15頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六也許我們用圖論中“圖”的概念來表征數(shù)學(xué)分支間的關(guān)系更為恰當(dāng)。什么叫“圖”？簡(jiǎn)單說，空間中任意有限點(diǎn)集V及V中任二點(diǎn)間可能的連接關(guān)系之總體員做圖。圖的幾何學(xué)叫做圖論。圖論的歷史是由歐拉公式、歐拉定理（哥尼斯堡七橋問題），哈米爾頓周游世界問題、四色問題等名題串成的，特別在應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)時(shí)代，更顯出了它的生命力，不僅在電子線路版上有它的理論，在運(yùn)籌學(xué)、組合數(shù)學(xué)中出有它的重要地位，如今用它的概念于數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)描述，也是十分恰當(dāng)?shù)?。?6頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六還要說明的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)之圖是動(dòng)態(tài)的，發(fā)展變化著的，且越來越復(fù)雜。因?yàn)閿?shù)學(xué)在