數(shù)電第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

數(shù)電第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第1頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六本章的內(nèi)容2.1概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的化簡方法2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡第2頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.1概述在數(shù)字電路中，1位二進制數(shù)碼“0”和“1”不僅可以表示數(shù)量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯狀態(tài)，如電平的高低、開關(guān)的閉合和斷開、電機的起動和停止、電燈的亮和滅等。這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系，稱為二值邏輯。當(dāng)二進制數(shù)碼“0”和“1”表示二值邏輯，并按某種因果關(guān)系進行運算時，稱為邏輯運算，最基本的三種邏輯運算為“與”、“或”、“非”，它與算術(shù)運算的本質(zhì)區(qū)別是“0”和“1”沒有數(shù)量的意義。故在邏輯運算中1+1=1(或運算）2.1.1二值邏輯和邏輯運算第3頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)字電路是一種開關(guān)電路，輸入、輸出量是高、低電平，可以用二值變量（取值只能為0，l）來表示。輸入量和輸出量之間的關(guān)系是一種邏輯上的因果關(guān)系。仿效普通函數(shù)的概念，數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的數(shù)學(xué)工具來描述。2.1.2數(shù)字電路的特點及描述工具邏輯代數(shù)是布爾代數(shù)在數(shù)字電路中二值邏輯的應(yīng)用，它首先是由英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾（GeorgeBoole）提出的，用在邏輯運算上。后來用在數(shù)字電路中，就被稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，它是邏輯函數(shù)的基礎(chǔ)。第4頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六注意：1.邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)的運算相似，如有交換律、結(jié)合律、分配律，而且邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，叫邏輯變量。2.邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，普通數(shù)學(xué)代數(shù)中的變量取值可以是正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)和無理數(shù)，是進行十進制（0～9）數(shù)值運算。而邏輯代數(shù)中變量的取值只有兩個：“0”和“1”。并且“0”和“1”沒有數(shù)值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態(tài)。第5頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算在二值邏輯函數(shù)中，最基本的邏輯運算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種邏輯運算。2.2.1與運算與運算也叫邏輯乘或邏輯與，即當(dāng)所有的條件都滿足時，事件才會發(fā)生，即“缺一不可。如圖2.2.1所示電路，兩個串聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是與邏輯事例，只有開關(guān)A、B同時閉合時燈才會亮。第6頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)開關(guān)閉合用“1”表示，斷開用“0”表示；燈亮用“1”表示，燈滅用“0”表示（邏輯賦值），則可得到表2.2.1所示的輸入輸出的邏輯關(guān)系，稱為真值表從表中可知，其邏輯規(guī)律服從“有0出0，全1才出1”這種與邏輯可以寫成下面的表達式：稱為與邏輯式，這種運算稱為與運算第7頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六也可以用圖2.2.2表示與邏輯，稱為邏輯門或邏輯符號，實現(xiàn)與邏輯運算的門電路稱為與門。2.2.2或運算或運算也叫邏輯加或邏輯或，即當(dāng)其中一個條件滿足時，事件就會發(fā)生，即“有一即可若有n個邏輯變量做與運算，其邏輯式可表示為第8頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六如圖2.2.3所示電路，兩個并聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是或邏輯事例，只要開關(guān)A、B有一個閉合時燈就會亮。用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.2所示，其邏輯規(guī)律服從“有1出1，全0才出0”

其邏輯式為上式說明：當(dāng)邏輯變量A、B有一個為1時，邏輯函數(shù)輸出Y就為1。只有A、B全為0，Y才為0。第9頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六其邏輯門符號如圖2.2.4所示，實現(xiàn)或邏輯運算的門電路稱為或門。若有n個邏輯變量做或運算，其邏輯式可表示為3.非邏輯運算條件具備時，事件不發(fā)生；條件不具備時，事件發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯非，也稱邏輯求反第10頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六如圖2.2.5所示電路，一個開關(guān)控制一盞燈就是非邏輯事例，當(dāng)開關(guān)A閉合時燈就會不亮。非邏輯運算也叫邏輯非或非運算、反相運算，即輸出變量是輸入變量的相反狀態(tài)。其邏輯式為用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.3所示注：上式也可寫成第11頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六其邏輯門符號如圖2.2.6所示，實現(xiàn)非邏輯運算的門電路稱為非門以上為最基本的三種邏輯運算，除此之外，還有下面的由基本邏輯運算組合出來的邏輯運算4.與非（NAND）邏輯運算與非運算是先與運算后非運算的組合。以二變量為例，布爾代數(shù)表達式為：其真值表如表2.2.4所示第12頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六其邏輯規(guī)律服從“有0出1，全1才出0”

實現(xiàn)與非運算用與非門電路來實現(xiàn)，如圖2.2.7所示5.或非（NOR）運算

或非運算是先或運算后非運算的組合。以二變量A、B為例，布爾代數(shù)表達式為：第13頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六或非邏輯規(guī)律服從有“1”出“0”全“0”出“1”或非運算用或非門電路來實現(xiàn)，如圖2.2.8所示其真值表如表2.2.5所示第14頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六與或非運算是“先與后或再非”三種運算的組合。以四變量為例，邏輯表達式為：上式說明：當(dāng)輸入變量A、B同時為1或C、D同時為1時，輸出Y才等于0。與或非運算是先或運算后非運算的組合。在工程應(yīng)用中，與或非運算由與或非門電路來實現(xiàn)，其真值表見書P22表2.2.6所示，邏輯符號如圖2.2.9所示6.與或非運算第15頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六其門電路的邏輯符號如圖2.2.10所示其布爾表達式（邏輯函數(shù)式）為7.異或運算符號“⊕”表示異或運算，即兩個輸入邏輯變量取值不同時Y=1，即不同為“1”相同為“0”，異或運算用異或門電路來實現(xiàn)其真值表如表2.2.6所示第16頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六異或運算的性質(zhì)

1.交換律：2.結(jié)合律：3.分配律：推論：當(dāng)n個變量做異或運算時，若有偶數(shù)個變量取“1”時，則函數(shù)為“0”；若奇數(shù)個變量取1時，則函數(shù)為1.4.第17頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六8.同或運算：其布爾表達式為符號“⊙”表示同或運算，即兩個輸入變量值相同時Y=1，即相同為“1”不同為“0”

。同或運算用同或門電路來實現(xiàn)，它等價于異或門輸出加非門，其真值表如表2.2.7所示其門電路的邏輯符號如圖2.2.11所示第18頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式表2.3.1為邏輯代數(shù)的基本公式，也叫布爾恒等式表2.3.1邏輯代數(shù)的基本公式返回A返回B第19頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六A·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交換律、結(jié)合律、分配律a.交換律：AB=BAA+B=B+Ab.結(jié)合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.關(guān)于變量與常數(shù)關(guān)系的定理說明：由表中可以看出鏈接A第20頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六a.互補律：b.重疊律：A·A=AA+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：注：以上定律均可由真值表驗證3.邏輯函數(shù)獨有的基本定理鏈接B第21頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.3.2若干常用公式表2.3.2為常用的一些公式表2.3.2常用公式第22頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六說明：1.A＋AB＝A：在兩個乘積項相加時，如果其中一項包含另一項，則這一項是多余的，可以刪掉；2.A＋AB＝A＋B：在兩個乘積項相加時，如果其中一項含有另一項的取反因子，則此取反因子多余的，可從該項中刪除；3.AB＋AB

＝A：在兩個乘積項相加時，如果它們其中的一個因子相同，而另一個因子取反，則兩項合并，保留相同因子；4.A（A＋B）＝A：在當(dāng)一項和包含這一項的和項相乘時，其和項可以消掉第23頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六5.AB＋AC＋BC＝AB＋AC：在三個乘積項相加時，如果前兩項中的一個因子互為反，那么剩余的因子組成的另一項則是多余的，可以刪掉；公式AB＋AC＋BCD＝AB＋AC的原理和上述相同6.A（AB）＝AB

：如果某項和包含這一項的乘積項取反相乘時，則這一項可以刪掉；7.A

（AB）＝A

：當(dāng)某個項取反和包含這一項的乘積項取反相乘時，則只保留這個取反項以上的公式比較常用，應(yīng)該能熟用，為以后邏輯函數(shù)的化簡打好基礎(chǔ)第24頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理內(nèi)容：任何一個含有變量A

的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)G來替換，則等式仍然成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式第25頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六證明：方程的左邊有A的地方代入G得：B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC方程的右邊有A的地方代入G得：B(A十D)十BC＝BA十BD十BC故B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC例2.4.1若B(A十C)＝BA十BC，現(xiàn)將所有出現(xiàn)A的地方都代入函數(shù)G＝A十D，則證明等式仍成立

第26頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六證明：設(shè)G＝BC代入公式左右的B中同理設(shè)G＝B＋C代入式子左右的B例2.4.2試用代入規(guī)則證明摩根定律適用多變量的情況可得故：可得第27頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六內(nèi)容：若已知邏輯函數(shù)Y的邏輯式，則只要將Y式中所有的“.”換為“+”,“+”換為“.”,常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所有原變量（不帶非號）變成反變量，所有反變量換成原變量，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)Y的反函數(shù)（補函數(shù)）Y。利用摩根定律，可以求一個邏輯函數(shù)的反函數(shù)。2.反演定理注意：1.

變換中必須保持先與后或的順序；2.對跨越兩個或兩個以上變量的“非號”要保留不變；第28頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六解：由摩根定理或直接求反例2.4.3已知Y＝A（B＋C）＋C

D

，求Y

第29頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六解：由反演定理例2.4.4若Y＝[（AB）＋C＋D]+C，求反函數(shù)或直接求反得第30頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六3.對偶規(guī)則對偶式：設(shè)Y是一個邏輯函數(shù)，如果將Y中所有的“+”換成與“·”，“.”換成與“+”，“1”換成與“0”，“0”換成與“1”，而變量保持不變，則所得的新的邏輯式Y(jié)D稱為Y的對偶式。如：第31頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)Y和G相等，則其對偶式Y(jié)D和GD也必然相等，Viceversa。利用對偶式可以證明一些常用公式例1.1.5試?yán)脤ε家?guī)則證明分配律A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立證明：設(shè)Y＝A＋BC，G＝(A+B)(A+C)，則它們的對偶式為由于故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C)

第32頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六證明：設(shè)則它們的對偶式為由于故Y＝G，即例1.1.6試?yán)脤ε家?guī)則證明吸收律A＋AB＝A＋B

式子成立第33頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.5邏輯函數(shù)的定義：其中：A1,A2…An稱為n個輸入邏輯變量，取值只能是“0”或是“1”，Y為輸出邏輯變量，取值只能是“0”或是“1”則F稱為n變量的邏輯函數(shù)在數(shù)字電路中，輸入為二值邏輯變量，輸出也是二值變量，則表示輸入輸出的邏輯函數(shù)關(guān)系，即如Y＝A＋BC，表示輸出等于變量B取反和變量C的與，再和變量A相或。2.5.1邏輯函數(shù)第34頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六一、邏輯真值表2.5.2邏輯函數(shù)的幾種表示方法

邏輯函數(shù)的表示方法很多，比較常用的如下：邏輯真值表就是采用一種表格來表示邏輯函數(shù)的運算關(guān)系，其中輸入部分列出輸入邏輯變量的所有可能取值得組合，輸出部分根據(jù)邏輯函數(shù)得到相應(yīng)的輸出邏輯變量值。如表2.5.1表示的異或邏輯關(guān)系的函數(shù)，即YBA011101110000輸出輸入表2.5.1Y＝AB

＋AB第35頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六二、邏輯函數(shù)式按一定邏輯規(guī)律寫成的函數(shù)形式，也是邏輯代數(shù)式。與普通函數(shù)數(shù)不同的是，邏輯函數(shù)式中的輸入輸出變量都是二值的邏輯變量。如異或關(guān)系的邏輯函數(shù)可寫成Y＝AB

＋AB三、邏輯圖法

采用規(guī)定的圖形符號，來構(gòu)成邏輯函數(shù)運算關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形圖2.5.1表示的是異或關(guān)系的邏輯圖第36頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六四波形圖法:

一種表示輸入輸出變量動態(tài)變化的圖形，反映了函數(shù)值隨時間變化的規(guī)律，也稱時序圖。如圖2.5.2表示異或邏輯關(guān)系的波形。除上面介紹的四種邏輯函數(shù)表示方法外，還有卡諾圖法、點陣圖法及硬件描述語言等。在后面的課程中將重點介紹卡諾圖法。第37頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六五、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換在設(shè)計數(shù)字電路時，有時需要進行各種表示邏輯函數(shù)方法的轉(zhuǎn)換。1.真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換通過下面的例子得出由真值表寫出邏輯函數(shù)的方法例2.5.1某邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.2所示，寫出邏輯函數(shù)式輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1（1）由真值表寫邏輯函數(shù)式第38頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六解：邏輯式為輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1總結(jié)：①找出真值表中使邏輯函數(shù)為“1”的輸入變量的組合；第39頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六②對應(yīng)每個輸出為“1”變量組合關(guān)系為與的關(guān)系，即乘積項，其中如圖輸入變量取值為“1”的寫成原變量，輸入變量取值為“0”的寫成反變量，如AB

C輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1③將這些乘積項相加，即得到輸出的邏輯式第40頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.5.2已知真值表如表2.5.3所示，試寫出輸出的邏輯函數(shù)輸入輸出ABCY0

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0表2.5.3解：其輸出的邏輯函數(shù)為第41頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六（2）由邏輯函數(shù)式寫出真值表將輸入變量所有取值組合，代入邏輯函數(shù)式，得出輸出的值，并以表的形式表示出來。例2.5.3寫出邏輯函數(shù)Y＝AB＋C的真值表解：其真值表如表2.5.4所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.4第42頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換（1）由邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖用邏輯符號代替邏輯函數(shù)中的邏輯關(guān)系，即可得到所求的邏輯圖例2.5.4畫出邏輯函數(shù)Y＝[（AB+C）＋（AC）＋B]的邏輯電路解：其實現(xiàn)電路如圖2.5.3所示第43頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六（2）由邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式已知邏輯圖，根據(jù)邏輯門的輸入輸出關(guān)系，寫出整個邏輯圖的輸入輸出關(guān)系，得出輸出的邏輯函數(shù)式例2.5.5已知邏輯電路如圖2.5.4，試寫出輸出端的邏輯函數(shù)式，并寫出真值表解：輸出的邏輯式為第44頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六由邏輯式寫出真值表，如表2.5.5所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.5第45頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.5.6設(shè)計一個邏輯電路，當(dāng)三個輸入A、B、C至少有兩個為低電平時，該電路輸出為高，試寫出該要求的真值表和邏輯表達式，畫出實現(xiàn)的邏輯圖解：由邏輯要求寫出真值表，如表2.5.6所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6第46頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六由真值表寫出邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6第47頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六其實現(xiàn)的邏輯圖如圖2.5.5所示第48頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六3.波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換（1）由波形圖得到真值表根據(jù)所給的波形，列出各輸入變量組合所對應(yīng)的輸出值例2.5.7已知邏輯函數(shù)Y的輸出波形如圖2.5.6所示，試分析其邏輯功能。解：由所給的波形寫出輸入輸出的真值表，如表2.5.7所示第49頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六由真值表可知，當(dāng)輸入變量A、B取值相同時，輸出Y＝1；A、B取值不同時，輸出Y＝0。故輸出和輸入是同或關(guān)系。其邏輯函數(shù)式為YBA111001010100輸出輸入表2.5.7第50頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.5.8已知圖2.5.7所示是某個數(shù)字邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，并判斷其邏輯功能解:由波形得出真值表如表2.5.8所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8第51頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六由真值表寫出輸出的邏輯式輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8由真值表可知，當(dāng)輸出有奇數(shù)個“1”時，輸入為“1”。故此電路為“判奇電路”，其邏輯圖如圖2.5.8所示第52頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六（2）由真值表畫出波形圖按照真值表的輸入取值，畫出輸入輸出的波形。例2.5.9已知邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.9所示，試畫出輸入輸出波形和輸出端的邏輯函數(shù)式。輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖2.5.9所示第53頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六輸出端的邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9第54頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)型一種輸入輸出的邏輯關(guān)系可以有多種等效的表達式表示，但可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式。其標(biāo)準(zhǔn)型有兩種：標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式1.最小項a.定義:

在n變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變量A1~An，而m是由所有這n個變量組成的乘積項（與項）。若m中包含的每一個變量都以Ai或Ai

的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則稱m是n變量的最小項。注：n個變量構(gòu)成的最小項有2n個，通常用mi表示第i個最小項，變量按A1~An排列，以原變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值為“1”，以反變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值取“0”，按二進制排列時，其十進制數(shù)即為i。一、最小項和最大項第55頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分別為二變量、三變量和四變量的最小項第56頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六第57頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六b.最小項的性質(zhì)①對于任一個最小項，僅有一組變量取值使它的值為“1”，而其它取值均使它為“0”?；蛘哒f在輸入變量的任何取值必有一個最小項也僅有一個最小項的值為“1”。②n變量組成的全體最小項之邏輯和為“1”。即第58頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.最大項a.定義：在n變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變量A1~An，而M是由所有這n個變量組成的和項（或項）。若M中包含的每一個變量都以Ai或Ai的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則M是n變量的最大項。注：

n個變量構(gòu)成的最大項也有2n個，通常用Mi表示第i個最大項，變量按A1~An排列，以原變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值為“0”，以反變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值取“1”，按二進制排列時，其十進制數(shù)即為i。第59頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六表2.5.13、表2.5.14分別為二變量、三變量的最大項，四變量最大項課下自己寫出第60頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六b.最大項的性質(zhì)

①對于任一個最大項，僅有一組變量取值使它的值為“0”，而其它取值均使它為“1”?；蛘哒f在輸入變量的任何取值必有一個最大項也僅有一個最大項的值為“0”。②n變量組成的全體最大項之邏輯積為“0”。即第61頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六二、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式型－最小項之和標(biāo)準(zhǔn)型如與或型特點：1.式子為乘積和的形式；

2.不一定包含所有的最小項，但每一項必須為最小項第62頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)與或式的寫法：在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一乘積項由于缺少一個變量不是最小項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之和這一項，使之稱為最小項，即利用公式A＋A＝1例2.5.10將邏輯函數(shù)Y＝A＋BC寫成標(biāo)準(zhǔn)與或式解：注意：變量的排列順序。第63頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六三、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與式型－最大項之積標(biāo)準(zhǔn)型如與或型特點：1.式子為和積的形式；

2.邏輯函數(shù)不一定包含所有的最大項，但每一項必須為最大項第64頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)或與式的寫法：在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中加上此變量與這個變量的反變量之積這一項，即利用公式AA＝0，然后利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之稱為最大項例2.5.11將邏輯函數(shù)Y＝AC＋BC寫成或與式解：第65頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六四、最小項與最大項的關(guān)系設(shè)有三變量A、B、C的最小項，如m5

＝ABC，對其求反得由此可知對于n變量中任意一對最小項mi和最大項Mi

，都是互補的，即第66頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六五、標(biāo)準(zhǔn)與或式和或與式之間的關(guān)系若某函數(shù)寫成最小項之和的形式為則此函數(shù)的反函數(shù)必為如表2.5.15中第67頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六上式或?qū)懗衫梅囱荻ɡ砜傻玫?8頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六六、邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：有時需要把任意邏輯函數(shù)變換為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：與或式（最小項之和）和或與式（最大項之積）。實現(xiàn)這種變換方法很多，可以利用添項、真值表、卡諾圖等實現(xiàn)，這里介紹利用添項和真值表將邏輯函數(shù)變換成標(biāo)準(zhǔn)型。1.利用真值表首先寫出邏輯函數(shù)的真值表，由真值表寫出最小項和最大項。標(biāo)準(zhǔn)與或式寫法

：由真值表確定邏輯函數(shù)為“1”的項作為函數(shù)的最小項(乘積項）。若輸入變量取“1”，則寫成原變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成反變量。不同的輸出“1”為和的關(guān)系。第69頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)或與式寫法：由真值表確定邏輯函數(shù)為“0”的項作為函數(shù)的最大項（和項）。若輸入變量取“1”，則寫成反變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成原變量。不同的輸出“0”為積的關(guān)系。例2.5.12試將下列函數(shù)利用真值表轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

解：其真值表如表2.5.16所示第70頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與型為則邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或型為第71頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)或與式的寫法：在邏輯函數(shù)中，先將邏輯函數(shù)化為和積式。若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之積這一項，再利用A＝A＋BB＝（A＋B）（A＋B）使之稱為最大項2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0將邏輯函數(shù)變換為與或式和或與式標(biāo)準(zhǔn)與或式寫法

：在邏輯函數(shù)中，先將函數(shù)化成與或式（不一定是最小項），則在與項中利用公式A＋A＝1添加所缺的邏輯變量，寫成最小項的形式例2.5.13試?yán)锰砑禹椀姆椒▽⑾旅孢壿嫼瘮?shù)轉(zhuǎn)化成與或標(biāo)準(zhǔn)式第72頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六解：標(biāo)準(zhǔn)與或式為

例2.5.14試用添加項方法將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成或與標(biāo)準(zhǔn)式解:第73頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六a.在將一個n變量的邏輯函數(shù)寫成與或式（最小項之和）后，若要寫成或與式（最大項之和）時，其最大項的編號是除了最小項編號外的號碼，最小項與最大項的總個數(shù)為2n；b.由i個最小項構(gòu)成的與或式（最小項之和）邏輯函數(shù)，其反函數(shù)可以用i個最大項的或與式（最大項之和）表示，其編號與最小項編號相同。總結(jié)：第74頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例1.2.5將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)式，并求其反函數(shù)

解：標(biāo)準(zhǔn)與或式為標(biāo)準(zhǔn)或與式為第75頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六（注：反函數(shù)的最大項編碼與原函數(shù)最小項編碼相同）反函數(shù)為第76頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換除了上述標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式的外，還需要將邏輯函數(shù)變換成其它形式。假如給出的是一般與或式，要用與非門實現(xiàn)，就需要將其變成與非－與非式。一、與或式化為與非－與非式－－利用反演定理例2.5.10將下式Y(jié)=AC+BC用與非門實現(xiàn)，并畫出邏輯圖。解：用二次求反，將第一級非號用摩根定理拆開，第二級保持不變。第77頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六如果本身有反變量輸入，則用二級與非門就可實現(xiàn)該函數(shù)，其邏輯電路如圖2.5.10所示。如果只有原變量輸入，另外要用與非門實現(xiàn)反相C，其邏輯電路如圖2.5.11所示第78頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六二、將與非式化為與或非式例2.5.11將Y=AC+BC用與或非門實現(xiàn)，畫出邏輯圖。解：先用反演定理求函數(shù)Y的反函數(shù)Y

，并整理成與或式，再將左邊的反號移到等式右邊，即兩邊同時求反。這就可用與或門實現(xiàn)。其電路如圖2.5.12所示多余項第79頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六三、將與或式化為或非－或非式解：先將函數(shù)Y化為與或非形式，再用反演定理求Y

，并用摩根定理展開，再求Y，就可得到或非－或非式。例2.5.11將下式Y(jié)=AC+BC

用或非門實現(xiàn)。其實現(xiàn)電路如圖2.5.13所示第80頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六或者先寫成最大項之積形式，再兩次取反，利用反演定理得到或非式第81頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.6邏輯函數(shù)的化簡方法一個邏輯函數(shù)有多種不同形式的邏輯表達式，雖然描述的邏輯功能相同，但電路實現(xiàn)的復(fù)雜性和成本是不同的。邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)的電路越簡單可靠，且低成本。因此在設(shè)計電路時必須將邏輯函數(shù)進行簡化。注：隨著集成電路的發(fā)展，集成芯片的種類越來越多。邏輯函數(shù)是否“最簡”已無太大意義。但作為設(shè)計思路，特別對于中小規(guī)模集成電路，邏輯函數(shù)的簡化是不能忽視的邏輯函數(shù)的簡化方法很多，主要有邏輯代數(shù)簡化法（公式法）和卡諾圖法第82頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.6.1公式化簡法公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的一些定理、公式和運算規(guī)則，將邏輯函數(shù)進行簡化。實現(xiàn)電路的器件不同，最終要得到的邏函數(shù)的形式不同，其最簡的定義也不同。對于要小規(guī)模集成門電路實現(xiàn)的電路，常用的門為與非門、或非門、與或非門等。由上一節(jié)可知，其最終都可以由與或式、或與式轉(zhuǎn)換而成。故最常用的是最簡與或式和最簡或與式。最簡與或式：最簡的與或式所含乘積項最少，且每個乘積項中的因子也最少。最簡或與式：最簡的或與式所含和項最少，且每個和項中的相加的項也最少。第83頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六1.與或式的簡化(1)與或式：就是先與后或式（乘積和），最簡的與或式是所含與項最少，且每個與項的邏輯變量最少，則這個與或式是最簡的。下面討論公式法常用的化簡方法。上式Y(jié)1和Y2實現(xiàn)同樣的邏輯功能，但Y1中不僅所含變量多，而且乘積項也多了一項，要用3個與門（不含非門）和一個或門實現(xiàn)，而Y2的變量有3個，兩個乘積項，用2個與門、1個或門實現(xiàn)即可，這樣即節(jié)省元件，也減少布線和功耗。2.6.1公式化簡法第84頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六(2)與或式的簡化方法a.合并項法：利用AB＋AB＝B消去一個變量；b.消除法：利用A＋AB＝A＋B消去多余變量；c.配項法：利用A＋A＝1

增加一些項，再進行簡化說明：一般化簡需要各種方法綜合起來?；喰枰记珊徒?jīng)驗，需多練習(xí)。另外最后的結(jié)果是否為最簡，難以判斷。2.6.1公式化簡法第85頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.1將下式化為最簡與或式配項ABC解法一：配項法2.6.1公式化簡法第86頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六解法二：用吸收法和消去法二種方法結(jié)果一致，但過程繁簡不同。盡量選擇最佳方法，使化簡過程簡單2.6.1公式化簡法第87頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.2試將下面的邏輯函數(shù)簡化為最簡與或式解：注：從原式看，很難看出是不是最簡，而且用代數(shù)法簡化邏輯函數(shù)，不僅要熟悉邏輯代數(shù)公式，而且要靈活運用，而且不能保證最后結(jié)果最簡。2.6.1公式化簡法第88頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.3試將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式解：多余項反演定理2.6.1公式化簡法第89頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)：試將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式2.6.1公式化簡法第90頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.或與式的簡化a.利用公式A（A＋B）＝A及A（A+B)=A化簡解：例2.6.4試將下面的邏輯函數(shù)簡化為最簡或與式2.6.1公式化簡法第91頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六b.利用兩次求對偶式進行簡化再求對偶式如例2.6.4的邏輯函數(shù)：其對偶式為2.6.1公式化簡法第92頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.6.2卡諾圖化簡法公式法簡化邏輯函數(shù)不直觀，且要熟練掌握邏輯代數(shù)的公式以及簡化技巧，而卡諾圖法能克服公式法的不足，可以直觀地給出簡化的結(jié)果。一.卡諾圖a.定義：將邏輯函數(shù)的真值表圖形化，把真值表中的變量分成兩組分別排列在行和列的方格中，就構(gòu)成二維圖表，即為卡諾圖，它是由卡諾（Karnaugh）和范奇（Veich）提出的。b.卡諾圖的構(gòu)成：將最小項按相鄰性排列成矩陣，就構(gòu)成卡諾圖實質(zhì)是將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來。最小項的相鄰性就是它們中變量只有一個是不同的。第93頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六下面表2.6.1是二變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法第94頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六表2.6.2為三變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法第95頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六表2.6.3為4變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法第96頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六從上面卡諾圖可以看出任意兩個相鄰的最小項在圖上是相鄰的，并且圖中最左列的最小項與左右列相應(yīng)最小項也是相鄰的（如m0和m2，m9和m10)。位于最上面和最下面的相應(yīng)最小項也是相鄰的（m0和m9,m2和m10)，所以四變量的最小項有四個相鄰最小項。可以證明n變量的卡諾圖中的最小項有n個相鄰最小項2.6.2卡諾圖化簡法第97頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六

n變量的卡諾圖可有n－1變量的卡諾圖采用折疊法構(gòu)成,如五變量的卡諾圖可由四變量的卡諾圖折疊得到，如表2.6.42.6.2卡諾圖化簡法第98頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六二.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法如果畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖，首先將邏輯函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)與或型（最小項和），在相應(yīng)的最小項位置填“1”，其方法如下a.利用真值表：將邏輯函數(shù)的真值表做出，將表中對應(yīng)“1”項的最小項填到卡諾圖中2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.5畫出下面函數(shù)的卡諾圖第99頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六解：其真值表如表2.6.5所示,其卡諾圖如表2.6.6所示輸入輸出ABCY0

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1表2.6.52.6.2卡諾圖化簡法第100頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六b.化為標(biāo)準(zhǔn)與或型例2.6.6畫出下面邏輯函數(shù)的卡諾圖解：2.6.2卡諾圖化簡法第101頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六卡諾圖如表2.6.62.6.2卡諾圖化簡法第102頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六(3)觀察法采用觀察法不需要前兩種方法需要將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項，而是采用觀察邏輯函數(shù)，將應(yīng)為“1”的項填到卡諾圖中例2.6.7用卡諾圖表示下面的邏輯函數(shù)解：其卡諾圖如表2.6.7所示2.6.2卡諾圖化簡法AA11111111第103頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.8畫出下列函數(shù)的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.8所示2.6.2卡諾圖化簡法1111111111第104頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.9畫出下列函數(shù)的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.9所示2.6.2卡諾圖化簡法111111111第105頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)：畫出下列函數(shù)的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法第106頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六三、利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù)①卡諾圖的性質(zhì)a.卡諾圖上任何2（21)個標(biāo)“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去1個取值不同的變量例如表2.6.10中，有消去變量D2.6.2卡諾圖化簡法第107頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六b.卡諾圖上任何4（22)個標(biāo)“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去2個取值不同的變量例如表2.6.11中，有消去變量AC2.6.2卡諾圖化簡法第108頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.6.2卡諾圖化簡法第109頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六c.卡諾圖上任何8（23)個標(biāo)“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去3個取值不同的變量例如表2.6.12中，有消去變量ABC2.6.2卡諾圖化簡法第110頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六或者下面的圈“1”法2.6.2卡諾圖化簡法第111頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六②卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為與或式的步驟a.將邏輯函數(shù)化為最小項（可略去）；b.畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；c.找出可以合并的最小項,即1的項（必須是2n個1)，進行圈“1”，圈“1”的規(guī)則為：2.6.2卡諾圖化簡法*圈內(nèi)的“1”必須是2n個；*“1”可以重復(fù)圈，但每圈一次必須包含沒圈過的“1”；*每個圈包含“1”的個數(shù)盡可能多，但必須相鄰，必須為2n個；第112頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六圈“1”的規(guī)則為2.6.2卡諾圖化簡法*圈數(shù)盡可能的少；*要圈完卡諾圖上所有的“1”。d.圈好“1”后寫出每個圈的乘積項，然后相加，即為簡化后的邏輯函數(shù)。注：卡諾圖化簡不是唯一，不同的圈法得到的簡化結(jié)果不同，但實現(xiàn)的邏輯功能相同的。第113頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六解：其卡諾圖如表2.6.13所示圈法如圖，則例2.6.10用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù)2.6.2卡諾圖化簡法111111第114頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六或者圈法如表2.6.14所示，則故卡諾圖簡化不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法與第一種圈法相比第115頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.11用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù)解：其卡諾圖如表2.6.15所示則簡化后的邏輯函數(shù)為12.6.2卡諾圖化簡法11111111111第116頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六注：以上是通過合并卡諾圖中的“1”項來簡化邏輯函數(shù)的，有時也通過合并“0”項先求F的反函數(shù)，再求反得Y例如上面的例題,圈“0”情況如表2.6.15所示，可得1111111111112.6.2卡諾圖化簡法第117頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.12用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù)解:卡諾圖如表2.6.16可得2.6.2卡諾圖化簡法11111111111第118頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)：③利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為或與式在卡諾圖上圈“0”的最小項，其規(guī)則與化成與或式相同，但寫最簡或與式時，消去取值不同的變量，保留取值相同的變量。寫相同變量時，取值為“0”寫成原變量，取值為“1”寫成反變量，每個圈寫這些相同變量的和，不同的圈為乘積的關(guān)系。2.6.2卡諾圖化簡法第119頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.13用卡諾圖將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式和或與式解：其卡諾圖如表2.6.17所示對于與或式，圈“1”，則注：Y的最簡與或式不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法11111111000000001第120頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六對于與或式，圈“0”，則由表2.6.17的卡諾圖可得故2.6.2卡諾圖化簡法第121頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.14試將下面邏輯函數(shù)化成最簡與或式和或與式。解：卡諾圖如表2.6.18所示圈“1”化成最簡與或式，則可得2.6.2卡諾圖化簡法0111111000000000第122頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六圈“0”化成最簡或與式為2.6.2卡諾圖化簡法第123頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.15試將下面邏輯函數(shù)化成最簡與或式和或與式解：由于最大項對應(yīng)輸入函數(shù)取值為“0”，如M6＝A＋B＋C

＋D，當(dāng)ABCD＝0110時，M6=0，故在相應(yīng)最大項的位置上填“0”即可得邏輯函數(shù)的卡諾圖。則Y的卡諾圖如表2.6.19所示則最簡與或式為2.6.2卡諾圖化簡法0000000111111111第124頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六圈“0”可得最簡的或與式為2.6.2卡諾圖化簡法第125頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)：將下列函數(shù)簡化成最簡與或式和或與式2.6.2卡諾圖化簡法*2.6.3奎恩－麥克拉斯基化簡法（Q－M法）（自學(xué)）第126頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項1.定義：a.約束項：在邏輯函數(shù)中，輸入變量的取值不是任意的，受到限制。對輸入變量取值所加的限制稱為約束，被約束的項叫做約束項。例如有三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止。若A＝1表示電動機正轉(zhuǎn)，B＝1表示電動機反轉(zhuǎn)，C＝1表示電動機停止，則其ABC的只能是100、010、001，而其它的狀態(tài)如000、011、101、110、111是不能出現(xiàn)的狀態(tài)，故ABC為具有約束的變量，恒為0?？蓪懗蛇@些恒等于“0”的最小項稱為約束項第127頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六b.任意項：輸入變量的某些取值對電路的功能沒影響，這些項稱為任意項

。例如8421BCD碼取值為0000~1001十個狀態(tài)，而1010~1111這六個狀態(tài)不可能出現(xiàn)，故對應(yīng)的函數(shù)取“0”或取“1”對函數(shù)沒有影響，這些項就是任意項項。c.無關(guān)項：將約束項和任意項統(tǒng)稱為無關(guān)項。即把這些最小項是否寫入卡諾圖對邏輯函數(shù)無影響2.含有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的表示方法最小項的表達式為其中∑d為無關(guān)項也可以寫成2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項第128頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六③化簡時，根據(jù)需要無關(guān)項可以作為“1”也可作“0”處理，以得到相鄰最小項矩形組合最大（包含“1”的個數(shù)最多）為原則。3.無關(guān)項在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用利用無關(guān)項可以使得函數(shù)進一步簡化步驟：①將給定的邏輯函數(shù)的卡諾圖畫出來;②將無關(guān)項中的最小項在卡諾圖相應(yīng)位置用“×”表示出來；2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項第129頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例2.6.1用卡諾圖簡化下列邏輯函數(shù)，并寫成最簡與或式和或與式解：Y的卡諾圖如表2.6.1所示則最簡與或式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項111111××××××××第130頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六還有另一種圈法，如圖2.6.2所示簡化后的邏輯函數(shù)為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項此種圈法圈數(shù)少，變量少，比上一種簡單第131頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六寫成或與式為2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項第132頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六例1.4.13試簡化下列邏輯函數(shù)，寫最簡成與或式和或與式解：約束條件為則Y的卡諾圖如表2.6.4所示最簡與或式為（即AB取值不能相同）2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項11111××××××××第133頁，共151頁，2023年，2月20日，星期六圈“0”