微積分 極坐標及換元法

微積分極坐標及換元法1第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六即于是2第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖3第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六區(qū)域特征如圖4第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖5第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖注：若f≡1則可求得D的面積6第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)7第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六解8第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六例2.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.9第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六注:利用例2可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的廣義積分公式事實上,當D為R2時,利用例2的結果,得①故①式成立.10第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六解11第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六解:原式12第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六解：13第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六例6：14第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設由對稱性可知15第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）小結16第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六將直角坐標系下累次積分:化為極坐標系下的累次積分.oxy解原式=練習：17第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六解極坐標練習：18第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六計算二重積分其中積分區(qū)域答案練習：19第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六計算因被積函數(shù)D2極坐標例分析故的在積分域內(nèi)變號.D120第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六計算解

積分區(qū)域D關于x軸對稱,被積函數(shù)關于y為偶函數(shù).原式=記D1為D的y≥0的部分.則D1練習：21第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

二重積分的計算規(guī)律再確定交換積分次1.交換積分次序:先依給定的積分次序寫出積分域D的不等式,并畫D的草圖;序后的積分限;2.

如被積函數(shù)為圓環(huán)域時,或積分域為圓域、扇形域、則用極坐標計算;22第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

3.

注意利用對稱性質(zhì),數(shù)中的絕對值符號.以便簡化計算;4.

被積函數(shù)中含有絕對值符號時,應將積分域分割成幾個子域,使被積函數(shù)在每個子域中保持同一符號,以消除被積函23第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六例計算分析從被積函數(shù)看,用極坐標系要簡單些,但從積分域D的形狀看為宜.用卻又以直角坐標系在兩者不可兼得的情況下,應以D的形狀來決定用什么坐標系,此題用直角坐標系.24第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六25第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六而D表示全平面,則練習：26第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六﹡三、二重積分的換元法設被積函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù),若變換滿足如下條件:(1)一對一地變?yōu)镈上的點;(2)有連續(xù)的一階偏導數(shù),且雅可比行列式27第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六基本要求變換后定限簡便,求積容易．注意：28第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六例解所圍成的閉區(qū)域.其中D為橢圓作廣義極坐標變換29第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六故換元公式仍成立,30第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六例解令則即31第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六故32第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六證明證法一交換積分次序累次積分練習：換元33第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六思路：由于等式左端是重積分等式右端為定積分，自然想到用重積分化為累次積分方法。34第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六證明法二令則35第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六故對稱性36第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六注意：做如下變換也可以37第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六思考題設有一曲頂柱體,以雙曲拋物面坐標面為底,試求這個柱體的體積.解由題設可知曲頂柱體在xOy平面上的投影,即積分域D(如圖),由D的形狀可知用極坐標計算曲頂柱體的體積簡便.38第38頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六以雙曲拋物面故39第39頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六思考題解40第40頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六二重積分計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?