數(shù)學(xué)文化概論

數(shù)學(xué)文化概論第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六第一章概論第一節(jié)文化與數(shù)學(xué)文化第二節(jié)數(shù)學(xué)的定義及其重要性第三節(jié)數(shù)學(xué)的語言及其特點(diǎn)第四節(jié)數(shù)學(xué)發(fā)展簡史第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六§1.3數(shù)學(xué)的語言及其特點(diǎn)第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六抽象性精確性應(yīng)用的廣泛性

§1.3.1數(shù)學(xué)的特點(diǎn)第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)的研究對象本身就是抽象的；在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切；數(shù)學(xué)的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超過了其它學(xué)科中的抽象；核心數(shù)學(xué)主要處理抽象概念和它們的相互關(guān)系。1、抽象性有的同學(xué)因數(shù)學(xué)的抽象性而感覺數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué)；其實(shí)，“抽象”是數(shù)學(xué)的武器，是數(shù)學(xué)的優(yōu)勢。我們應(yīng)該喜愛“抽象”，學(xué)會“抽象”的手段。第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六哥尼斯堡七橋問題——一筆畫問題島1島2ABDCBCAD模型地—橋—邊第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑性。漢克爾說：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓?！弊鳛閷φ盏娜齻€例子：①電子管電路→半導(dǎo)體電路→集成電路②托勒密地心說→哥白尼日心說→開普勒三定律③高溫超導(dǎo)的上界（朱經(jīng)武）30oK→90oK→120oK→240oK2、精確性第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六關(guān)于“晶體的結(jié)構(gòu)有多少種”的討論

曾經(jīng)，許多物理學(xué)家、化學(xué)家、晶體學(xué)家給出了各不相同的結(jié)論。數(shù)學(xué)家介入以后，運(yùn)用“群”的理論，得到了明確的答案：晶體的結(jié)構(gòu)只能有230種。

而且，數(shù)學(xué)家的推理是如此精確，讓人信服，使得之后就不再有人去研究這一問題了，因為結(jié)論已經(jīng)確定無疑。第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六9華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在。例子：①哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)；②海王星的發(fā)現(xiàn)；③電磁波的發(fā)現(xiàn)。3、應(yīng)用的廣泛性第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

古時人們認(rèn)為彗星的出現(xiàn)是不祥之兆，直到17世紀(jì)，英國天文學(xué)家哈雷開始計算彗星軌道時，發(fā)現(xiàn)1682年、1607年和1531年出現(xiàn)的彗星有相似的軌道，他判斷這三顆彗星其實(shí)是同一顆彗星，并預(yù)言它將在1758年底或1759年初再次出現(xiàn)。1759年，這顆彗星果然出現(xiàn)了。雖然哈雷已在此前的1742年逝世，但為了紀(jì)念他，這顆彗星稱為“哈雷彗星”。哈雷彗星的回歸周期為76年，最近一次的回歸是在1986年；下一次回歸是在2062年。哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

這個太陽系最遠(yuǎn)的行星（之一），是1846年在數(shù)學(xué)計算的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)的。天文學(xué)家分析了天王星運(yùn)動的不規(guī)律性，推斷出這是由其他行星的引力而產(chǎn)生的。勒未累計算出它應(yīng)處的位置，觀察員在指定位置發(fā)現(xiàn)了該行星。航海家2號拍攝,1989.8.

海王星的發(fā)現(xiàn)第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

英國物理學(xué)家麥克斯韋概括了由實(shí)驗建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這些電磁波應(yīng)該以光速傳播者。據(jù)此，他提出了光的電磁理論。此外，他的結(jié)論還推動了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾姶挪?。電磁波的發(fā)現(xiàn)24年后，德國物理學(xué)家赫茲在振蕩放電實(shí)驗中證實(shí)了電磁波的存在，不久，意大利的馬可尼和俄國人波波夫又在此基礎(chǔ)上獨(dú)立地發(fā)明了無線電報。從此，電磁波走進(jìn)了千家萬戶。第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六語言是表達(dá)思想的，是人類相互交流的工具。數(shù)學(xué)語言則是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)交流的工具。§1.3.2自然語言與數(shù)學(xué)語言第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六自然語言是具體的語言，數(shù)學(xué)語言是形式化的語言。中國人說漢語，美國人說英語，這些是自然語言；上海人說上海話，四川人說四川話，廣東人說廣東話，這些也是自然語言。如同生物界有“瀕危物種”一樣，自然語言中也有“瀕危語言”。下面的一個自然段，摘自新華社的一則報道。

國際自然及自然資源保護(hù)聯(lián)盟為衡量瀕危物種滅絕的危險程度，制定了一套國際通用的評判標(biāo)準(zhǔn)。英國東英吉利亞大學(xué)的威廉·薩沙蘭德教授別出心裁地用這套標(biāo)準(zhǔn)，對世界上共約6800種語言進(jìn)行了分類，發(fā)現(xiàn)其中1676種有滅絕的危險。第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六這些讓我們形象地了解到，自然語言是具體的語言，隨民族、地域而有所不同。數(shù)學(xué)語言雖然要以自然語言作為載體，但它是形式化的語言，在形式化的方面，不隨民族、地域的不同而不同。數(shù)學(xué)語言是一種由數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)術(shù)語和經(jīng)過改造的自然語言構(gòu)成的科學(xué)語言。語言都是用來描述事物的。自然語言可以用來描述事物的各個方面，數(shù)學(xué)語言則主要用來描述事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式，以及事物的結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系等等。第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例如一個工廠有四種產(chǎn)品，要向北京、天津、上海、重慶、武漢、沈陽六地發(fā)貨。如果采用自然語言，需要具體說上很長一段話，每種產(chǎn)品向每個城市各發(fā)貨多少。但如果采用數(shù)學(xué)語言，只要寫出一個4行6列的矩陣，每行表示一種產(chǎn)品，每列表示一個城市，交叉點(diǎn)填上相應(yīng)的發(fā)貨數(shù)量（比如以噸為單位）。所以說，自然語言是具體的語言，數(shù)學(xué)語言是形式化的語言。第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語言使科學(xué)精確化。

以下三段名言是關(guān)于這個小標(biāo)題很好的注釋：“數(shù)學(xué)進(jìn)入一門科學(xué)的程度，反映了這門科學(xué)成熟的程度?！薄笆澜邕@本大書，是用數(shù)學(xué)的語言寫成的。”“要是沒有數(shù)學(xué)語言，宇宙幾乎是不可描述的！”第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六事實(shí)上，牛頓用數(shù)學(xué)語言展示了他的三大定律。愛因斯坦用黎曼幾何的語言闡述了他的廣義相對論；數(shù)學(xué)家用群論的語言解決了晶體分類的問題。經(jīng)濟(jì)學(xué)家用數(shù)學(xué)語言表述了經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的規(guī)律。物理中的布朗運(yùn)動成為概率論中的語言。生物中的遺傳基因DNA，原來是數(shù)學(xué)中的雙螺旋線。醫(yī)學(xué)上已經(jīng)出現(xiàn)“數(shù)字化人體”的概念和實(shí)物。

現(xiàn)在，任何一個科學(xué)工作者要使自己的工作精確化，都必須借助于數(shù)學(xué)語言。第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語言是人類文明的共同語言由于數(shù)學(xué)語言往往需要依靠符號來表達(dá)，而世界各國又采用相同的數(shù)學(xué)符號，這就使得數(shù)學(xué)語言成為人類文明的共同語言。例如，對于數(shù)學(xué)語言（a+b）2=a2+b2+2ab和Sin2x+Cos2x=1表達(dá)的意思，任何一個民族、任何一個地域的人都能明白。第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語言是宇宙文明的共同語言地球上不同地域的人類文明發(fā)展到某一階段時，都各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了“圓周長與直徑的比是一個常數(shù)”，各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了“直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”。地球文明如此，宇宙文明也一定如此；于是自然地想到，數(shù)學(xué)語言能夠成為宇宙文明的共同語言。第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六上個世紀(jì)70年代，美國曾經(jīng)發(fā)射過一艘宇宙飛船，目的是與可能存在的“外星人”取得聯(lián)系。為了讓星外文明了解地球文明，這艘宇宙飛船帶去了地球上山川、河流、白云、海洋的照片，地球上各種動物、植物、微生物的照片，以及各種年齡、性別、民族的人類照片；還帶去了地球上的許多聲音，如狂風(fēng)暴雨的聲音、森林中的鳥鳴聲、大海的浪濤聲，以及不同民族的人類叫“媽媽”的聲音；同時還帶去了刻有右邊圖形的黃金制作（以防銹蝕損毀）的圖板。

第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六明晰這含有兩個方面的意思，一是數(shù)學(xué)語言是明確的，一是數(shù)學(xué)語言是有條理的。

數(shù)學(xué)語言是精確的，是從不含糊的。

“大于”與“大于等于”的涵義，是明確不同的；“都屬于集合A”與“有的屬于集合A”也是明確不同的；“存在左極限”與“存在極限”也是明確不同的。§1.3.3數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語言又是有條理的。一段話的敘述中，先說哪個層次，后說哪個層次，是有講究的；一個層次中，先說哪句話，后說哪句話，也是有講究的。數(shù)學(xué)語言中必須有“因”有“果”，“因”“果”分明，不能把“因”說成“果”，也不能把此“因”說成彼“因”。第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六嚴(yán)謹(jǐn)嚴(yán)謹(jǐn)，是指邏輯推理的嚴(yán)格和謹(jǐn)慎。它是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一，也是數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)之一。

首先是定理的敘述是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。例如算術(shù)基本定理敘述為：任一個大于1的自然數(shù)，都可以被表示為有限個素數(shù)（可以重復(fù)）的乘積，并且如果不計次序的話，表法是唯一的。這里，“大于1”的條件不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“有限個”三字不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“（可以重復(fù)）”的注解也不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“如果不計次序”的假設(shè)也不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)。第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六其次是推理的過程是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

推理的步驟如何，應(yīng)該表達(dá)清楚；每一步的理由是什么，也應(yīng)該表達(dá)充分。許多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)，學(xué)生推理時應(yīng)該注意“步驟完整，理由充足”八個字，是擊中要害的。例如，一個推理本來應(yīng)該由六步完成，你只寫出了五步，缺一步，就欠嚴(yán)謹(jǐn)；某一步本來應(yīng)該依據(jù)三個理由，你只寫出了兩個理由，缺一個，就欠嚴(yán)謹(jǐn)。如果某位學(xué)生有語言上的這種不嚴(yán)謹(jǐn)，其實(shí)是反映了他思維上的不嚴(yán)謹(jǐn)。

第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六簡潔

數(shù)學(xué)語言要求簡單干凈。數(shù)學(xué)語言和自然語言不同。自然語言允許同義反復(fù)，為了描述某一事物的美，往往用一大串意義相近的詞匯或并列的語句；為了形容一個人的聰明智慧，也常常用一大串意義相近的詞匯或并列的語句。但數(shù)學(xué)語言則要求用詞最少、不允許同義反復(fù)。在數(shù)學(xué)表達(dá)中，當(dāng)一個語句被另一些語句蘊(yùn)含著的時候，它就是多余的，一定要去掉這個語句。如果可以用三句話把意思表達(dá)清楚，就最好不要用四句話。如果可以有甲、乙兩種方式敘述同一個意思，那么就最好選擇用語較少的那種方式。第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六規(guī)范

自然語言當(dāng)然也有約定俗成的規(guī)范性；而數(shù)學(xué)語言則更加鮮明地表現(xiàn)出“規(guī)范”的特點(diǎn)。一句話說出來，不能有任何歧義。一個詞作為一個概念被定義以后，這個定義就要隨著這個詞貫徹始終，不能再有任何改變。第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六一些數(shù)學(xué)語言中常用的詞語，都有其特定的涵義，長期以來形成了規(guī)范。例如“任一個”，“有一個”，“沒有”表達(dá)的是三種不同的意思；“最多”、“至少”、“全都”表達(dá)的也是三種不同的意思；“必定”，“可能”、“不可能”表達(dá)的也是三種不同的意思；“開區(qū)間”、“閉區(qū)間”、“左開右閉的區(qū)間”表達(dá)的也是三種不同的意思。再例如，“包含”是用來說明兩個集合之間的關(guān)系，“屬于”是用來說明元素與集合之間的關(guān)系，“包含”與“屬于”不能混用。第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六“ε—δ”語言、集合論語言、公理化語言都是在不同歷史時期產(chǎn)生的數(shù)學(xué)語言，他們在數(shù)學(xué)發(fā)展史上都發(fā)揮了很大的作用。特別是集合論語言、公理化語言，現(xiàn)在已經(jīng)成為數(shù)學(xué)語言的核心部分和公用形式，尤其值得重視。第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六語言是思維的反映。數(shù)學(xué)語言的發(fā)展反映了人類理性思維的發(fā)展，它也是數(shù)學(xué)對人類文明的重大貢獻(xiàn)之一。作為一個大學(xué)生，不但應(yīng)該重視數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，同時也應(yīng)該重視數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練?，F(xiàn)在的大學(xué)生，在作業(yè)中習(xí)慣性地寫出“等號成立”、“問題得證”等詞語的大有人在；其實(shí)，相應(yīng)的規(guī)范數(shù)學(xué)語言應(yīng)該是“等式成立”和“命題得證”。第30