探索相似三角形相似的條件 知識講解(提高)-初中數(shù)學【名校學案詳細解答】

探索相似三形相似的條(高【習標1.相似三角形的概.2.相似三角形的三個判定定.3.黃金分割.4.進步探索相似三角形的判定及其應用，提高運用“類比”思想的自覺性，提高推理能.【點理要一相三形概相似三角形：三個角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角.要詮：(1)書寫兩個三角形相似時，要意對應點的位置要一致，即∽，則說明點A的應點是A′，點B的應點是B′，對應點是′；(2)對于相似比，要注意順序和應的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和二個三角形的對應邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似當相似比為1時兩個三角形全等.要二相三形三判定定理：兩分相等兩三形似兩成例夾相的個角相.三成例兩三形似要詮：（1）要判定兩個三角形是否相，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相.（2）此方法要求用三角形的兩及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤.要三相三形常圖及變：要四黃分定義一般點把線AB分兩條線段AC和BC兩,如果

AC

,那么線段被點C黃金割點做線段AB的黃金分割點AC與AB的比做黃金.要詮：

55AB≈0.618AB(0.618是金分割的近似值，2

是黃金分割的準確值.

作一條段黃分點如圖，已知線段，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點B作BD⊥，=

AB.（2）連接，在DA上截取DE.（3）在上取ACAE則點C為段AB的黃金分割.要詮：一條線段的黃金分割點有兩個.【型題類一相三形概1、買西瓜為什么挑大個？思馳是一個好奇心很強的女孩，凡都喜歡問個為什么．一天，思馳跟爸爸上街買西瓜．見爸爸選中的全是大個西瓜，她的小腦袋瓜又轉(zhuǎn)開了：買西瓜為什么挑大個？“你這個沈老師的得意門生，能用學過的數(shù)學知識解決嗎？”，爸爸“將”了思馳一軍．回到學校，思馳就找來遠兮一起商量．兩人便開始了一番精彩對話．思馳：西瓜可以近似看成球體，可以應用球的體積公式．遠兮：大西瓜和小西瓜的皮厚幾乎相等．思馳：人們買瓜是為了吃瓤．遠兮：瓤的體積在整個西瓜體積中占的比越大越好．思馳：兩者的體積比如何求呢？經(jīng)過一段時間的商討，她們提出了解決方案：設瓜瓤（視為球體）的半徑為r，瓜皮厚度為a，則瓤和整個瓜的體積比為：

43

433r)

3

rr)(r)3r

3

＜1當a一定時r值越大

r()r

的值越接近于1，即西瓜越大瓤與整個瓜的體積比越接近于1．思馳把解決方案講給父親聽后，父親充滿了贊許之意，父親同時又提出了：能用你正在學習的相似圖形知識解決問題嗎？你學完圖形的似這一章后，我相信你還能找出方的．問題：你認為生活中還有哪些與它類似的情形？【思路點撥】通過選西瓜的方法學會分析決生活中簡單的實際問題，將西瓜沿球心所直線切開，得到瓤和皮兩個圓，根據(jù)相似形的性質(zhì)，算其半徑的比，得到面積比，而得出正確結果．【答案與解析】解：如圖，設西瓜外徑為R，西瓜內(nèi)徑為r，瓜厚度為a，

于是兩圓面積比為

Sr2rS(rR

2

，當r越大時，S：S越接近與1，故西瓜越大越合算．與此類似，買雞蛋也應挑大個的．【總結升華】此題是一道材料分析題，通過題目息所給出的研究方法，進行探究是解答類題目的基本思路．類二相三形三判定2.如圖，在正方形ABCD中E分別是邊AD、CD上的，的延長線于點G．（1求證：△ABE∽△DEF；（2若正方形的邊長為4，求的長

，連接EF并延交BC【思路點撥）利用正方形的性質(zhì)，可A=D根據(jù)已知可得角相等三角形相似，可eq\o\ac(△,得)ABEDEF；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，得CG的，即可求得BG的．【答案與解析）證明ABCD為方形，，A=D=90AE=ED

，根據(jù)有兩邊對應成比例且夾

，DC，

，，ABE△DEF；（2）解：ABCD為方形，EDBG，

，又，正方形的邊長為，ED=2，CG=6∴．

【總結升華】此考查了相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識的合應用，解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用．舉一反三【變式】如圖，已知在△ABC△DEF中∠C=54°∠A=47°∠F=54°∠E=79°，求證：△ABC∽△DEF．【答案】解：在△ABC中，∠B=180∠A-∠C=79°在△ABC和△DEF中，＝

，∴△ABC∽△DEF．3、如圖eq\o\ac(△,)ABC中AB=5，，CA=4D為AB中點，過點D的直線與BC交點，直線DE所得的三角形eq\o\ac(△,)ABC相，則DE的長為多少？【答案與解析】解：D為的中點，BD=，，當DBE=ACBeq\o\ac(△,)BAC時，如圖1，則

=

，即

=

，解得DE=2；當BDE=ACB時，如圖，DEAC于F，

DAF=CAB，ADFACB，△，

=

，即

=

，解得

，綜上所述，若直線DE所的三角形ABC似，則DE=2或

．【總結升華】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想在本題的應用，避免漏解．舉一反三【變式】如圖，在△于△ADE中,件，這個條件是___________．

AB

，要使△ABC于△ADE相似，還需要添加一個條【答案】∠∠．4如圖，方格紙中每個小正形的邊長為1，△ABC和DEF的頂點都在方格紙的格點上．（1）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；（2）P，P，P，P，，D，F(xiàn)是DEF邊上7個點，請在這7個格點中選取3個點為三角形的頂點，構成的三形與△ABC似（要求寫出2個符合條件的三角形，在圖連接相應線段，不必說明理由）【思路點撥）先根據(jù)小方的邊長，出△ABC△DEF的三邊長，后判斷它是否對應成比例即可．

（2）只要構成的三角形與△ABC的邊比相等即可（答案不唯一【答案與解析】解：（1）△ABC和△DEF相似；根據(jù)勾股定理AB=2

5

5

BC=5；DE=4

，DF=2

，EF=2

；∵

AB2DEDF

,∴△ABC∽△DEF．（2）答案不唯一，下面6個三形中的任意2個可；△DP，△PPF，△DPP，△P，PP，△FDP．【總結升華】此題主要考查的是相似三角形的判定方法：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似SSS）舉一反三【變式如圖已知每個小正方形的邊長均為eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)與△DEF的頂點都在小正方形的頂上，那么△DEF與△ABC相似的是（）【答案】B.由勾股定理求得各三角形的三邊長，然后根三組對應邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解選擇題中的應用．類型三、黃金分割折紙與證明--用紙折出黃金分點：第一步：如圖（將一張正方形紙片ABCD折，得到折痕；折出矩形BCFE的角線BF第二步：如圖（AB邊到BF，得到折痕，試說明點G為線AD的金分割點（AG＞GD【思路點撥連GF，設正方形邊長為1，由折紙第一步，可知DF=

12

，在eq\o\ac(△,Rt)BCF中根據(jù)勾股定理得

出BF，在eq\o\ac(△,Rt)′GF和eq\o\ac(△,Rt)DGF中根據(jù)勾股定理由GF不列出關于AG的程，解方程求出的長即可說明點G是AD的金分割點．【答案與解析】證明：如圖，連接GF，正方形的邊長為1則DF=

12

．在eq\o\ac(△,Rt)BCF中，5則A′F=BF-BA′=2

-1．

52

，設AG=A′G=x，則，在Rt△A和eq\o\ac(△,Rt)中有A'F

+A'G=DF+DG，即

52

1-1)2+x=()，2解得

52

，即點G是AD的金分割點（【總結升華】本題考查黃金分割概念：把線段AB分成條線段AC和BC＞BC使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC做線段AB黃分割，點C叫做線段的黃金分割點