向量題型分析難題集

2ab222..2ab222向量題型分析，難題集一、向量法證明幾何、三角函數(shù)中定理、公式例1向法證明兩角差的余弦式

ccos

析：教科書上的探究有利用單位圓上的三角函數(shù)線和向量的知識(shí)，運(yùn)用向量工具進(jìn)行探索，過(guò)十分簡(jiǎn)潔！例2證：對(duì)于任意的

c

，恒有不等式證明：設(shè)

u

uuac

a

c

即

例3向法證明勾股定理。證明：如圖，bca,c2即

2

c

2

2

BA利用向量還可以證明平面幾何的許多命題，例如菱形的對(duì)角線相互垂直、長(zhǎng)方形對(duì)角線相等、方形的對(duì)角線垂直平分以及關(guān)于三角形、四邊形、圓等平面圖形的一些其他性質(zhì)。例4．在△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，使

2BPCP2

的值最小。解：如圖，設(shè)CA=，=，=，AP=—，=x—。∴

AP

222=

(

—

a)

2+(x—b)

+

2

A=3—2+）x++b=3[

x

22()]++()3

。

根據(jù)向量運(yùn)算的意義，知rr當(dāng)x()時(shí)，AP2有小值。rr設(shè)M為AB的中，易知=，rr即當(dāng)x(a)時(shí)，CP，時(shí)為三形的重心。3二、向量法解決代數(shù)中的最值問(wèn)題

B

C例5

x

2y2a2

4.(xa,b求的最值解：構(gòu)造向量

m因?yàn)樗?/p>

mm

x22;.

ABAB..ABAB評(píng)：向量是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，根據(jù)函數(shù)的形式，結(jié)構(gòu)特征，巧妙構(gòu)造向量可化難為易獲得新穎、快捷的解法。例2：求數(shù)

y2x

的最大值。解：因?yàn)?/p>

2x5

；所以

x5x設(shè)

3q

x

則

19,qp.當(dāng)且僅當(dāng)

與

平行且方向相同時(shí)不等式取等號(hào)即，

25

x解之得，當(dāng)

x

8819

時(shí)，

133三．向量的線性運(yùn)算，面積結(jié)論，三角形幾個(gè)心問(wèn)題1.

已知O是ABC所平面內(nèi)的一點(diǎn)，內(nèi)角A所應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為

r,，OA

，則O是ABC

的外

內(nèi)

C.重心

垂2

已知是

所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，A,B,C是面上共線點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足OPAC

則點(diǎn)P的跡一定通過(guò)

外

內(nèi)

C.重心

垂3已是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)是面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP通ABCAB外

內(nèi)

C.重心

垂4

已知是

ABC

所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，A,B,C是面上共線點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足OP

BAC

則點(diǎn)P軌跡一定通過(guò)

ABC外

內(nèi)

C.重心

垂;.

2a?aa?b2..2a?aa?b25

的外接園的園心為

O

，P

是

所在平面上的一點(diǎn)，若-lOA+-l++lOC=

R，P必過(guò)三角形的()(A)

外心

(B)

內(nèi)心

()

重心

()

垂心6

若定點(diǎn)O滿

+=+CA=+

，則是

ABC

（）(A)

外心

(B)

內(nèi)心

()

重心

()

垂心7

O,BP,

AB

OP,A

12

B

22C222814

如圖,設(shè)PQ內(nèi)兩點(diǎn),且AB,＝AC,則的面積與ABQ的積之比為()

＋

QA.

15

B.

4C.54

D.

13

A

P

B9

如圖，已知為上一點(diǎn)，P為AB外一點(diǎn)，滿足

=2，||5

，

PB

，I為上點(diǎn)，且有

BA

ACAC|

APAP

0)

，則

BIBA

的值為（）AB．2．+1D．–110

若向量與不線，a?0，

)b，向量與的角為（）（

）

0

（

）

（C）（D611

在直角三角形

ABC

中，點(diǎn)

是斜邊

AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)

為線段

的中點(diǎn)，則

PAPC

=;.

222..222AB．4．5．1012

如圖所示直線x與曲線:

x2

的漸近線交于

E,E2

兩點(diǎn)記,12

任雙曲線上點(diǎn)P若

,(、R)2

則a

滿足的一個(gè)等式是____13

已知O為角ABC

的外心，

AB

16,2

，若AOABy，

x25

，則

AO14

,B,P是線l上同的三點(diǎn)，點(diǎn)直l，若AP

PBPA

15

.各棱長(zhǎng)都等于2的面體ABCDG為BC的點(diǎn)E為內(nèi)動(dòng)點(diǎn)

GE//面

若

12

，則

3216

平面上O,A,B三不共線，設(shè)

A=a,

，則△的積等于

）(A)

|2b|

(B)

|2b|a

2(C)17

2|a|2|b||a|b|(D)設(shè)A，A，，A是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若2

A12

(λ，

AAA11

(μ，且

1

,則，A調(diào)和分割，已知點(diǎn)C(c，O)(c∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0，0)，0)1則下面說(shuō)法正確的是可是線段AB的點(diǎn)可是線段AB的點(diǎn)(C)C，D可能同時(shí)在線段AB上(D)C，D不可能同時(shí)在線段AB的延線上;.

23y..23y18

已知

C

不共線，且有

BC

則請(qǐng)比較

,,

的大小19

設(shè)

是

內(nèi)的一點(diǎn)，求

OAOBOC

2

的最小值20

設(shè)向量

rrrrrrb|=1,a=

12

，

rrrrr60，c的最大值等于(A)2(B)

(c)

(D)121

在△中分為中點(diǎn)P為EF上一實(shí)數(shù)x滿足PA+PBPC=0

D

設(shè)△ABC，PCA的積分別為S，，，1x+的值為-11C.

SS則SS

取最大值時(shí)，22

定義域?yàn)閇a,b]函數(shù)f(x)像的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x,）是f()圖上任意一點(diǎn)，其中x(1[a,]已知向量OB，若不等式|MN恒立，則函數(shù)f)[,b]

上k階性近似。函數(shù)

x

在[1上k階性近似，實(shí)數(shù)的取值范圍為A[0,

B[

13,．[2,．[1223

給定兩個(gè)長(zhǎng)度均為2的面向量向量OA,OB，們的夾角為1在為心的圓弧上運(yùn).若OCxOA，的最大值是324

在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)

A

對(duì)于某個(gè)正實(shí)數(shù)k

，存在函數(shù)

f

OAOQOA

其中點(diǎn)的標(biāo)別為;.

的取值范圍是

ABC1233..ABC123325

如圖1：OM∥，點(diǎn)射線OM、線段OB及AB的長(zhǎng)圍成的陰影域內(nèi)（不含邊界）.且OPxOA

，則實(shí)數(shù)對(duì)（x,）可以是A

3(,)4

(

)C.

3(,4

()526

SS設(shè)是△ABC內(nèi)意一點(diǎn)，S表△的積，λ＝，λ＝，＝PAB，義fλSABC1

111λ若是ABC的重心，(Q)（，，2

（）A點(diǎn)Q在GAB內(nèi)

B點(diǎn)Q在△GBC內(nèi)

C．Q在GCA內(nèi)

D．點(diǎn)與G重27設(shè)D是正PPP及內(nèi)部的點(diǎn)成的集合，點(diǎn)是PP的中心，若集合1203P|DPP|,i1,2,3}，則集合表的平面區(qū)域是()0iA三角區(qū)域B四邊形區(qū)域

C．五邊形區(qū)域

D．六邊形區(qū)域28

對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量

和

，定義

o

若個(gè)非零的平面向量

a

，

b

滿足

a

與

b

的夾角,

，且

ao

和

oa

都在集合

o

31C.D.29

點(diǎn)O是角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足

OBOCOC，則點(diǎn)O是ABC（）（A）三個(gè)內(nèi)角的角分線的交點(diǎn)

(B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)）條中線的交點(diǎn)（D）三條的交點(diǎn)30

已知兩點(diǎn)

(

且點(diǎn)P使

,PMPN,NM

成公差小于零的等