數(shù)形結(jié)合解決不等式有關(guān)問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合解決不等式有關(guān)問(wèn)題第1頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六教學(xué)目標(biāo)：1．知識(shí)教學(xué)點(diǎn)掌握用數(shù)形結(jié)合的思想方法解不等式及求參數(shù)的取值范圍使不等式（能、恰、恒）成立．2．能力訓(xùn)練點(diǎn)在用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題過(guò)程中，通過(guò)對(duì)函數(shù)、解析幾何、向量、導(dǎo)數(shù)等各部分知識(shí)的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通，從而提高分析問(wèn)題解決題的能力．

3．學(xué)科滲透點(diǎn)在解決問(wèn)題的過(guò)程中，形成和發(fā)展理性思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)．

第2頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（一）數(shù)形結(jié)合解不等式第3頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六f(x)=log2(–x)

g(x)=x+1

例1.(2003全國(guó)理14)使log2(–x)＜x+1成立的x的取值范圍是

．

解：令f(x)=log2(–x)，

g(x)=x+1，作出兩函數(shù)的圖象，

由圖象可知，x的取值范圍是(–1，0).第4頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2：解不等式：

變形得x2+y12=9(y1≥0)，(x–3)2+(y2–3)2=9(y2≤3)，作圖，

由圖形可知，不等式的解集為{x|

0＜x＜3}．

第5頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六作出兩函數(shù)的圖象，

由圖象可知，不等式的解集為區(qū)間[xC，xB]，

∵B(3，0)

且b–a=2，∴xC=1，

ABC第6頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（二）數(shù)形結(jié)合解含參數(shù)不等式成立問(wèn)題第7頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

f(x)=(x–2)2例4.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1，若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，f(x+t)≤x恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是（）

A．2 B．3C．4D．5

解：f(x)=(x+1)2，令y=x，依題意，則在區(qū)間[1，m]上f(x+t)的圖象在直線y=x下方．

作圖，

由圖形可知，當(dāng)f(x+t)=(x–2)2時(shí)，實(shí)數(shù)m的值最大，

解方程(x–2)2=x，得x=1，4．即m的最大值4，故選C．

y=x

f(x)=(x+1)2第8頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六y2=

13–13a

例5．已知在關(guān)于x的不等式loga(x2–4)＞loga(6x–13a)(0＜a＜1)

的解集中，有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求a的取值范圍．

解：∵0＜a＜1，

∴

作出函數(shù)y1在區(qū)間(–∞，–2)∪(2，+∞)的圖象，

設(shè)y1=(x–3)2，y2=13–13a，由圖象可知，1＜13–13a≤4，

解得

第9頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六思考題.(2007全國(guó)Ⅰ理20)設(shè)函數(shù)f(x)=ex–e–x．（Ⅰ）求證：f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)≥2；（Ⅱ）若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍．（Ⅱ）解法一：令g(x)=f(x)–ax，則g(x)=f(x)–a=ex+e–x–a，（ⅰ）若a≤2，當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=ex+e–x–a＞2–a≥0，故g(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，所以，x≥0時(shí)，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g(x)=0的正根為，此時(shí)，若x∈(0，x1)，則g(x)＜0，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù)．所以，x∈(0，x1)時(shí)，g(x)＜g(0)=0，即f(x)＜ax，與題設(shè)f(x)≥ax相矛盾．綜上，滿足條件的a的取值范圍是(–∞，2]．第10頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

f(x)=ex–e–x思考題.(2007全國(guó)Ⅰ理20)設(shè)函數(shù)f(x)=ex–e–x．（Ⅰ）求證：f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)≥2；（Ⅱ）若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍．y=ax

（Ⅱ）解法二：利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的性狀，∵f(x)=ex+e–x＞0，∴函數(shù)f(x)當(dāng)x≥0時(shí)單調(diào)遞增，

又∵函數(shù)f(x)當(dāng)x≥0時(shí)也單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)是下凸的．作出函數(shù)f(x)的圖象，

令y=ax，其圖象是過(guò)原點(diǎn)的直線，

若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax，則直線y=ax在f(x)的圖象的下方．

∴只要直線y=ax在f(x)在原點(diǎn)處的切線下方即可．

∵f(x)在原點(diǎn)處的切線的斜率f(0)=2，∴a≤2．

第11頁(yè)，共13頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越小結(jié)：1.抽象問(wèn)題直觀化、生動(dòng)