平行四邊形的判定

人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下18.1.2平行四邊形的判定（2）羊場(chǎng)鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)張榮芝現(xiàn)在是1頁\一共有71頁\編輯于星期六有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形的定義ABCD四邊形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBDABCDACBDACO平行四邊形的性質(zhì)：邊平行四邊形的對(duì)邊平行平行四邊形的對(duì)邊相等角平行四邊形的對(duì)角相等平行四邊形的鄰角互補(bǔ)對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線互相平分∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CDAD=BC∴AB∥CDAD∥BC現(xiàn)在是2頁\一共有71頁\編輯于星期六（1）引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；現(xiàn)在是3頁\一共有71頁\編輯于星期六如圖，將兩長(zhǎng)兩短的四根細(xì)木條用小釘絞合在一起，做成一個(gè)四邊形，使等長(zhǎng)的木條成為對(duì)邊，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，在圖形變化過程中，它一直是一個(gè)平行四邊形嗎？B大家齊動(dòng)手現(xiàn)在是4頁\一共有71頁\編輯于星期六現(xiàn)在是5頁\一共有71頁\編輯于星期六憑直覺和測(cè)量都確實(shí)感受到它是平行四邊形我們?nèi)绾斡猛评淼姆椒右宰C明呢？試一試吧！也許會(huì)成功ABCD已知：在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC求證：四邊形ABCD

是平行四邊形證明思路1234AB∥CD,

AD∥BC∠1=∠2，∠3=∠4⊿ABC≌⊿CDA行家伸伸手現(xiàn)在是6頁\一共有71頁\編輯于星期六（2）學(xué)生分組進(jìn)行討論，歸納得出：

判定定理1：有兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；已知：在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB.求

證：四邊形ABCD是平行四邊形ABCD現(xiàn)在是7頁\一共有71頁\編輯于星期六現(xiàn)在是8頁\一共有71頁\編輯于星期六如圖，將兩長(zhǎng)兩短的四根細(xì)木條用小釘絞合在一起，做成一個(gè)四邊形，使等長(zhǎng)的木條成為對(duì)邊，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，在圖形變化過程中，它一直是一個(gè)平行四邊形嗎？

由上面的證明你得到了什么結(jié)論？平行四邊形判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形百煉成金B(yǎng)幾何語言：∵AB＝CD，AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形現(xiàn)在是9頁\一共有71頁\編輯于星期六練習(xí)

如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，圖中有哪些互相平行的線段？FABCDE解：圖中互相平行的線段有：AB//DC//EF，AD//BC，DE//CFAD∥BC

AB=DC

AD=BC四邊形ABCD是平行四邊形AB∥DCDC∥EF

DC=EF

DE=CF四邊形CDEF是平行四邊形DE∥CFAB∥DC∥EF理由如下：現(xiàn)在是10頁\一共有71頁\編輯于星期六BCAD想一想：這個(gè)四邊形具備了怎樣的特征？動(dòng)動(dòng)腦你能用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)嗎？一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

現(xiàn)在是11頁\一共有71頁\編輯于星期六已知：在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.

求

證：四邊形ABCD是平行四邊形ABCD學(xué)生歸納判定定理2：

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形你能用幾種方法證明這個(gè)命題呢?現(xiàn)在是12頁\一共有71頁\編輯于星期六

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四形。ADCB幾何語言:∵AB∥CD，AB＝CD∴四邊形是平行四邊形.現(xiàn)在是13頁\一共有71頁\編輯于星期六如圖，將兩根細(xì)木條AC、BD的中心重疊，用小釘絞合在一起，用橡皮筋連接木條的頂點(diǎn)，做成一個(gè)四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動(dòng)兩根木條，它一直是一個(gè)平行四邊形嗎？你能證明嗎？你又能得到什么結(jié)論？對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形你也試一試

幾何語言：∵OA=OC,OB=OD∴四邊形ABCD是平行四邊形現(xiàn)在是14頁\一共有71頁\編輯于星期六已知：在四邊形ABCD中，AO=OC,OB=OD求證：四邊形ABCD是平行四邊形證明思路：⊿AOB≌⊿COD（SAS）

⊿BOC≌⊿DOA

(SAS)AB∥CD

BC∥AD

四邊形ABCD是平行四邊形現(xiàn)在是15頁\一共有71頁\編輯于星期六快速反應(yīng)

如圖，四邊形ABCD，AC、BD相交于點(diǎn)O,若OA=OC,OB=OD,則四邊形ABCD是__________,根據(jù)是_____________________兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形平行四邊形現(xiàn)在是16頁\一共有71頁\編輯于星期六如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,且AB=CD,則四邊形ABCD是___________,理由是____________________________

快速反應(yīng)平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形現(xiàn)在是17頁\一共有71頁\編輯于星期六用兩根長(zhǎng)為40cm的木條和兩根長(zhǎng)30cm的木條作為四邊形的四條邊，能否拼成一個(gè)平行四邊形？小明拼成的四邊形如圖所示，圖中的四邊形ABCD是平行四邊形嗎？現(xiàn)在是18頁\一共有71頁\編輯于星期六ADCB求證：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形自主探索現(xiàn)在是19頁\一共有71頁\編輯于星期六已知：四邊形ABCD,∠A=∠C，∠B=∠D求證：四邊形ABCD是平行四邊形證明：∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)同理可證AB∥CD又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）即∠A+∠B=180°∴AD∥BC

（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）ABCD現(xiàn)在是20頁\一共有71頁\編輯于星期六兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形的判定定理4:符號(hào)語言：ABCD∵∠A=∠C，∠B=∠D∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）現(xiàn)在是21頁\一共有71頁\編輯于星期六現(xiàn)在是22頁\一共有71頁\編輯于星期六請(qǐng)你談一談

學(xué)習(xí)了本節(jié)課你有哪些收獲？現(xiàn)在是23頁\一共有71頁\編輯于星期六D。C。。四、兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.三、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形二、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形一、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形BDACO∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形

∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形∵∠A=∠C，∠B=∠D∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AO=CO，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形現(xiàn)在是24頁\一共有71頁\編輯于星期六ABCDO歸納兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義）；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；AD∥BCAB∥DCAD=BCAB=DC∠BAD=∠BCD∠ABC=∠ADC四邊形ABCD是平行四邊形如圖，用符號(hào)表示如下：平行四邊形有哪些判定方法？對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。OA=OCOB=OD兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；四邊形ABCD是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形現(xiàn)在是25頁\一共有71頁\編輯于星期六從邊看:

平行四邊形的四個(gè)判定方法兩組對(duì)邊分別平行

兩組對(duì)邊分別相等

一組對(duì)邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形

從對(duì)角線看:

兩組對(duì)角線互相平分

現(xiàn)在是26頁\一共有71頁\編輯于星期六兩組對(duì)邊分別相等兩組對(duì)角分別相等對(duì)角線互相平分兩組對(duì)邊分別平行一組對(duì)邊平行且相等四邊形是平行四邊形邊角對(duì)角線：平行四邊形的判定方法共有幾種？現(xiàn)在是27頁\一共有71頁\編輯于星期六已知一條線段AC，以線段AC為一條對(duì)角線，在線段AC的一側(cè)有一點(diǎn)B，你能在線段AC的另一側(cè)找到一點(diǎn)D，使得ABCD為平行四邊形嗎？現(xiàn)在是28頁\一共有71頁\編輯于星期六D作法1：(1)連結(jié)AB,BC

(2)以C點(diǎn)為圓心，以AB長(zhǎng)度為半徑作弧，再以A點(diǎn)為圓心，以BC長(zhǎng)度為半徑作弧。(3)兩個(gè)弧交于D點(diǎn)

DO作法2：（1）取AC中點(diǎn)O（2）連結(jié)BO并延長(zhǎng)D，使BO=OD

（3）連結(jié)AD,CD，AB,BC現(xiàn)在是29頁\一共有71頁\編輯于星期六方法（一）DABC（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形現(xiàn)在是30頁\一共有71頁\編輯于星期六方法（二）DABC兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形？猜想，對(duì)嗎？現(xiàn)在是31頁\一共有71頁\編輯于星期六方法（三）DABC現(xiàn)在是32頁\一共有71頁\編輯于星期六方法（四）DABC兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形？猜想，對(duì)嗎？現(xiàn)在是33頁\一共有71頁\編輯于星期六方法（五）DOABC對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形？猜想，對(duì)嗎？現(xiàn)在是34頁\一共有71頁\編輯于星期六再見!現(xiàn)在是35頁\一共有71頁\編輯于星期六請(qǐng)你識(shí)別下列四邊形哪些是平行四邊形?為什么？ADCB110°70°110°⑴⑷⑶ABCD120°60°5㎝5㎝ABCDO5㎝5㎝4㎝4㎝BADC4.8㎝4.8㎝⑵7.6㎝7.6㎝現(xiàn)在是36頁\一共有71頁\編輯于星期六兩組對(duì)邊分別相等兩組對(duì)角分別相等對(duì)角線互相平分兩組對(duì)邊分別平行一組對(duì)邊平行且相等四邊形是平行四邊形邊角對(duì)角線：平行四邊形的判定方法共有幾種？現(xiàn)在是37頁\一共有71頁\編輯于星期六思考（1）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？（2）一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎？使學(xué)生明白假命題應(yīng)舉反例說明。兩道練習(xí)一方面求同，另一方面求異，提高學(xué)生素質(zhì)能力?，F(xiàn)在是38頁\一共有71頁\編輯于星期六ＡＢＣＤ現(xiàn)在是39頁\一共有71頁\編輯于星期六一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎？CABE△ABE為等腰三角形作△DCA≌△EAC∴∠B=∠E=∠DAB=AE=DC

顯然,四邊形ABCD不是平行四邊形.D.提高創(chuàng)新現(xiàn)在是40頁\一共有71頁\編輯于星期六練一練

有兩條邊相等，并且另外的兩條邊也相等的四邊形一定是平行四邊形嗎？

不一定。如右圖現(xiàn)在是41頁\一共有71頁\編輯于星期六議一議一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是平行四邊形嗎？

不一定。如等腰梯形?，F(xiàn)在是42頁\一共有71頁\編輯于星期六比一比如圖，四個(gè)全等三角形拼成一個(gè)大的三角形，找出圖中所有的平行四邊形，并說明理由?，F(xiàn)在是43頁\一共有71頁\編輯于星期六

1、已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，要使這個(gè)四邊形為平行四邊形，則需添加一個(gè)你認(rèn)為正確的條件為

()練習(xí)

AB∥DC，或∠A=∠C或AD=BC2、能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是（）。A、一組對(duì)角相等 B、一組對(duì)邊平行且相等C、一對(duì)鄰角互補(bǔ) D、兩條對(duì)角線互相垂直B3、四邊形ABCD中，若∠A=∠C，∠B=∠D，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）。CA、AB=CD B、AD∥BC C、∠A=∠B D、對(duì)角線互相平分現(xiàn)在是44頁\一共有71頁\編輯于星期六隨堂練習(xí)已知:如圖,在□ABCD中,BF=DE.求證:四邊形AECF是平行四邊形.EFDCBA現(xiàn)在是45頁\一共有71頁\編輯于星期六

知識(shí)運(yùn)用AEDCFB方法一:利用兩三角形全等方法二:利用平行四邊形對(duì)邊相等現(xiàn)在是46頁\一共有71頁\編輯于星期六Try!如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上且DF=BE。四邊形DEBF是平行四邊形嗎？說說理由。DABCEF現(xiàn)在是47頁\一共有71頁\編輯于星期六（1）如圖：平行四邊形ABCD，點(diǎn)E、F分別在

AD、BC上，且DE=BF，連結(jié)CE、AF．求證：四邊形AFCE是平行四邊形．ＢＦＡＣＤＥ（1）（2）已知：在平行四邊形ABCD中，E、F是BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF.

求證：四邊形AECF是平行四邊形EADCBF（2）培養(yǎng)學(xué)生思維多向性，鞏固新知。基礎(chǔ)訓(xùn)練：現(xiàn)在是48頁\一共有71頁\編輯于星期六例1：已知：E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF.DABCEF大顯身手求證：四邊形BFDE是平行四邊形7現(xiàn)在是49頁\一共有71頁\編輯于星期六例1：已知：E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF.DOABCEF證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF

即EO=FO

又∵BO=DO∴四邊形BFDE是平行四邊形大顯身手求證：四邊形BFDE是平行四邊形14現(xiàn)在是50頁\一共有71頁\編輯于星期六例已知：平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別為OA、OC中點(diǎn)，求證：四邊形BEDF是平行四邊形。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA＝OC，OB＝OD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）∵E、F分別為OA、OC中點(diǎn)∴OE＝OA，，OF＝OC而OA＝OC∴OE＝OF又OB＝OD∴四邊形BEDF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）愛動(dòng)腦筋的你一定能用多種方法證明哦！CADBEHFOG現(xiàn)在是51頁\一共有71頁\編輯于星期六

已知：平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE＝CF，求證：四邊形BEDF是平行四邊形。還可以是：①AF＝CE②∠ADE＝∠CBF③∠CDE＝∠ABF④BE⊥AC，DF⊥AC

……

若將“E、F分別為OA、OC中點(diǎn)”改為“AE＝CF”，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？試試看：你還能怎樣改？ADBCOEF現(xiàn)在是52頁\一共有71頁\編輯于星期六變式1：已知：如圖，E，F(xiàn)是

ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且∠BAE=∠DCF

求證：四邊形AECF是平行四邊形。ABCDEFO現(xiàn)在是53頁\一共有71頁\編輯于星期六

變式2:已知：如圖,ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分線AE、CF分別與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)。

求證：四邊形AECF是平行四邊形ABCDEF現(xiàn)在是54頁\一共有71頁\編輯于星期六已知：平行四邊形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),并且OE=OF。問：1)OA與OC,OB與OD大小關(guān)系如何？2)四邊形BFDE是平行四邊形嗎？能說說理由嗎？DABCEFO練兵場(chǎng)現(xiàn)在是55頁\一共有71頁\編輯于星期六隨堂練習(xí)已知:如圖,AC,BD是□ABCD的兩條對(duì)角線,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F,求證:AE=CF.∟∟ABCDEFO現(xiàn)在是56頁\一共有71頁\編輯于星期六已知：E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形DABCEF改一改，證一證BE∥DF現(xiàn)在是57頁\一共有71頁\編輯于星期六拓展延伸若例1中的條件:E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF改為E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上兩點(diǎn)，并且AE＝CF。其它條件不變，四邊形BFDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)同學(xué)們畫出圖形并證明?，F(xiàn)在是58頁\一共有71頁\編輯于星期六實(shí)踐應(yīng)用例2:如圖，在ABCD中，已知點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在AD和BC上，且AE=CF，連結(jié)CE和AF，試說明四邊形AFCE是平行四邊形。OBF=EDOE=OF現(xiàn)在是59頁\一共有71頁\編輯于星期六試一試：已知：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于O點(diǎn)，點(diǎn)E,G,F,H分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn)，

第1問：以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為頂點(diǎn)，你能畫出幾個(gè)平行四邊形？

四、靈活應(yīng)用新知

現(xiàn)在是60頁\一共有71頁\編輯于星期六第2問：你能否驗(yàn)證圖中所得到的新的四邊形是平行四邊形嗎？

圖（1）圖（2）圖（3）現(xiàn)在是61頁\一共有71頁\編輯于星期六已知：平行四邊形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形嗎？說說你的理由。DOABCEFHG練兵場(chǎng)現(xiàn)在是62頁\一共有71頁\編輯于星期六現(xiàn)在是63頁\一共有71頁\編輯于星期六練習(xí)3如圖四邊形ABCD是不是平行四邊形？請(qǐng)給出證明.ABCDxyo-1-111∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ連接對(duì)角線ＡＣ，ＢＤ則有ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ∴四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形現(xiàn)在是64頁\一共有71頁\編輯于星期六例3：已知點(diǎn)D、E、F分別在ABC的邊BC、AB、AC上，且DEAF，DE=AF，G在FD