統(tǒng)計學第五章平均指標

統(tǒng)計學第五章平均指標第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六平均指標按計算方法分類

算術平均數調和平均數幾何平均數

數值平均數位置平均數眾數中位數二、平均指標的計算與應用第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六算術平均數的學習要點算術平均數基本含義兩種算術平均數的計算公式兩種算術平均數的適用條件加權算術平均數的影響因素分析數學性質第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六基本形式：例：※它表明平均每一個單位所分擔的標志值是多少。（一）算術平均數第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六【例】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：日產量（件）1011121314計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產量。日產量（件）工人人數（人）101112131470100380150100合計800情況1情況2第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六適用于總體資料未經分組整理、尚為原始資料的情況式中：為算術平均數;為總體單位總數；為第個單位的標志值。A.簡單算術平均數第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六平均每人日銷售額為：簡單算術平均數的計算實例某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元、440元，則【例】第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六【例】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：日產量（件）工人人數（人）101112131470100380150100合計800計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產量。加權算術平均數的計算實例第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六——適用于總體資料經過分組整理形成變量數列的情況式中：為算術平均數;為第組的次數；為組數；為第組的標志值或組中值。B.加權算術平均數第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六解：加權算術平均數的實例分析若上述資料為組距數列，則應取各組的組中值作為該組的代表值用于計算；此時求得的算術平均數只是其真值的近似值。說明第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六分析：加權算術平均數的影響因素分析各組權數各組變量值第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六丙班乙班甲班203911002013960人數（人）f成績（分）x404040合計思考題:依據下例,分析說明算術平均數的影響因素第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六809961平均成績（分）丙班乙班甲班203911002013960人數（人）f成績（分）x思考題:依據下例,分析說明算術平均數的影響因素第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六表現為次數、頻數、單位數；即公式中的表現為頻率、比重；即公式中的加權算術平均數的計算方法歸納變量數列中各組標志值出現的次數（頻率），反映了各組的標志值對平均數的影響程度。權數絕對權數相對權數第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六比重權數丁班f甲班f1/401×239/4039×260思考題:依據下例,分析權數對算術平均數的影響110039人數（人）成績（分）x100%40×240合計60第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六算術平均數的主要數學性質1即：或算術平均數與標志值個數的乘積等于?算術平均數與標志值個數的乘積等于各標志值的總和。第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六算術平均數的主要數學性質2變量值與其算術平均數的離差之和恒等于零。即：或第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六算術平均數的主要數學性質3變量值與其算術平均數的離差平方和為最小。即：或第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六離差的概念12345678-1-1-213第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六幾何平均數的學習要點幾何平均數基本含義及公式適用條件第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六是n項變量值連乘積的開n次方根幾何平均數用于計算現象的平均比率或平均速度應用：各個比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個比率或速度不為零或負值。應用的前提條件：（三）幾何平均數第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六A.簡單幾何平均數式中：為幾何平均數;為變量值的個數；為第個變量值。幾何平均數的計算方法第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六【例】某流水生產線有前后銜接的五道工序。某日各工序產品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個流水生產線產品的平均合格率。分析：設經過第一道工序生產出A個單位，則第一道工序的合格品為A×0.95；第二道工序的合格品為（A×0.95）×0.92；

……第五道工序的合格品為（A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應為A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數的適用條件，故需采用幾何平均法計算。第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六求解平均合格率第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六B.加權幾何平均數——適用于各變量值出現的次數不同的情況式中：為幾何平均數;為第組的次數；為組數；為第組的標志值或組中值。幾何平均數的計算方法第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六【例】某金融機構以復利計息。近12年來的年利率前4年為3﹪，下2年為5﹪，下2年為8﹪，下3年為10﹪，最后1年為15﹪。求平均年利率。設本金為V，則至各年末的本利和應為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：分析：第2年的計息基礎第12年的計息基礎第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數的適用條件，故計算平均年本利率應采用幾何平均法。解：第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六思考若上題中不是按復利而是按單利計息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六思考若上題中不是按復利而是按單利計息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應得利息為：第2年末的應得利息為：第12年末的應得利息為：…………設本金為V，則各年末應得利息為：第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六則該筆本金12年應得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）

這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數的適用條件，需按照求解比值的平均數的方法計算。因為假定本金為V第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六所以，應采用加權算術平均數公式計算平均年利息率，即：解：（比較：按復利計息時的平均年利率為6.85﹪）第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六指總體中出現次數最多的變量值，用表示,它不受極端數值的影響，用來說明總體中大多數單位所達到的一般水平。眾數（四）眾數第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六日產量（件）工人人數（人）101112131470100380150100合計800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產量資料如下:眾數的確定（對品質數列或單項數列）計算該企業(yè)該日全部工人日產量的眾數。第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六眾數的確定（等距數列）【例B】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的眾數。第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六眾數的不唯一性無眾數

一個眾數

多于一個眾數

第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六當數據分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數；眾數的原理及應用當數據分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數（前者無眾數，后者為雙眾數或多眾數，也等于沒有眾數）。第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六將總體各單位標志值按大小順序排列后，指處于數列中間位置的標志值，用表示中位數（五）中位數第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六中位數的位次為：即第3個單位的標志值就是中位數【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數的確定（未分組資料）第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六中位數的位次為：中位數應為第3和第4個單位標志值的算術平均數，即【例B】若上述售貨小組為6個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則中位數的確定（未分組資料）第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六【例C】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：日產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）10111213147010038015010070170550700800合計800—計算該企業(yè)該日全部工人日產量的中位數。中位數的位次：中位數的確定（單項數列）第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六中位數的確定（組距數列）【例D】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的中位數。第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六中位數的主要性質1.具有惟一性。同均值一樣一組數據只有一個中位數。2.不受極端值影響。當一組數據出現極端值時它適于作為集中趨勢的測度指標。第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六(六)算術平均數和眾數、中位數的關系右偏(正偏)時，算術平均數受極大值的影響，有：左偏(負偏)時，算術平均數受極小值的影響，有：對稱鐘型分布：非對稱鐘型分布：三者通常不等，其差別取決于偏斜的方向和程度。第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六第45頁，共48頁，2023年，2月20日，星期六眾數、中位數和均值的關系

(圖示)左偏分布均值

<中位數<

眾數對稱分布

均值=中位數=

眾數眾數右偏分布

<中位數<均值第46頁，共48