完整word版數(shù)列求和常見的7種方法-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦完整word版數(shù)列求和常見的7種方法數(shù)列求和的基本辦法和技巧

一、總論：數(shù)列求和7種辦法：

利用等差、等比數(shù)列求和公式

錯位相減法求和

反序相加法求和

分組相加法求和

裂項消去法求和

分段求和法（合并法求和）

利用數(shù)列通項法求和

二、等差數(shù)列求和的辦法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和辦法是錯位相減法，

三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本辦法。

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)比賽中都占有重要的地位.

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)比賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本辦法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的辦法.

n(a?a)n(n?1)n1?S?na?d1、等差數(shù)列求和公式：

1n22(q?1)na?1?na?aq)qa(1??S2、等比數(shù)列求和公式：?n11n?(q?1)?

1?q1?q?nn11??2)?1)(2n()k?nn?1S?S?(k?nn?1、43、

?23)]1n??[nS?(k5、n21k??123nlogx?????x??????xx?x例已知1]的前n，求項和.nn621?kk?1n1

[33log21?1log??2?xlog??logxx?解：由33323log21

n32x?????S?x?x?x（利用常用公式）由等比數(shù)列求和公式得

n11)(1?n)x(1?x1n22＝＝＝1－

1nx?12?12

S*n?)f(n例.

,求的最大值[∈2]設(shè)S＝1+2+3+…+n，nNnS)?32(n1?n11)?2?(n?1)(S?nSn(n?1)（利用常用公式）解：由等差數(shù)列求和公式得，nn22Snn?(fn)∴＝

2S32)(n?64n?n?341n?111?＝＝

86450250)(n???n?34nn18?nf(n)?∴，即

n＝當(dāng)8時，max508

二、錯位相減法求和

這種辦法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的辦法，這種辦法主要用于求數(shù)列{a·b}的

前nnn項和，其中{a}、分離是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

nn23n?1S?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x例………求和：①[3]nn?1n?1x1)(2n?x}的通項之積{解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列{2n－1}的通項與等比數(shù)列

234nxS?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x（設(shè)制錯位）②設(shè)……….

n234n?1n(1?x)S?1?2x?2x?2x?2x?????2x?(2n?1)x（錯位相減）①－②得

nn?1x?1n(1?x)S?1n?1)x?2x??(2再利用等比數(shù)列的求和公式得：

n1?xn?1n?(1?x)2n?1n(2?1)x)x?(S?∴

n2)?x(12462n,,,???,,???例前n求數(shù)列項的和[4].

n3222222n1解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積nn222

2462n???????S?設(shè)…………………①

nn322222n22461????S????（設(shè)制錯位）………………②

n14n3?222222n2221222????(1?)S??????（錯位相減）①－②得

n1n2?34n2222222n12?2??

1n?1?n222?n?4S?∴n1n?2三、反序相加法求和，再把它與原這是推導(dǎo)等差數(shù)

列的前n項和公式時所用的辦法，就是將一個數(shù)列倒過來羅列（反序）)(a?a.

數(shù)列相加，就可以得到n個n1n012n2n?1)(2n?1)C?(C?3C?5C?????例[5]求證：

nnnnn012Cn?1)C?????(2S?C?3C?5①設(shè)…………..證實：nnnnn把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來

得

01?1nnC?3C)C??????S?(2n?1)C(2n?1（反序）nnnnnmn?mCC?又由可得nnn?101nC?????3C)?1)C?(2n?1C??S(2n②…………..……..

nnnnnnn01n?121(n?)?????C?C)?2?2S?(2n?2)(C?C（反序相加）①+②得

nnnnnn2n?1)?S?(∴n2222289?sinsinsin1?sin2?3?????sin88例求的值

[6]2222289sin???sin883?Ssin1?sin2?sin???解：設(shè)①………….

將①式右邊反序得222221sin?s?sin?88????sin3?in2?Ssin89（反序）…………..②

221??xcosxx?sinxcos(90?),sin又由于

（反序相加）+①②得222222)??cos(sin??8989?cos?(sinS2?1?cos1)(sin2?2)?＝89

44.5

S＝∴題已知函數(shù)1

3）證實：；（1

）求的值2.（解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證實左邊=右邊

（2）利用第（1）小題已經(jīng)證實的結(jié)論可知，兩式相加得：

所以.

練習(xí)、求值：

四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分離求和，再將其合并即可.

111?4,?7,???,?3n?2,1?1例，求數(shù)列的前n項和：…[7]

1n?2aaa111S?(1?1)?(?4)?(?7)?????(?3n?2)解：設(shè)n1n2?aaa將其每一項拆開再重新組合得

111??????)?(1?4?7?????3n?2?S(1?)（分組）

n1?2naaa(3n?1)n(3n?1)nS?n?（分組求和）＝時，當(dāng)a＝1

n2211?1?n(3n?1)na?an1)(3n?na??a1S??當(dāng)初，＝

n1a?1221?a例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}[的前n項和.

32a?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k解：設(shè)k4

nn??23)(2kk)k??3S?(kk?1)(2k?1＝∴n11k?k?將其每一項拆開再重新組合得nnn???23kk?k?32（分組）S＝

n1k??11k?k233322)?n(1?2???????n)?3(12?????n)?2(1?2???＝

22)1n?1)n(nn(n?1)?n(n?1)(2??（分組求和）＝

2222)(n1)?2n(n?＝

2

五、裂項法求和裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的詳細(xì)應(yīng)用.

（裂項）通項分解如：重新組合，使之能消去一些項，終于達(dá)到求和的目的.

1sinnn?1)?tan?tan()(n)?f?af(n?12）（（1）

n)?1ncos(ncos21)11(2n111?a(?)?1???a?）（3）4（

nn12n?n?1)22n?1)((2n?121n?(nn?1)n1111][?a??）（5

n)2(n?1)(n?nn(n?1)(n?2)2n(?1)11)?n1111n?22(n??則S?1?a?????,(6)

nnnnnn?n1)?11n?)n(nn(2)n2??1)22n?21((n1111)(??a?（7）n

C?BC)C?An?BAnB(An?)(An?1?a1n??n?）8

（n1??nn

111??,?,?,,??例.

求數(shù)列n的前項和[9]1?n?12n2?3?1a??n?1?n（裂項）解：設(shè)

n1?n?n5

111??S?????（裂項求和）則

n11?2?n2?3?n)n1???(n??1)?(3?2)??(2?＝n?1?1＝

12n2b?????a???例.，又n項的和，求數(shù)列[10]在數(shù)列{a}中，的前nn

nna?an?1n?1n?11?nn12nn????a????∵解：

nn?1n?1n?12211b??8(?)（裂項）∴

nnn?1nn?1?22∴數(shù)列的前n項和

n1111111?()])?????[(1?)?(?)?(?8S?（裂項求和）

nnn?122334n81)?8(1＝＝1n?1n?1cos111???????例11]求證：[

2cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1111??????S?解：設(shè)

cos0cos1cos1cos2cos88cos891sinn??1)tan?tan(n（裂項）∵

cosncos(n?1)111??????S?（裂項求和）∴

89cos2coscos0cos1coscos1881]}8889(tan1)?3?tan2)?[tan?tantan??{(tan1tan0)(tan2?＝1sin1cos11(tan89?tan0)?cot1＝＝＝

2sin1sin1sin1∴原等式成立

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

針對一些特別的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特別的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求S.

n6

例12]求cos1°+cos2°+cos3°+··[·+cos178°+cos179°的值.

解：設(shè)S＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°n)180?ncosn??cos(（找特別性質(zhì)項）∵

··cos3°+cos177°）+·+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（（∴S＝cos1°n（合并求和）+（cos89°+cos91°）+cos90°

＝0

a?1,a?3,a?2,a?a?a例，求：S[.

13]數(shù)列{a}2022nn1nn32?2?1a?a?a?????a解：設(shè)S＝20222022231a?1,a?3,a?2,a?a?a可得由

n1n?n32?21a??1,a??3,a??2,645a?1,a?3,a?2,a??1,a??3,a??2,121178910……

a?1,a?3,a?2,a??1,a??3,a??26k6?436k?1??5k6?26k6k6k?a?a?a?a?a?a?0（找特別性質(zhì)項）∵6?6k463k6k?6k?156k?2?6k?a?????a?a?a（合并求和）∴S＝20222022321)?aa????a)?????(a?)(a?a?a????a?(a?a????＝

661k22836k?66k12?17?a??a?a??????a)a?????(a?a2022199820001994202219931999a??a?aa＝2022200020221999a?a?a?a＝466k?36k?1k6k?2?5

＝a??log?loga???9aa?,求loga例.

的值14][在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若102335361a?loga????logS?loga?解：設(shè)

103331n2a?aq?aam?n?p?（找特別性質(zhì)項）由等比數(shù)列的性質(zhì)

qmpnNlogM?NlogM?log?和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得

aaa)aa?log?a?log)????(loga)logaS?(log?a?(log（合并求和）

632510393n3133)a?a(log??)a?a?)?a(loga(log???＝61310339257

log9?log9?????log9＝333＝10

七、利用數(shù)列的通項求和

先按照數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征舉行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的邏輯來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的辦法.

1?11?111?????111???1例之和求.[15]n個111k?1109?)?1?(?999????111?（找通項及特征）解：因為991k個1k個

1????111??111?111???∴1n個1111n213)?(1011)?)??(10??1)??(10??(101?（分組求和）＝999911n123)1????1?110?????10?)??(10(?101?＝991個

?)1)(a?,a?求a(n?例.[：16]已知數(shù)列{annn10(10)?11??＝9110