高考三角函數(shù)試題評析及備考建議

2009年高考三角函數(shù)試題評析及備考建議

三角函數(shù)是高中數(shù)學的主干知識之一，也是高考重點考查的內容。2009年高考仍然延續(xù)了往年對這一部分考查的特點，即以中低檔題考查三角函數(shù)的基本知識、方法與技能，文理科基本是相同題或姊妹題。但是實施新課標高考的省市試卷也出現(xiàn)了一些新的特點，重視對應用問題的考查，重視在三角形中考查三角函數(shù)的知識。以下我們對2009年高考三角函數(shù)試題進行盤點、評析，供復習參考。一、2009年高考三角函數(shù)試題盤點（理科）續(xù)表注：打*的試卷是新課標高考試卷。從上表中，我們不難發(fā)現(xiàn)，2009年高考數(shù)學對三角函數(shù)部分的考查有以下特點：(1)題型與分值除全國卷（Ⅱ）、海南（寧夏）卷出了兩道小題和一道大題外，其他各省市試卷都是一道小題和一道大題，分值17分左右，約占整個卷面分的12%，估計以后的高考對三角函數(shù)的考查仍會保持這一狀況。(2)客觀題特點著重考查基礎知識，如同角三角函數(shù)的基本關系式、三角函數(shù)的圖像與性質，特別是函數(shù)y=Asin(ωx+ψ)的最大（?。┲?、單調性、奇偶性、對稱性、周期性、圖像變換等，此類題以前也往往在主觀題中出現(xiàn)，難度中等，從今年大多數(shù)省市看，對這一塊仍作重點考查，但難度明顯降低，題小但精典，解答方法靈、活、巧。(3)主觀題特點以容易題或中等難度題的形式出現(xiàn)，通過解三角形，著重考查學生利用所學知識解決實際問題的能力，在三角形中考查學生對三角公式的恒等變換、正（余）弦定理的運用等基礎知識的掌握程度，同時，對學生的化歸能力、運算能力、邏輯思維能力都有較高要求。在新課標高考試卷中，上述特點尤為突出，這與新課標及其考試說明的要求也是相一致的。(4)綜合性問題繼續(xù)加強與平面向量的綜合考查，借助向量的工具作用，來建立三角函數(shù)關系式，進而再進行三角變換，最終研究三角函數(shù)性質，這仍將是以后命制三角函數(shù)題的一個方向?？傊?，縱觀2009年各省市對三角函數(shù)的考查，總體難度有所降低，不再過分地去考查公式變形，降低了對運算復雜性、技巧性的要求，堅持主干知識重點考，加大了對學生實際應用能力的考查。二、試題選析1.求值題評祈求三角函數(shù)的值或三角函數(shù)式的值是最基本的題型，這類問題主要考查同角三角函數(shù)之間的關系式及兩角和與差的正、余弦等公式的應用，同時也考查學生的運算能力及考慮問題的思維嚴密性。本題也是與向量進行綜合，但向量只是“外衣”，解題時要把向量間的關系轉化為三角函數(shù)的關系式，再進一步作答，這種綜合或嫁接是簡單的、機械的。做求值題時，要特別注意角的范圍的限制，它決定了所求值的符號選擇。2.三角函數(shù)的圖像與性質評析高考中，對三角函數(shù)的圖像與性質的考查是經(jīng)久不衰的主旋律，是最重要的題型。這類問題的特點往往是：給出一個較為復雜的三角函數(shù)式，要求利用降次公式、輔助角公式等將其轉化為一個三角函數(shù)式y(tǒng)=Asin（ωx+ψ）+k，再進一步討論它的值域或最值、周期性、單調性、對稱性、圖像變換等。解答此類問題時，要熟練應用常用的公式，密切聯(lián)系函數(shù)圖像，突出數(shù)形結合的應用。3.解三角形例3（福建卷，理18）如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx(A＞0,ω＞0)，x∈[0,4]的圖像，且圖像的最高點為；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP=120°。（Ⅰ）求A、ω的值和M、P兩點間的距離；（Ⅱ）應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？評析本題將三角函數(shù)的圖像與性質、解三角形等知識進行綜合考查，同時冠以實際背景，可以看作實際應用題。第二問是一個方案設計型問題，是一個優(yōu)化問題，也是一個開放題。本題構思巧妙，將多種知識有機融合于一題，是不可多得的一道好題。該題能夠有效地考查學生的運算求解能力、應用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力、化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想。評析本題將平面向量的基礎知識（向量共線、垂直的充要條件，向量的模長公式）與三角函數(shù)的性質、同角三角函數(shù)間的基本關系進行了綜合考查。在三角函數(shù)試題中融入向量，這是近年來許多省市三角函數(shù)試題的流行做法。在以后的高考復習中，也要高度關注。5.解三角形的實際應用例5（寧夏、海南卷，理17）為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟。評析本題是一個典型的測量型應用題，也可以視為一個探究性開放題，符合新課標的基本理念。題目沒有給出一個量與數(shù)據(jù)，而是要求學生指出需要測量的量，并設計測量方案。在以往的高考題或模擬題中，從來沒有考查過此類問題，試題的難度雖然不大，但是對學生利用所學知識解決實際問題的能力、動手組織能力有較高要求。對于做慣條件、結論明確的題目的同學來說，無疑也是一個挑戰(zhàn)。在今年的17份新課標試卷中，有多達6份試卷出現(xiàn)了解三角形的應用題，在2010年的高考復習中，應予充分重視。三、對2010年高考復習的建議(1)重視對《考試說明》的研究從宏觀上準確掌握《考試說明》要求掌握的內容，做到復習不超綱，至少要對本省自主命題的高考題認真分析，明確考試要求、考試內容的知識要求、能力要求和個性品德要求。(2)狠抓基礎，構建知識結構和認知結構以課本為主，重新全面梳理知識、方法，注意知識結構的重組與概括，揭示其內在聯(lián)系與規(guī)律，第一輪復習，從知識上不放過任何一個概念、公式，要做到會公式的順用、逆用、變用、巧用，深刻理解三角函數(shù)的圖像與性質，熟悉一些基本結論，不放過課本上的任何一個例題、習題，做到會對例子的引申、拓展，實際上今年寧夏、海南卷的第17題就類似必修5第132頁的例2。(3)突出重點，狠抓落實，夯實基礎在全面掌握基礎知識后，要突出重點，各個突破，如對三角函數(shù)的圖像與性質，要抓住此類題的一般規(guī)律：先利用降次公式、誘導公式等，將y=f(x)恒等變形為y=asinx+bcosx，再利用輔助角公式變換到y(tǒng)=Asin（ωx+ψ）的形式，再利用它研究圖像的變換、周期、初相、單調性、對稱性、奇偶性等。一般方法及做小題時的特值法都要要求學生熟練掌握。又如解三角形時的邊化角，角化邊及利用三角形內角和進行角度的相互代換等思想，使學生在頭腦中根深蒂固。(4)注重對學生實際應用能力的培養(yǎng)，尤其是利用正余弦定理解決實際生產、生活中的測量、航空、航海、氣候等方面的問題，這類題選題時，要注意符合學生認知水平，同時，還要注意三角函數(shù)與其他數(shù)學知識的綜合題訓練，比如，三角函數(shù)與向量、不等式、數(shù)列、導數(shù)等綜合，這類題難度不宜拔的過高。在三