通信原理教程數(shù)字信號(hào)最佳接收原理

數(shù)字信號(hào)最佳接收原理8.1數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)表述 設(shè)：一通信系統(tǒng)的最高傳輸頻率等于fH，接收電壓用其抽樣 值表示。噪聲抽樣電壓的一維概率密度 若在一個(gè)碼元期間內(nèi)以2fH的速率抽樣，則共得到k個(gè)抽樣值：n1,n2,…,ni,…,nk，每個(gè)抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其一維概率密度可以寫為 式中，n－噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差；

n2－噪聲的方差。1.噪聲抽樣電壓的k維聯(lián)合概率密度

在一個(gè)碼元時(shí)間T內(nèi)接收的噪聲平均功率： 或?qū)⑸鲜酱肼?lián)合概率密度式，得到 式中，需要注意：f(n)不是時(shí)間函數(shù)。n是一個(gè)k維矢量，可以看作是k維空間中的一個(gè)點(diǎn)。f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量。2.接收電壓r(t)=s(t)+n(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)：當(dāng)發(fā)送碼元“0”時(shí)： 式中，r(t)－接收信號(hào)和噪聲電壓之和； s0(t)－發(fā)送碼元“0”時(shí)的信號(hào)波形。當(dāng)發(fā)送碼元“1”時(shí)： 式中，s1(t)－發(fā)送碼元“1”時(shí)的信號(hào)波形。3.8.2數(shù)字信號(hào)的最佳接收準(zhǔn)則“最佳”的含義－指錯(cuò)誤概率最小。最佳接收的判決規(guī)則 接收矢量r看作是k維空間中一點(diǎn)k維空間劃分為區(qū)域A0和A1判決規(guī)則： 若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”； 若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”?？傉`碼率： 式中， －發(fā)送“1”時(shí),r落在A0的條件概率； －發(fā)送“0”時(shí)，r落在A1的條件概率。

∴A0A1A0A14. 區(qū)域A0和A1的劃分

∵

∴

可以改寫為

由于P(1)是確定的，故為了使誤碼率最小，需使上式中的積分值最小。若在此積分空間A1中被積因子在各點(diǎn)上的值都最小，則積分值才最小。這就要求在A1內(nèi)所有點(diǎn)上被積因子滿足條件： 或者要求： 當(dāng)P(1)=P(0)時(shí)，要求在A1內(nèi)所有點(diǎn)上： ∴當(dāng)接收矢量r落在A1內(nèi)時(shí)，有f0(r)<f1(r)，按照上述判決規(guī)則， 應(yīng)該判為發(fā)送碼元是“1”。5. 類似地，可以證明，當(dāng)接收矢量r落在A0內(nèi)時(shí)，有f1(r)<f0(r)， 按照上述判決規(guī)則，應(yīng)該判為發(fā)送碼元是“0”。綜上所述，最佳接收準(zhǔn)則歸納如下：二進(jìn)制系統(tǒng)：應(yīng)將接收矢量空間劃分為A0和A1兩個(gè)區(qū)域： 在區(qū)域A0內(nèi)所有點(diǎn)上： 在區(qū)域A1內(nèi)所有點(diǎn)上： 當(dāng)P(1)=P(0)時(shí)，則要求 在區(qū)域A0內(nèi)所有點(diǎn)上： 在區(qū)域A1內(nèi)所有點(diǎn)上：對(duì)接收矢量作如下判決：當(dāng)P(1)=P(0)時(shí) 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r使f0(r)<f1(r)，則判發(fā)送碼元是“1”。6.8.3確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)：碼元等概率、等能量條件下

∵

∴ 可以改寫為 上式可以簡(jiǎn)化為 即，若 則判為“0”

若 則判為“1”7.二進(jìn)制等先驗(yàn)概率最佳接收機(jī)原理方框圖r(t)S1(t)S0(t)相乘器積分器相乘器積分器比較判決二進(jìn)制等先驗(yàn)概率最佳接收機(jī)原理方框圖8.8.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率二進(jìn)制等先驗(yàn)概率信號(hào)的誤碼率公式： 式中，

上式表明，當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，對(duì)于給定的噪聲功率，誤碼率僅和兩種信號(hào)碼元波形的差別[s0(t)-s1(t)]的能量有關(guān)，而與波形本身無關(guān)。9.誤碼率的計(jì)算：首先用相關(guān)系數(shù)表示上式中的c相關(guān)系數(shù)的定義： 式中，的取值范圍： 當(dāng)s0(t)=s1(t)時(shí)，＝1，為最大值； 當(dāng)s0(t)=-s1(t)時(shí)，＝-1，為最小值。 所以，當(dāng)E0=E1=Eb時(shí)，有 及10.將 代入 得出 化簡(jiǎn)后，有 式中， －誤差函數(shù) －補(bǔ)誤差函數(shù)

－相關(guān)系數(shù)；n0－噪聲功率譜密度。11.上式是一個(gè)非常重要的理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。由上式可以看出：誤碼率和噪聲功率無直接關(guān)系， 而和噪聲功率譜密度n0有關(guān)；誤碼率和信號(hào)波形無直接關(guān)系， 而和Eb及相關(guān)系數(shù)有關(guān)；當(dāng)=1時(shí)，誤碼率最大。 這時(shí)的誤碼率Pe=1/2。當(dāng)=-1時(shí)，誤碼率最小。這時(shí) －2PSK信號(hào)12.當(dāng)=0時(shí)，為正交信號(hào)。這時(shí)， －2FSK信號(hào)當(dāng)E0=0，E1=Eb時(shí) －2ASK信號(hào)2ASK信號(hào)的性能比2FSK信號(hào)差3dB，而2FSK信號(hào)又比2PSK信號(hào)差3dB。由 可知，E/n0實(shí)際上相當(dāng)于接收信號(hào)噪聲功率比PS/Pn13.多進(jìn)制通信系統(tǒng)：若不同碼元的信號(hào)正交，且先驗(yàn)概率相等，能量也相等，則有式中，M－進(jìn)制數(shù)； E－M進(jìn)制碼元能量；

n0－單邊噪聲功率譜密度。 由于一個(gè)M進(jìn)制碼元中含有的比特?cái)?shù)為log2M，故每個(gè)比特的能量等于每比特的信噪比為當(dāng)k時(shí)，Eb/n0=0.693(-1.6dB)即可無誤碼。

Eb/n0Pe0.69314.8.5隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收隨相信號(hào)－相位因信道變化而具有隨機(jī)性的信號(hào)。設(shè)：信號(hào)－2FSK調(diào)制、碼元的能量相等、先驗(yàn)概率相等、 相位的概率密度服從均勻分布； 噪聲－帶限高斯白噪聲。信號(hào)表示式：信號(hào)隨機(jī)相位的概率密度：

15.相關(guān)器平方cos0t相加相關(guān)器平方sin0t相關(guān)器平方cos1t相加相關(guān)器平方sin1t比較r(t)Y0X1Y1X0M02M12判決規(guī)則： 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r使f1(r)>f0(r)，則判發(fā)送碼元是“1”。 其中，按照上述判決規(guī)則計(jì)算得出的誤碼率公式為按照上述判決規(guī)則得出 的方框圖如右，圖中： 16.8.6起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收起伏信號(hào)－包絡(luò)隨機(jī)起伏、相位隨機(jī)變化的信號(hào)設(shè)：信號(hào)－2FSK調(diào)制、等能量、等先驗(yàn)概率、 相位的概率密度服從均勻分布； 噪聲－帶限高斯白噪聲信號(hào)表示式： 式中，V0和V1服從同一瑞利分布：

0和1的概率密度服從均勻分布： Vi的均方值：17.判決規(guī)則：同前 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r使f1(r)>f0(r)，則判發(fā)送碼元是“1”?，F(xiàn)在誤碼率計(jì)算結(jié)果：衰落對(duì)2FSK信號(hào)誤碼率的影響： 由右圖可見， 當(dāng)誤碼率等于10-2時(shí)， 衰落使性能下降約10dB； 當(dāng)誤碼率等于10-3時(shí)，下降約20dB。 即，在有衰落時(shí)， 性能隨誤碼率下降而迅速變壞。18.實(shí)際接收機(jī)的Pe最佳接收機(jī)的Pe相干2PSK信號(hào)－式(6-4-13)－式(8.4-21)相干2FSK信號(hào)－式(6-3-36)－式(8.4-22)非相干2FSK信號(hào)－式(6-3-28)－式(8.5-27)相干2ASK信號(hào)－式(6-2-47)－式(8.4-24)8.7實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較

19.8.8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收原理8.8.1數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法匹配濾波－用線性濾波器對(duì)接收信號(hào)濾波，使抽樣時(shí)刻的輸 出信噪比最大。設(shè)：H(f)－接收濾波器的傳輸函數(shù)；

h(t)－接收濾波器的沖激響應(yīng)；

s(t)－接收信號(hào)；S(f)－接收信號(hào)的頻譜密度；

n(t)－高斯白噪聲；Pn(f)=n0/2－噪聲雙邊功率譜密度;若濾波器輸入碼元為 則線性濾波器的輸出為 式中，輸出噪聲功率：20.在抽樣時(shí)刻t0上，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為求r0的最大值－利用施瓦茲(Schwarz)不等式： 若 成立（其中k為整數(shù)），則上式的等號(hào)成立。 令 則有 當(dāng) 時(shí)，上式的等號(hào)成立，r0最大。21.給出最大信噪比r0，它與信號(hào)頻譜共軛匹配（除了常數(shù)因子外），故稱之為匹配濾波器。匹配濾波器的特性還可以用其沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)來描述： 由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號(hào)s(t)的鏡像s(-t)，但在時(shí)間軸上（向右）平移了t0。22.匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的，即其h(t)應(yīng)該滿足條件： 即要求滿足條件 或滿足條件上式的條件說明：濾波器輸入信號(hào)碼元s(t)在抽樣時(shí)刻t0之后必須為零。 一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0=T。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為這時(shí)，匹配濾波器輸出信號(hào)碼元的波形，可以寫為 上式表明，匹配濾波器輸波形是輸入碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。23.【例8.1】設(shè)接收信號(hào)碼元s(t)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)碼元的波形。 【解】s(t)的頻譜為 由式 令k=1，可得其匹配濾波器傳輸函數(shù)為 由式 令k=1，得到此匹配濾波器沖激響應(yīng)為 ，由 畫出曲線如右。tTs(t)1(a)接收信號(hào)波形tTh(t)1(b)沖激響應(yīng)tTso(t)(c)輸出信號(hào)波形24. 此匹配濾波器的方框圖：由

∵(1/j2f)－是理想積分器的傳輸函數(shù) exp(-j2fT)－是延遲時(shí)間為T的延遲電路的傳輸函數(shù)

∴方框圖如下：理想積分器延遲T相減25.【例8.2】設(shè)接收信號(hào)s(t)的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)碼元的波形?！窘狻俊遱(t)的頻譜密度為故其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為上式中，已令t0=T。(a)信號(hào)波形(c)輸出波形26.此匹配濾波器的沖激響應(yīng): 為了便于畫出波形圖，令 式中，n=正整數(shù)。這樣，上式可以化簡(jiǎn)為

h(t)的曲線示于右圖。匹配濾波器輸出波形可以由如下卷積公式求出 由于s(t)和h(t)在區(qū)間(0,T)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計(jì)算： 計(jì)算結(jié)果如下：(c)輸出波形(b)沖激響應(yīng)27.用匹配濾波器構(gòu)成的接收電路方框圖：匹配濾波器1匹配濾波器2抽樣判決抽樣t=Tt=T輸入輸出28.8.8.2數(shù)字信號(hào)的相關(guān)接收法設(shè)：匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù) 匹配濾波器是物理可實(shí)現(xiàn)的： 輸入信號(hào)碼元x(t)限定在(0,T) 則輸出信號(hào)波形y(t)按照式 可以寫成： 在抽樣時(shí)刻T，輸出電壓等于： 可以看出，上式中的積分是一種相關(guān)運(yùn)算，即將輸入x(t)與和s(t)作相關(guān)運(yùn)算。只有輸入信號(hào)x(t)=s(t)時(shí)，在時(shí)刻t=T才有最大的輸出信噪比。按照上述原理，可以得出相關(guān)接收法。29.相關(guān)接收法方框圖相關(guān)接收法判決準(zhǔn)則：相乘相乘積分積分抽樣判決抽樣判決比較s0(t)s1(t)x(t)t=Tt=T30.【例8.3】設(shè)有一個(gè)信號(hào)碼元如例8.2中所給出的s(t)。試比較它分別通過匹配濾波器和相關(guān)接收器時(shí)的輸出波形。 【解】根據(jù) 此信號(hào)碼元通過相關(guān)接收器后，輸出信號(hào)波形等于 上式中，假定f0很大，故結(jié)果近似等于t/2，即與t成正比。 輸出波形： 只有當(dāng)t=T時(shí)， 兩者的抽樣值才相等。匹配濾波器輸出相關(guān)器輸出圖8.8.6匹配濾波和相關(guān)接收比較31.8.9最佳基帶傳輸系統(tǒng)基帶傳輸系統(tǒng)基帶總傳輸函數(shù)：H(f)=GT(f)C(f)GR(f) 式中，GT(f)－發(fā)送濾波器的傳輸函數(shù)； GR(f)－接收濾