凌波微步數(shù)學(xué)建模融入基礎(chǔ)課程教學(xué)市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

凌波微步---數(shù)學(xué)建模融入基礎(chǔ)課程教學(xué)

李尚志北京航空航天大學(xué)

第1頁第1頁

數(shù)學(xué)建模主要思想

利用數(shù)學(xué)知識(shí)處理問題

實(shí)際問題-建模

數(shù)學(xué)模型

i求解

實(shí)際解檢查-

數(shù)學(xué)解

第2頁第2頁

詠數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)精微何處尋,紛紜世界有模型.描摹萬象得神韻,識(shí)破玄機(jī)算古今.豈是空文無實(shí)效,能生妙策濟(jì)蒼生.經(jīng)天緯地展身手,七十二行任縱橫.第3頁第3頁

將數(shù)學(xué)建模思想引入基礎(chǔ)課程教學(xué)（一）

利用基礎(chǔ)課知識(shí)建立模型處理問題:(1)來自現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際問題(2)數(shù)學(xué)本身發(fā)展提出問題第4頁第4頁

將數(shù)學(xué)建模思想引入基礎(chǔ)課程教學(xué)（二）從問題出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型處理

“創(chuàng)造”出基礎(chǔ)課程知識(shí)---人類舊知識(shí),學(xué)生新知識(shí)第5頁第5頁

凌波微步=數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模主要思想實(shí)際問題-建模

數(shù)學(xué)模型

i求解

實(shí)際解檢查-

數(shù)學(xué)解難以處理-轉(zhuǎn)化

容易處理凌波微步:打不贏就跑-轉(zhuǎn)化跑到打得贏地方再打/10/10第6頁第6頁潤(rùn)物細(xì)無聲：應(yīng)用案例

第7頁第7頁

第8頁第8頁

第9頁第9頁第10頁第10頁

第11頁第11頁

第12頁第12頁

第13頁第13頁

第14頁第14頁

第15頁第15頁隨風(fēng)潛入夜:概念引入方程個(gè)數(shù)真與假

方程組有幾種方程？

3個(gè)?2個(gè)?

某個(gè)方程是其余方程線性組合線性相關(guān)第16頁第16頁問題：如何判斷a,b,g線性無關(guān)？

分別解三個(gè)方程？xa+yb=g,xa+yg=b,xb+yg=a只須解一個(gè)方程xa+yb+zg=0看它是否有非零解線性相關(guān)與線性無關(guān)“打假”到底:極大無關(guān)組,秩第17頁第17頁

方程組線性相關(guān)有多出方程（是其余方程線性組合）刪去多出方程----打假將打假進(jìn)行到底極大線性無關(guān)組剩余方程個(gè)數(shù)----秩rank極大線性無關(guān)組，秩第18頁第18頁問題：秩唯一性方程組(A1,A2,A3)

與(B1,

B2)

互為線性組合A1=a11B1+a12B2A2=a21B1+a22B2A3=a31B1+a32B2x1A1+x2A2+

x3

A3=0:未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù)有非零解

(x1,x2,x3)A1,A2,

A3線性相關(guān).

方程能夠換成任意對(duì)象,只要仍有加法和數(shù)乘且滿足運(yùn)算律,證實(shí)仍成立抽象向量空間第19頁第19頁二元一次方程組幾何意義行列式定義

方程組可寫成向量形式即第20頁第20頁1.有唯一解條件不共線即2.消元:方程(1.1)兩邊與(1.1)作內(nèi)積消去y,得其中第21頁第21頁就是同理得圖2因此,于是3.二階行列式—平行四邊形面積第22頁第22頁稱為二階行列式,記作是平行四邊形OAPB有向面積,是兩個(gè)向量或函數(shù),計(jì)算公式:或圖2第23頁第23頁4.代數(shù)算法第24頁第24頁可寫成其中三階行列式與體積1.三元一次方程組幾何意義第25頁第25頁兩邊同時(shí)與方程作內(nèi)積消去y,z,得到類似地能夠得到y(tǒng),z表示式。當(dāng)時(shí)得第26頁第26頁從原點(diǎn)O出發(fā)作有向線段OA，OB，OC使則就是以O(shè)A,OB,OC為棱平行六面體有向體積。稱為三階行列式，記作2.三階行列式—平行六面體體積第27頁第27頁利用基本性質(zhì)計(jì)算n階行列式(3.1)當(dāng)

i1,i2,…,in

中有兩個(gè)相等時(shí)，這樣項(xiàng)能夠從(3.1)中去掉。只剩余i1,i2,…,in

兩兩不相等項(xiàng),(3.1)中變成對(duì)1,2,…,n全體排列(i1,i2,…,in)求和,成為:第28頁第28頁幾何模型

線性變換前后圖形/10/10第29頁第29頁

向量方向改變/10/10第30頁第30頁選取特性向量為基/10/10第31頁第31頁數(shù)模賽案例.足球隊(duì)排名依據(jù)足球比賽成績(jī)給出各隊(duì)實(shí)力名次

X1…Xj

…XnX1…a1j…a1n……………Xiai1…aij…ain……………Xnan1…anj…ain

第32頁第32頁依據(jù)對(duì)手實(shí)力對(duì)得分加權(quán)先驗(yàn)實(shí)力比：x1,…,xj

…,xn后驗(yàn)實(shí)力比：y1,…,yj

…,yn

y1=a11x1+…+a1jxj

+

…+a1nxn

…………

yi=ai1x1+…+aijxj

+

…+ainxn

…………

yn=an1x1+…+anjxj

+

…+annxn

Y=AX=lX,X是特性向量第33頁第33頁線性代數(shù)

空間為體,矩陣為用研究對(duì)象----幾何：線性空間(向量)研究工具----代數(shù)：矩陣運(yùn)算向量(問題)

矩陣語言描述

矩陣運(yùn)算處理向量(解答)與微積分關(guān)系:

非線性--微積分

線性--線性代數(shù)第34頁第34頁多元微積分：線性代數(shù)模型微積分基本思想:非線性線性復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù):/10/10第35頁第35頁隱函數(shù)存在定理F(x,y)在某點(diǎn)P0可微何時(shí)由

F(x,y)=0擬定

y=f(x)?普通F不好處理凌波微步線性化:aDx+bDy0,y=f(x)在

x0可微,導(dǎo)數(shù)為/10/10第36頁第36頁隱函數(shù)存在定理嚴(yán)格證實(shí)F(x,y)=0.將F(x,y)線性化得:

aDx+bDy+d(Dx,Dy)=0解得Dy=f(Dx,Dy)=

Dx+d(Dx,Dy)迭代:

Dy0=0,Dyn=Dx+d(Dx,Dyn-1).則

Dyn-Dyn-1=dy’(Dyn-1-Dyn-2)選

Dx,Dy范圍充足小,可使|dy’|<0.5且充足小,Dyn收斂到所需范圍./10/10第37頁第37頁

可微函數(shù)n個(gè)方程=0,線性化即當(dāng)detB時(shí)有唯一解隱映射定理/10/10第38頁第38頁一元微積分物理：以勻速代替非勻速幾何：以直代曲（只能看不能算）代數(shù)：以線性代替非線性例.自由落體x=4.9t2.求t秒末速度.解：x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2=4.9t2+9.8t(Dt)+4.9(Dt)2線性化：

x(t+Dt)≈4.9t2+9.8t(Dt)誤差4.9(Dt)2:

Dt無窮小倍=o(Dt).速度vt=一次項(xiàng)系數(shù)9.8t=導(dǎo)數(shù)第39頁第39頁幾何:以直代曲拋物線x=4.9(t+Dt)2

在點(diǎn)(t,4.9t2)附近被切線x=4.9t2+9.8Dt

近似代替速度v1=切線斜率此幾何意義與x,t物理意義無關(guān)能夠推廣到別函數(shù)y=f(x)DtDxtx第40頁第40頁微分與導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)在x=a附近線性化。

函數(shù)增量Dy=f(x)-f(a),自變量增量Dx=x-a

Dy

≈kDx，誤差:Dy–kDx=o(Dx)

微分:

dy=kDx導(dǎo)數(shù):=k,記為f’(a)=改變率=切線斜率.

一次函數(shù)代替f(x):y=f(x)≈f(a)+f’(a)DxxDxDyy第41頁第41頁誤差代數(shù)理論約等式Dy=f(x)-f(a)≈kDx與y=f(x)≈f(a)+f’(a)Dx

誤差能否將

f(x)≈f(a)+f’(a)Dx與g(x)

≈g(a)+g’(a)Dx

加、減、乘得到：f(x)±g(x)≈f(a)±g(a)+(f’(a)±g’(a))Dxf(x)g(x)≈f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx?約等式缺點(diǎn)：普通不像等式那樣含有傳遞性，不能像等式那樣加、減、乘。第42頁第42頁假作真時(shí)貌似真極限：

f(x)A即:f(x)=A+q,q無窮小(0).

若f(x)A,g(x)B

f(x)g(x)=(A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2AB無窮小代數(shù)性質(zhì)

(同濟(jì).用e-d語言證實(shí).)能夠?qū)1,q2當(dāng)作0，略去不寫寫f(x)≡A,g(x)≡B,像等式同樣加、減、乘得到f(x)±g(x)≡A±B,f(x)g(x)≡AB即f(x)±g(x)A±B,f(x)g(x)AB.被忽略元素集合={無窮小}=O(Dx)微分：Dy≡dy（modo(Dx))f(x)≡f(a)+f’(a)Dx（modo(Dx))第43頁第43頁多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù).多項(xiàng)式f(x)=anxn+…+a1x+a0

導(dǎo)數(shù):差分Df(x)=f(x+t)–f(x)=(nanxn-1+…+a1)t+(…)t2

是t多項(xiàng)式,其中t一次項(xiàng)系數(shù)即f’(x)

=nanxn-1+…+a1第44頁第44頁

和差積商導(dǎo)數(shù)公式f(x)

≡

f(a)+f’(a)Dxg(x)≡

g(a)+g’(a)Dx兩式相加減和差導(dǎo)數(shù)相乘乘積導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx倒數(shù)導(dǎo)數(shù):第45頁第45頁

指數(shù)函數(shù)微分ax+Dx≡ax+kDx(modo(Dx)),aDx≡1+lDx,l=k/ax(a1/l)lDx≡1+lDxbt≡1+t,b=a1/l,t=lDx，取

t=1/n,b1/n

≡1+1/n(o)b≡(1+1/n)n(O)?b1/n

=(1+1/n)(1+q/n),b=(1+1/n)n(1+q/n)n1+q

<(1+q/n)n

<1/(1-q/n)n

<1/(1-q)n∞,

q0,b=e,a=el,l=lna,(ax)’=k=axlna.

第46頁第46頁

對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)k=lim(loga(x+Dx)

–logax)/Dx,=limloga(1+Dx/x)1/Dx,t=Dx/x=(1/x)limloga(1+t)1/t=(1/x)logae當(dāng)a=e時(shí)k=1/x.第47頁第47頁

不請(qǐng)自來e例1.邯鄲農(nóng)行案某彩票中獎(jiǎng)率1/n,買2n張全不中概率（1-1/n)2n

e-2≈0.135例2.將正實(shí)數(shù)a分成若干個(gè)正實(shí)數(shù)xi和，這些xi乘積何時(shí)最大解.

假定已分成a=nx,xn

最大.

試驗(yàn)：x再細(xì)分成2份,(x/2)2<xx<4.

兩個(gè)x合并成2x<x2,x>2.n個(gè)x細(xì)分成(nx/(n+1))n+1<xn,x<(1+1/n)n+1

n個(gè)x粗分成(nx/(n-1))n-1<xn,x>(1+1/(n-1))n-1x=e時(shí)必定滿足。第48頁第48頁勻速圓周運(yùn)動(dòng)三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)繞原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)角速度

w,半徑R=1時(shí)刻t:

位置

P(coswt,sinwt)速度向量v大小為w,方向可由x軸旋轉(zhuǎn)

wt+p/2得到,坐標(biāo)

(wcos(wt+p/2),wsin(wt+p/2))=(-wsinwt,wcoswt)(sinwt)’=wcoswt,(coswt)’=-wsinwtwtsinwtPwt+p/2wvxO第49頁第49頁定積分物理模型:求路程已知速度v(t)(t

∈

[a,b])

求路程勻速:

v(t)=k(常數(shù)),

路程s=kDt=k(b-a)變速:分段當(dāng)作勻速求路程:短路程

≈即時(shí)速度×短時(shí)間大路程≈∑i短路程

≈∑iv(ti)Dtis=∫abv(t)dt第50頁第50頁幾何模型：求面積時(shí)間段[a,b]內(nèi)路程

s

=區(qū)間[a,b]上速度函數(shù)曲線v=v(t)與橫軸所圍面積

S(a,b).數(shù)學(xué)試驗(yàn):

通過求單位圓面積算ptsabv(t)vtabvv(t)=ks=k(b-a)OO第51頁第51頁

微積分基本定理數(shù)學(xué)聊齋(生活中模型)：飛檐走壁之電影實(shí)現(xiàn)由路程s=f(t)

求速度易:v(t)=f’(t)由速度v(t)求路程s(a,b)=∫abv(t)dt難倒過來放映:

求位置函數(shù)f(t)使f’(t)=v(t)路程s(a,b)=位置差Df(t)=f(b)-f(a).

對(duì)y=f(x),找F(x)(原函數(shù))使F’(x)=f(x),則第52頁第52頁求曲邊梯形面積例.求曲線y=xn與x軸在區(qū)間[0,b]上所圍面積S(0,b).

解.將x當(dāng)作時(shí)刻,y當(dāng)作速度,求位置函數(shù)F(x)使F’(x)=

xn則S(0,b)=F(b)-F(0).在求導(dǎo)公式(axn)’=naxn-1中將n換成n+1,a換成知F(x)=

符合要求.故S(0,b)=

bn+1Obxyy=xnS(0,b)第53頁第53頁數(shù)學(xué)試驗(yàn):多項(xiàng)式迫近sin(x)/10/10第54頁第54頁

羅必達(dá)法則創(chuàng)造羅必達(dá)法則例.求極限(1)(2)If分子分母是多項(xiàng)式:

享受幸運(yùn)!約分!

Else,創(chuàng)造幸運(yùn):化成多項(xiàng)式(凌波微步)再約分!

第55頁第55頁

Taylor展開,余項(xiàng)預(yù)計(jì)f(n+1)(a)=常數(shù),f(n+2)(a)=0f(x)=a0+a1Dx+…+an+1(Dx)n+1(k!)ak=f(k)(a),0<k<n+1.M1<f(n+1)(a)<M2gi(k)(a)=f(k)(a),0<k<n;gi(n)(a)=Mi;d(x)=g2(x)-f(x),d(k)(a)=0,d(n+1)(a)>0d(x)>0,g1(x)<f(x)<g2(x)f(x)=Sk=0nf(k)(a)(Dx)k/(k!)+l(Dx)n+1/((n+1)!)M1<l<M2第56頁第56頁網(wǎng)上資源

中科大

精品課程國家級(jí)數(shù)學(xué)試驗(yàn)(),線性代數(shù)()

北航

精品課程教育部

線性代數(shù)(非數(shù)學(xué)類)()高等數(shù)學(xué)(鄭志明)

聯(lián)系辦法:lisz@第57頁第57頁

已出版教材

李尚志,線性代數(shù)(數(shù)學(xué)專業(yè)用),

高等教育出版社,.5

第58頁第58頁參考文獻(xiàn)凌波微步—讓微積分更簡(jiǎn)樸易學(xué),大學(xué)數(shù)學(xué)，第24卷第3期,p1-12,.6。線性代數(shù)(數(shù)學(xué)專業(yè)用),高教出版社,.讓抽象變得自然----建設(shè)國家精品課程體會(huì),中國大學(xué)教學(xué),第7期線性代數(shù)精彩應(yīng)用案例(之一),大學(xué)數(shù)學(xué),第3期線性代數(shù)精彩應(yīng)用案例(之二),大學(xué)數(shù)學(xué),第4期若當(dāng)原則形計(jì)算,大學(xué)數(shù)學(xué),第5期從問題出發(fā)引入線性代數(shù)概念,高等數(shù)學(xué)研究,第5期,第6期第59頁第59頁數(shù)學(xué)聊齋

之一

峨嵋山佛光

第60頁第60頁

博比:

長(zhǎng)頸鹿馬馬老虎貓咪獅子

狗狗黑猩猩父親

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