2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊課時(shí)學(xué)優(yōu)精練1112與三角形有關(guān)的線段（2）三角形的高中線角平分線（解析版）

課時(shí)11.1.1與三角形有關(guān)的線段（2）三角形的高、中線、角平分線學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________三角形的高及其作法1．在△ABC中，∠A是鈍角，下列圖中畫BC邊上的高線正確的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)三角形高線的定義，BC邊上的高是過點(diǎn)A向BC作垂線,縱觀各圖形，A.B.C.都不符合高線的定義，D符合高線的定義.故選D2．如圖，在三角形中，，，垂足為，，，，則______．【答案】2.4【解析】解：∵，，∴12AB×∵，，，∴AD=AB×ACBC=3．如圖，在三角形ABC中，∠C＝90°，AB，BC，AC分別為5cm，3cm，4cm．（1）畫圖表示點(diǎn)C到邊AB的距離；（2）求這個距離．【答案】（1）見解析；（2）cm【解析】解：（1）如圖，以點(diǎn)C為圓心，任意長為半徑做圓，交線段AB于E、F兩點(diǎn)，再分別以E、F兩點(diǎn)為圓心，大于長為半徑，做兩個半徑相同的圓，兩圓交于其中一點(diǎn)P，連接CP交AB于D點(diǎn)，此時(shí)CD為三角形ABC的高，即為點(diǎn)C到邊AB的距離；（2）∵∠C=90°,CD⊥AB,∴S【劃考點(diǎn)】三角形的高：1、含義：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的連線段叫做三角形的高。（三角形三條高或高所在直線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)為三角形的垂心）2、高的性質(zhì)：銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角三角形的直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外。三角形的中線、角平分線4．如圖，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD為中線，則與的周長之差為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：AD為△ABC的中線，∴BD=CD，∵AB=2020,AC=2018，∴C=AB+BD+AD?AC?CD?AD=2020?2018=2故選B．5．已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC一定（）A．小于直角B．等于直角C．大于直角D．不能確定【答案】C【解析】在△ABC中，∠ABC+∠ACB<180°，所以∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）>90°．故答案選C．6．如圖所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的高，則∠DAE＝___．【答案】25°【解析】解：在△ABC中，∵∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD=35°．又∵AE是BC邊上的高，∴∠AEB=90°，∵在△ABE中∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=25°，故答案為：25°．【劃考點(diǎn)】1、中線定義：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。（三角形的三條中線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫三角形的重心）2、角平分線定義：三角形一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的連線段叫做三角形的角平分線。（三角形三條角平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心）1．不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）A．三角形的角平分線B．三角形的中線C．三角形的高D．以上皆不對【答案】C【解析】三角形的角平分線、中線一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的高線有兩條是三角形的直角邊，鈍角三角形的高線有兩條在三角形的外部，所以，不一定在三角形內(nèi)部的線段是三角形的高.故選C.2．如圖，若CD是△ABC的中線，AB＝10，則BD＝（）A．6B．5C．8D．4【答案】B【解析】解：∵CD是△ABC的中線，AB＝10，∴BD＝12AB=53．已知是△ABC的中線，，，且的周長為11，則的周長是（）A．14B．9C．16D．不能確定【答案】B【解析】解：∵BD是△ABC的中線，∴AD=CD，∵△ABD的周長為11，AB=5，BC=3，∴△BCD的周長是11-（5-3）=9，故選：B．4．如圖，△ABC的面積為10，AD為BC邊上的中線，E為AD上任意一點(diǎn)，連接BE、CE，圖中陰影部分的面積為（）A．4B．5C．6D．8【答案】B【解析】解：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD=5，S△BDE=S△CDE，∴S△ACE+S△BDE=S△ACE+S△CDE=S△ACD=5，故選：B．5．如圖，線段AD，AE，分別是的高線，角平分線，中線，比較線段，AD，AE，的長短，其中最短的是（）A．AFB．AEC．ACD．AD【答案】D【解析】解：由三角形的高線的定義得：，由垂線段最短得：線段最短，故選：D．6．下列說法正確的個數(shù)有（）①三角形的高、中線、角平分線都是線段；②三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部，且交于同一點(diǎn)；③三角形的三條高都在三角形內(nèi)部；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分．A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【解析】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確；②三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部，且交于同一點(diǎn)，故正確；③鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯誤；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，故正確．所以正確的有3個．故選：C．7．下列各圖中，作△ABC邊上的高，正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A、AD是△ABC邊BC上的高，不符合題意；B、AD不是△ADC邊AC上的高，不符合題意；C、BD是△DBC邊BC上的高，不符合題意；D、BD是△ABC邊AC上的高，符合題意；故選：D．8．如圖，Rt△ABC中，，BD⊥AC于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，則下列說法中正確的是（）A．DE是△ACE的高B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高D．AB是△ABC的高【答案】D【解析】解：，于點(diǎn)，于點(diǎn)，是的高，是的高，是的高，A、不符合題意；B、不符合題意；C、不符合題意；D、符合題意；故選：D．9．在三角形的三條高中，位于三角形外的可能條數(shù)是______條．【答案】0或2【解析】解：∵當(dāng)三角形為直角三角形和銳角三角形時(shí)，沒有高在三角形外；而當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，三角形的高有兩條在三角形外，一條在三角形內(nèi)．∴在三角形的三條高中，位于三角形外的可能條數(shù)是0或2條。故答案為0或2．10．已知AD為△ABC的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，則∠BAC的度數(shù)為__________．【答案】70°或30°【解析】①如圖1，當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°；②如圖2，當(dāng)高AD在△ABC的外部時(shí)，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°，綜上所述，∠BAC的度數(shù)為70°或30°．故答案為：70°或30°．11．如圖，在△ABC中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為___________．【答案】14°【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．故答案為14°．12．如圖，已知BD是的中線，，，和的周長的差是_____________．【答案】2【解析】解：∵是的中線，∴，∴和的周長的差是：．13．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E在線段AC上且EC＝2AE，線段AD與線段BE交于點(diǎn)F，若△ABC的面積為6，則四邊形EFDC的面積為________．【答案】【解析】解：連接CF，∵CE=2AE，△ABC的面積為6，∴S△ABE=×6=2，S△BCE=×6=4，S△AEF：S△CEF=1：2，∵AD是BC邊上的中線，∴S△ABD=S設(shè)S△AEF=S，則S△CEF=2S，∴S△ABF=2﹣S，則S△BCF=4﹣2S，設(shè)S△ABF=x=2-S，則S△BDF=S△CDF=3-x，∵AD是BC邊上的中線，∴S△ABF＋S△BDF＝S△CDF＋S△AEF＋S△CEF，即3=3-x+3S，即x=3S，∴S△ABE=4S=2，∴∴S四邊形EFDC=．故答案為．14．如圖，、分別是邊，上的點(diǎn)，，，設(shè)的面積為，△ACE的面積為．若，則的值為__________．【答案】1【解析】∵，∴，∵，∴，∴故答案為：1．15．如圖，AF和BE是△ABC的中線，則以下結(jié)論①AE=CE；②O是△ABC的重心；③△ACF與△ABE面積相等；④過點(diǎn)C，點(diǎn)O的直線平分線段AB．其中正確的是_______（填序號）．【答案】①②③④【解析】解：∵AF和BE是△ABC的中線，∴AE=CE，CF=BF，所以①正確；點(diǎn)O為△ABC的重心，所以②正確；∵S△ACF=S△ABC，S△ABE=S△ABC，∴S△ACF=S△ABE，所以③正確；∵O點(diǎn)為△ABC的重心，∴過點(diǎn)C、點(diǎn)O的直線平分線段AB，所以④正確．故答案為①②③④．16．如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，連接，若△ABC的面積為6，則的面積為_________．【答案】【解析】解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴CG=2DG，∴S△DEGS△CDE∵點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，∴S△BCDS△ABC，S△CDES△BCD，∴S△CDES△ABC，∵△ABC的面積為6，∴S△CDE，∴S△DEGS△CDE；故答案為：17．（1）線段是的角平分線，那么____．（2）線段是的中線，那么____．【答案】【解析】解：（1）線段是的角平分線，那么．故答案為：，；（2）線段是的中線，那么，故答案為：，．18．如圖，點(diǎn)O在ABC內(nèi)部，且到三邊的距離相等．且∠A=70°，則∠BOC=______°．【答案】125【解析】解：∵點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=180°-（180°-70°）=125°，故答案為：125．19．如圖，在△ABC的周長為，是邊上的中線，，，求的長．【答案】cm【解析】解：∵是邊上的中線，，∴設(shè)BD=CD=1.5x，=2x，∴2x+3x+15=36，解得：x=，∴BD=1.5x=cm．20．如圖，已知、分別是△ABC的高和中線，的面積，，，．求：（1）的長；（2）△ABC的周長．【答案】（1）；（2）的周長=．【解析】（1）的面積，是的高，，∴，．是△ABC的中線，．（2）是△ABC的高，，，，又∵12AC×AB△ABC的周長．21．圖、圖分別是的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為，的三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，請?jiān)趫D、圖中分別按要求畫圖：圖1圖2（1）在圖中畫△ABC的中線；（2）在圖中畫△ABC的高線．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析【解析】（1）∵是△ABC的中線∴△ABC的中線作圖如下：；（2）如圖，過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)G∵網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為∴∴∵，即∴過點(diǎn)B作直線，使，BE并交延長線與點(diǎn)E，如下圖：即為△ABC的高線．22．已知△ABC的面積是60，請完成下列問題：（1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積△ACD的面積（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如圖2，若CD、BE分別是△ABC的AB、AC邊上的中線，CD和BE交于點(diǎn)O．求四邊形ADOE的面積可以用如下方法：連接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，設(shè)S△BDO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△ADO＝x，S△AEO＝y(tǒng)，由題意得：S△ABE＝S△ABC＝，S△ADC＝S△ABC＝，可列方程組為：．解得，通過解這個方程組可得四邊形ADOE的面積為；（3）如圖3，若點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在線段AB和AC上，滿足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE交于點(diǎn)O．請你計(jì)算四邊形ADOE的面積，并說明理由．【答案】（1）＝；（2）30；30；；20；（3）25，理由見解析【解析】解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖1，∵AD是△ABC的BC邊上的中線，∴BD＝DC．∵，S△ADC=12CD×AE∴故答案為：＝．（2）連接AO，如圖2，∵AD＝DB，由（1）得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，設(shè)S△BDO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△ADO＝x，S△AEO＝y(tǒng)，∵CD、BE分別是△ABC的AB、AC邊上的中線，∴S△ABE＝S△BEC＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△BDC＝S△ABC＝30，∵S△ABE＝S△BDC+S四邊形A