數(shù)學(xué)歸納法和它的教學(xué)

數(shù)學(xué)歸納法和它的教學(xué)

本文就兩位教師所教學(xué)的內(nèi)容——數(shù)學(xué)歸納法以及它的教學(xué)設(shè)計、教學(xué)過程談一些想法，供同行參考。不當(dāng)之處請指正。一、數(shù)學(xué)歸納法是一種什么樣的方法要上好數(shù)學(xué)課首先是對數(shù)學(xué)的理解要到位。從當(dāng)前課堂教學(xué)中所暴露出來的許多問題看，首先是對數(shù)學(xué)本身理解的偏差，其次才是對教學(xué)設(shè)計的把握。沒有對教學(xué)內(nèi)容的深刻的數(shù)學(xué)理解就談不上進(jìn)行準(zhǔn)確的教學(xué)設(shè)計，上出一堂好課來。同樣，要上好數(shù)學(xué)歸納法這節(jié)課首先要弄清楚數(shù)學(xué)歸納法到底是一種什么樣的方法。1.使用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。使用這個方法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題p(n)成立，需要證明：如果把最后的斷語也算做一步，那么，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法證明的過程有三步。但是，由于最后的斷語幾乎千篇一律，而證明過程又主要是前面兩步，因此，通常認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法的證明過程是兩步，不過最后的斷語是不可缺少的。2.為什么有了這兩步，命題p(n)對于一切正整數(shù)n都成立事實上，由第一步的證明可以得到，p(n)對于已經(jīng)成立了。而第二步，已經(jīng)證明了命題“若p(k)()，則p(k+1)也成立”是真命題，于是我們就可以使用這個真命題，得到是成立的；再使用這個真命題，得到是成立的；……，如此反復(fù)，可見命題p(n)對于一切正整數(shù)都成立了。由此可見，數(shù)學(xué)歸納法中的第一步證明了一個“遞推基礎(chǔ)”（或者叫做“歸納奠基”）；第二步證明了一個“遞推依據(jù)”，我們就可以從遞推基礎(chǔ)起，反復(fù)使用遞推依據(jù)，動起來了，可以一直無限制地遞推下去，使得對于一切正整數(shù)命題p(n)都成立。可見，第二步的證明解決了一個“能”字，能夠無限制地進(jìn)行遞推，能夠從有限走向了無限。由上面的分析可見，這兩步是缺一不可的。缺少了“遞推依據(jù)”也就無法“動”起來，由有限走向無限，無法完成對于一切正整數(shù)命題p(n)都成立的證明任務(wù)。缺少了“遞推基礎(chǔ)”就成了無源之水，無從“動”起。數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是遞推。3.第二步中的k是什么？“數(shù)學(xué)”“歸納”體現(xiàn)在哪里第二步中的k是一個事先給定的正整數(shù)，相對于n而言，它是常量，是有限不是無限。我們可以就等具體的正整數(shù)來驗證p(n)成立，卻無法解決p(n)對所有的正整數(shù)成立的問題。但是，若對于n取某個具體的k（是它的一個身影）命題成立，又能夠證明出n=k+1時命題也成立，那就好辦了——因為這就證明了一個遞推的依據(jù)，可以反復(fù)使用這個遞推依據(jù)，使n從有限走向了無限，這正體現(xiàn)了“歸納”二字的特點——由特殊到一般。這就是為什么稱為“歸納法”的原由。不僅如此，數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法，由這兩步，對一切正整數(shù)都證明了p(n)是成立的。另外，用數(shù)學(xué)歸納法證明的那個結(jié)論，往往是通過不完全歸納得到的，然后用數(shù)學(xué)歸納法這個完全歸納法來加以證明，有“先猜后證”的特點?！皵?shù)學(xué)歸納法”中的“數(shù)學(xué)”二字又體現(xiàn)在哪里呢？筆者以為，在第二步證明命題“若p(k)成立，則p(k+1)也成立”的過程中，使用的是演繹推理，不是歸納推理；從整個數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程看，“數(shù)學(xué)歸納法實質(zhì)上是演繹法的一種重要變態(tài)”[4]，演繹推理是數(shù)學(xué)推理的主要特征。由以上兩點可見，這個方法叫“數(shù)學(xué)歸納法”是非常恰當(dāng)?shù)摹Ａ硗?，自然?shù)的皮亞諾(Peano)公理的性質(zhì)⑤是數(shù)學(xué)歸納法（也稱完全歸納法）的根據(jù)。（注：這里所說的自然數(shù)不包括零。）二、數(shù)學(xué)歸納法一課的教學(xué)該怎樣設(shè)計了解了數(shù)學(xué)歸納法是怎么回事，再進(jìn)行教學(xué)設(shè)計就有了根據(jù)，有了方向。教材是教學(xué)內(nèi)容的載體，提供了教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，是學(xué)生的“學(xué)”、教師的“教”，開展教學(xué)活動的重要材料。要上好一節(jié)課，對教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解以及對教材的研究都是十分必要的，只有這樣，才有可能設(shè)計出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)過程。1.教學(xué)目標(biāo)是什么教學(xué)要有明確的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)活動應(yīng)該圍繞教學(xué)目標(biāo)來展開。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，就是要讓學(xué)生明確：①用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題p(n)成立需要做哪幾件事；②為什么做了這幾件事就能證明命題p(n)對一切正整數(shù)n都成立。也就是使學(xué)生領(lǐng)會這一方法的實質(zhì)，為今后逐步熟練地運(yùn)用這一方法奠定基礎(chǔ)。2.讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)新方法的必要性數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)從問題開始。首先提出問題：那么，怎樣證明我們的猜想是正確的呢？之前的方法都不能完成這個任務(wù)，需要另辟蹊徑，學(xué)習(xí)一種新的方法。必要性出現(xiàn)了。（這個方法叫什么名字不要緊，關(guān)鍵是它是一個什么樣的方法，為什么用這個方法可以解決問題？）通過“問題”把學(xué)生推向“憤、悱”境地，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的必要性，激起求知的欲望，促使學(xué)生主動地學(xué)習(xí)，教學(xué)效果才有保證。3.類比，用好多米諾骨牌這個模型多米諾骨牌是理解數(shù)學(xué)歸納法的最好模型。我們用第一塊骨牌表示，它若倒下，相應(yīng)的，表示是正確的；第二塊骨牌表示，它若倒下，相應(yīng)的，表示是正確的；……，用第k塊骨牌表示，它若倒下，表示是正確的……只要能保證所有多米諾骨牌都倒下，相應(yīng)的，就能保證通項公式對一切正整數(shù)都成立。那么，所有多米諾骨牌都倒下的條件是什么呢？通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，只要滿足以下兩個條件，所有骨牌就都能倒下：①第一塊骨牌倒下；②相鄰的兩塊，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。“為什么滿足這些條件多米諾骨牌會全部倒下呢？”一定要讓學(xué)生來解釋其中的道理，并解釋每一個條件的作用分別是什么，這是教學(xué)過程中的一個不可或缺的重要環(huán)節(jié)。通過這個解釋學(xué)生才能夠領(lǐng)會數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)，掌握使用這個方法的要領(lǐng)，理解這個方法。需要指出的是，弄清所有骨牌都倒下的條件是必要的，但更需要明確的是，我們要做什么事？——“保證”，保證這些條件都已經(jīng)滿足。有骨牌模型作為依托，加上一個具體的事例，再理解抽象的數(shù)學(xué)方法就不再困難。用數(shù)學(xué)歸納法時，只要完成兩個步驟，就可以斷定命題p(n)對于從開始的所有正整數(shù)n都成立。在這兩個步驟中，“證明”二字指出了我們要做的事情。要讓學(xué)生明確要“做什么”以及“為什么”要做這些。特別要讓學(xué)生明白第(2)步是要證明一個命題成立，這個命題的條件是“時命題成立，即p(k)成立”，結(jié)論是“n=k+1時命題也成立，即p(k+1)成立”。以上過程，教師可以通過板書逐漸形成下面的表格，以加強(qiáng)數(shù)學(xué)歸納法與多米諾骨牌的對比，幫助學(xué)生理解好這一方法。學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法證明時（尤其是初學(xué)），筆者不允許把第(2)步寫成“設(shè)時結(jié)論成立，要證明n=k+1時結(jié)論也成立。”而要求把“結(jié)論成立”具體化，寫出n=k時成立的內(nèi)容，還要寫出n=k+1時，要證明的具體內(nèi)容。也就是，明確要證明的命題的條件是什么？結(jié)論是什么？不這樣做，在問題簡單時可能不能明顯感受它的好處，但是當(dāng)問題較為復(fù)雜時，這個要求就顯得十分必要。在由條件推出結(jié)論的過程中，可以用分析法、反證法，有時甚至需要把已經(jīng)證明過的遞推基礎(chǔ)作為結(jié)論來使用（篇幅所限，都不再舉例），等等。更重要的是感受演繹推理的特點，數(shù)學(xué)歸納法也是發(fā)展與培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的好題材。實際上，數(shù)學(xué)歸納法還有許多變式，這里不再贅述。三、對教學(xué)實踐過程中兩個片段的思考課題組已經(jīng)有兩位教師就這個課題進(jìn)行了教學(xué)實踐，這里就教學(xué)中的兩個片段談一些看法，以供再設(shè)計、再教學(xué)時參考。片段1一位教師的開場白是這樣的。師：這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)一種新的方法——數(shù)學(xué)歸納法。作為一種方法的學(xué)習(xí)，大家首先要對自己問四個問題——where，why，What，How。也就是說，我們這個方法研究的是什么問題？為什么要引進(jìn)這個方法？方法的思想或者內(nèi)涵是什么？方法如何運(yùn)用？我先回答第一個問題，這個方法研究的是與正整數(shù)有關(guān)的問題，我把這個命題記成p(n)。這種命題的特點是這里的n有許多，如p(1)，p(2)，p(3)，等等，永無止境，那么怎么研究？然后就進(jìn)入通過，…，讓學(xué)生猜想通項公式的活動。這個片段大約花去了近4分鐘的時間。對于教師的這一番話，學(xué)習(xí)者——我們的學(xué)生會是什么感受呢？為什么要學(xué)習(xí)新方法？缺乏需求。很難感受到學(xué)習(xí)這一方法的必要性，很難引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。“新的方法”，為什么是新方法？過去的方法怎么不行了？“數(shù)學(xué)歸納法”這個名字哪來的呢？“這個方法研究的是與正整數(shù)有關(guān)的問題”，什么樣的與正整數(shù)有關(guān)的命題？太抽象，為什么不從一個具體問題說起呢？其實，教材寫得很清楚，從研究一個問題開始，由此可以明確所要研究的問題以及引發(fā)學(xué)習(xí)新方法的必要性，圍繞這個問題的解決過程讓學(xué)生感受這個新方法的特點。沒能很好地研究教材，用好教材，而是把教材置于一旁，這不是可取的態(tài)度。學(xué)習(xí)的過程就是一個不斷地提出問題、解決問題的過程，解決問題的方法、工具也不是憑空產(chǎn)生的，通常因解決問題的需要而產(chǎn)生。教學(xué)過程要盡量自然一些、平順一些，少讓學(xué)生感到突兀，甚至莫名其妙。片段2師：解決了這兩個步驟，問題就解決了，是不是？生：是。筆者以為，缺少最關(guān)鍵的一句問話——為什么？學(xué)生能否準(zhǔn)確回答這個“為什么”是衡量這節(jié)課是否成功的一個重要標(biāo)志。學(xué)生如果能解釋好這個“為什么”，就說明，他們已經(jīng)領(lǐng)會了這個方法，而不是只會機(jī)械地套用那兩個步驟。而課堂上，基本上沒有讓學(xué)生解釋這兩個步驟的來源以及作用的機(jī)會。學(xué)生的學(xué)習(xí)不是靠教師的反復(fù)告訴。有人說“告訴學(xué)生3×5=15不是教學(xué)，問學(xué)生3×5=?是教學(xué)”，就是說，不要把結(jié)果直接告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生通過自己的獨立思考、探究，與同伴的交流等方式來獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者本人的體驗、感受，“飯要親自吃，覺要親自睡?！倍鄦枴盀槭裁础保菑募俣呦蛘娑谋亟?jīng)之路。多問“為什么”，可以挖掘解決問題背后的思維過程，因為數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)。要引導(dǎo)學(xué)生多問“為什么”，教師自己要多問“為什么”。四、結(jié)束語總之，搞好數(shù)學(xué)教學(xué)，首先是對教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解要到位；其次是要研