線彈性斷裂力學

1第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六線彈性斷裂力學認為，材料和構(gòu)件在斷裂以前基本上處于彈性范圍內(nèi)，可以把物體視為帶有裂紋的彈性體。研究裂紋擴展有兩種觀點：一種是能量平衡的觀點，認為裂紋擴展的動力是構(gòu)件在裂紋擴展中所釋放出的彈性應變能，它補償了產(chǎn)生新裂紋表面所消耗的能量，如Griffith理論；一種是應力場強度的觀點，認為裂紋擴展的臨界狀態(tài)是裂紋尖端的應力場強度達到材料的臨界值，如Irwin理論。2第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

§1.1線彈性斷裂力學的基本理論線彈性斷裂力學的基本理論包括：Griffith理論，即能量釋放率理論；Irwin理論，即應力強度因子理論。一、Griffith理論1913年，Inglis研究了無限大板中含有一個穿透板厚的橢圓孔的問題，得到了彈性力學精確分析解，稱之為Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃與陶瓷材料脆性斷裂問題時，將Inglis解中的短半軸趨于0，得到Griffith裂紋。3第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六Griffith研究了如圖所示厚度為B的薄平板。上、下端受到均勻拉應力作用，將板拉長后，固定兩端。由Inglis解得到由于裂紋存在而釋放的彈性應變能為4第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六另一方面，Griffith認為，裂紋擴展形成新的表面，需要吸收的能量為其中：為單位面積上的表面能?？梢缘玫饺缦卤磉_式臨界狀態(tài)裂紋穩(wěn)定裂紋不穩(wěn)定5第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六對于平面應力問題，，則根據(jù)臨界條件，有或得臨界應力為表示無限大平板在平面應力狀態(tài)下，長為2a裂紋失穩(wěn)擴展時，拉應力的臨界值，稱為剩余強度。6第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六臨界裂紋長度

對于平面應變有Griffith判據(jù)如下：(1)當外加應力超過臨界應力(2)當裂紋尺寸超過臨界裂紋尺寸脆性物體斷裂7第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六二.Orowan與Irwin對griffith理論的解釋與發(fā)展Orowan在1948年指出，金屬材料在裂紋的擴展過程中，其尖端附近局部區(qū)域發(fā)生塑性變形。因此，裂紋擴展時，金屬材料釋放的應變能，不僅用于形成裂紋表面所吸收的表面能，同時用于克服裂紋擴展所需要吸收的塑性變形能（也稱為塑性功）。設金屬材料的裂紋擴展單位面積所需要的塑性功為，則剩余強度和臨界裂紋長度可表示為8第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六9第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六Irwin在1948年引入記號外力功釋放出的應變能能量釋放率能量釋放率也稱為裂紋擴展能力準則臨界值,由試驗確定Irwin的理論適用于金屬材料的準脆性破壞—破壞前裂紋尖端附近有相當范圍的塑性變形.該理論的提出是線彈性斷裂力學誕生的標志.10第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六前面僅是以固定邊情況為例。對于一般約束情況，具有更廣泛的物理意義。

取一厚度為B的板，中心有穿透裂紋長度為2a，載荷P，面積A=2aB。在裂紋長度不變的情況下，P與作用點位移Δ成正比將板拉長后固定兩端。下圖中直線的斜率為剛度系數(shù)，其倒數(shù)λ為柔度系數(shù)（柔度），等于單位載荷下的位移。當裂紋面積增加時，彈性裂紋體剛度下降，柔度增加，即彈性曲線斜率減小。下面需要分析三種不同邊界條件的情況11第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1）固定位移情況在圖中體系應變能減少，釋放出的應變能作為裂紋擴展所需的功。應變能減少量=12第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2）固定載荷情況

在圖中，體系應變能增加，載荷作的功一半用于增加系統(tǒng)應變能，一半作為剩余功用于裂紋擴展。將上述兩種情況的統(tǒng)一寫成應變能增加量=矩形-13第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六裂紋擴展時，載荷對位移曲線從a變化到f，其斜率為3)彈性約束情況

對于一般彈性條件，可看成彈性約束，簡化為裂紋體與彈簧串聯(lián)的力學模型。彈簧柔度系數(shù)14第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六上式稱為應變能釋放率的柔度表達式。那么知道了載荷與柔度隨面積的變化率，可以計算出系統(tǒng)推動裂紋擴展的有效能量為外力功與應變能增加（或減少）之差（或和）對前兩種情況，則由15第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六三.應力強度因子理論裂紋尖端存在奇異性,即:基于這種性質(zhì)，1957年Irwin提出新的物理量—應力強度因子,即：1960年Irwin用石墨做實驗,測定開始裂紋擴展時的斷裂判據(jù)(準則)16第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六§1.2裂紋的類型.裂紋尖端附近的應力場和位移值一.裂紋的類型1.按裂紋的幾何類型分類穿透裂紋:裂紋沿構(gòu)件整個厚度貫穿.表面裂紋:深度和長度皆處于構(gòu)件表面的裂紋,可簡化為半橢圓裂紋.深埋裂紋:完全處于構(gòu)件內(nèi)部的裂紋,片狀圓形或片狀橢圓裂紋.17第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.按裂紋的受力和斷裂特征分類張開型(Ⅰ型):拉應力垂直于裂紋擴展面,裂紋上、下表面沿作用力的方向張開,裂紋沿著裂紋面向前擴展,是最常見的一種裂紋.滑開型(Ⅱ型):裂紋擴展受切應力控制,切應力平行作用于裂紋面而且垂直于裂紋線,裂紋沿裂紋面平行滑開擴展.18第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六撕開型裂紋(Ⅲ型):在平行于裂紋面而與裂紋前沿線方向平行的剪應力作用下,裂紋沿裂紋面撕開擴展.二.裂紋尖端附近的應力場.位移場1.Ⅰ型裂紋問題的描述:無限大板,有一長為的穿透裂紋,在無限遠處受雙向拉應力的作用.確定裂紋尖端附近的應力場和位移場.19第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六20第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六Irwin應用Westergaurd的方法進行分析.(1)Westergaurd應力函數(shù)彈性力學平面問題的求解，歸結(jié)為要求求一個應力函數(shù).該函數(shù)滿足邊界條件及雙調(diào)和方程.1939年Westergaurd應力函數(shù)21第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六其中：為解析函數(shù);為一次積分和二次積分.首先證明:滿足雙調(diào)和方程因為:解析函數(shù)的性質(zhì):(1)解析函數(shù)的導數(shù)和積分仍為解析函數(shù)(2)解析函數(shù)的實部和虛部均滿足調(diào)和方程22第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

柯西黎曼條件23第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六有即函數(shù)是平面問題的應力函數(shù).則應力分量:24第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六即(平面應力)(平面應變)物理方程:

(平面應力)25第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六(平面應變)幾何方程:

26第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六得平面應力平面應變27第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六(2)求解雙向拉伸Ⅰ型裂紋邊界條件:

選?、裥土鸭y的函數(shù)28第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六驗證:a:,時又b:29第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六采用新的坐標令--應力強度因子

30第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六31第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六平面應變平面應力平面應變平面應力32第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.Ⅱ型裂紋設無限大板含長2a的中心裂紋，無窮遠受剪應力作用33第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第一步：解II型Westergaard應力函數(shù)

求解方法與I型基本相同，1主要差別是無窮遠處邊界上受力條件不同。選取應力函數(shù)

進而可得到位移分量平面應變34第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第二步：選II型裂紋的

邊界條件：，在處在處選取能夠滿足全部邊界條件。35第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六在裂紋表面處虛數(shù)36第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六將坐標原點移到右裂尖，采用新坐標當趨于常數(shù),設:，右裂尖附近,

在很小范圍內(nèi)時

37第37頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第三步：用求II型裂尖附近的應力場和位移場

應力強度因子是在裂尖時存在極限，若考慮裂尖附近的一個微小區(qū)域，則有：若以極坐標表示復變量則可得到38第38頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六平面應變平面應力把上面兩式代入前面應力表達式中，應力和位移場得表達式39第39頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六平面應變平面應力3.撕開型(Ⅲ型)問題描述:無限大板,中心裂紋(穿透),無限遠處受與方向平行的作用.反平面(縱向剪切)問題,其位移根據(jù)幾何方程和物理方程:40第40頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六單元體的平衡方程:位移函數(shù)滿足Laplace方程,所以為調(diào)和函數(shù).解析函數(shù)性質(zhì):任意解析函數(shù)的實部和虛部都是解析的.邊界條件:41第41頁，共44頁，2