大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習中的歸納與拓廣思想方法【W(wǎng)ord版】

大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習中的歸納與拓廣思想方法大學(xué)生進入大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習過程中，只顧一頭鉆進《高等數(shù)學(xué)》、《工程數(shù)學(xué)》、《高等代數(shù)》等基本理論的學(xué)習，而忽視了數(shù)學(xué)方法和思想的學(xué)習。對全國院校非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，大多數(shù)沒有開設(shè)“”課程，而中學(xué)時期學(xué)習的化歸、抽象、類比、歸納、推理等方法沒有很好的在大學(xué)學(xué)習中得到繼承和發(fā)展。及其發(fā)展，可以看到歸納和拓廣（推廣）方法是數(shù)學(xué)和科學(xué)研究過程中最常用的思想方法。當我們從已知的經(jīng)驗中引出和總結(jié)出最正確的信念來，并建立關(guān)于某個問題的正確結(jié)論，接著，往往可考慮是否可將某些結(jié)論從個別事物推廣到一類事物，是否可減弱條件、加強結(jié)果，是否可簡化證明、推理等等，并得到最終理論。多新概念、新理論、新學(xué)科的形成和發(fā)展，無不展示出歸納與拓廣方法的重要作用。例如從長度、面積、體積到R？？N的勒貝格測度，乃至一般測度空間和測度理論；從黎曼積分到勒貝格積分，乃至各種抽象積分和積分理論；從具體的代數(shù)運算到群、環(huán)、域；從直線、平面、三維空間到一般歐氏空間，乃至各種抽象空間等等。知識內(nèi)容的精髓，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的精神和態(tài)度。因此，大學(xué)生應(yīng)多加強數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習，提高科學(xué)思維水平，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)。與拓廣思想方法簡述理經(jīng)驗的方法，通常稱作歸納法。歸納法常常從觀察開始，考察所收集到的觀察結(jié)果，對它們加以比較和綜合，尋求可能隱藏在它們后面的某些線索。歸納就是得到猜想的過程，將零零碎碎的細節(jié)整體簡化成有明顯意義的整體。正如萊布尼茨所說，“”種類型，一種是價值不大的，另一種是有價值的。推廣之后沖淡了是不好的，推廣之后提煉了是好的。推廣就是把以前分散在范圍廣泛的幾種概念壓縮凝聚成一個概念。群論把出現(xiàn)在代數(shù)、數(shù)論、分析、幾何、晶體學(xué)及其他部門中的概念提煉成公共的概念，就是好的推廣。等數(shù)學(xué)》中的歸納與拓廣思想方法分的有關(guān)內(nèi)容，剖析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以領(lǐng)悟到相應(yīng)內(nèi)容中所蘊含的歸納與拓廣類比等思想方法。教師在組織安排教學(xué)時，若能從思想方法的高度，抓住實質(zhì)，作好鋪墊，留有“”，使知識系統(tǒng)化、整體化，就能有助于學(xué)生形成良好的認知結(jié)構(gòu)，下面對積分和微分概念、以及級數(shù)中蘊含的歸納與拓廣方法作具體的探討。微分概念中。一元實值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，又學(xué)習了二元實值函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，學(xué)生自然就會想到多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，但課本上并沒有給出多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分的概念，只說可以類似推廣到二元以上的函數(shù)，并簡單的敘述了有關(guān)三元函數(shù)。這就需要學(xué)生學(xué)會歸納與拓廣的思想方法，將一元函數(shù)、二元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念推廣到N元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的概念，即有以下：還是較容易想到的，但學(xué)生在對全微分概念中的高階無窮小O（）還是有一定的困難，原因就在教師如何對一元函數(shù)和二元函數(shù)微分中的高階無窮小如何講解了。教師在講述一元實值函數(shù)的微分概念時，一般都是對△還可拓廣到無窮維空間。此外，注意到微分概念是一種局部性質(zhì)，即只涉及到？在點P？？0某個領(lǐng)域的性質(zhì)，因此利用定義2，還可將微分概念拓廣到較歐氏空間更廣的一類空間――微分流形上去。積分概念中。實值函數(shù)定積分的背景，其典型問題是求變速運動物體在路程與求曲邊梯形的面積，當然也可用于求質(zhì)量分布不均勻的直線段的質(zhì)量。再聯(lián)系二重積分、三重積分、第一型曲線、曲面積分，它們的思想方法（分割、求和、取極限）是一樣的，都可以看作是求不均勻物體的質(zhì)量，只是幾何體的形狀不同而已。積分可知，雖然具體對象不同（直線段，可求面積的平面圖形、可求體積的空間幾何體V、空間可求長曲線L、空間可求面積的曲面塊），但都可歸納為處理同一型式和的極限，更為重要的是在物理、力學(xué)、工程技術(shù)中大量問題的解決辦法，也都歸納處理上述型式和的極限問題，它們統(tǒng)稱為級數(shù)中。一問題：把函數(shù)11－X＋X？？2展成X的冪級數(shù)（×）的解法不只一種。下面的解法可能顯得麻煩些，但對數(shù)學(xué)知識不多的初學(xué)者可能顯得容易理解些，他只需要知道幾何級數(shù)之和就夠了：很值得注意，任一不等于零的系數(shù)都是1或－1；相繼出現(xiàn)的各系數(shù)似乎也有一定的規(guī)律，如果多算出幾項，這種規(guī)律可以看得更清楚，有周期性，各系數(shù)按周期循環(huán)出現(xiàn)，周期數(shù)為6：想這周期性能擴展到觀察所及的范圍之外。但是這只是歸納的結(jié)論，或者說僅僅是一種推測，自然不能輕信。不過這是根據(jù)事實得出的推測，所以值得認真的檢驗。所謂的方法之一，是把這猜想寫成另一種形式情形，右邊可看作是兩個幾何級數(shù)，它們都有同樣的公比－X？？3，可以把它們加起來，所以這猜想歸結(jié)為：成立，所以證明了這一猜想。雖然簡單，但是在許多方面卻具有代表性。如果要展開一個函數(shù)，常常很容易求出頭幾項系數(shù)。然后看看這些系數(shù)，應(yīng)當設(shè)法（像這里一樣）猜想系數(shù)的規(guī)律，在猜出其規(guī)律之后，像這里一樣，然后再設(shè)法證明它。先提出一個合理的清晰的猜想命題，然后再作出證明，這樣做可能是大為有利的。建模中的歸納與拓廣思想用實質(zhì)上是數(shù)學(xué)和所研究的實際問題有機結(jié)合的結(jié)果，數(shù)學(xué)建模恰恰體現(xiàn)了人們面對實際問題時應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。而數(shù)學(xué)建模過程中，歸納與拓廣的思想方法更尤為重要。面對實踐中得到的大量數(shù)據(jù)，如何才能歸納總結(jié)出規(guī)律，得到數(shù)學(xué)模型，并證明和驗證，并對建立的模型進行拓廣。下面就簡單從三個方面中蘊含的歸納與拓廣思想方法作簡單的探討。密通訊中的密鑰。堆密文中找出規(guī)律，破譯敵方的密碼，得到敵方的確定消息。密碼學(xué)從最初的加密算法――單表密碼，到多表密碼、現(xiàn)代序列密碼體制。利用現(xiàn)代計算機技術(shù)，并根據(jù)隨機序列所具有的一些可檢驗的性質(zhì)，我們要求偽隨機序列也具有類似的性質(zhì)，并進行相應(yīng)的檢驗。檢驗通過的才有資格稱為偽隨機序列，用于保密通訊。我們可歸納總結(jié)出有以下五種主要的檢驗方法：①頻數(shù)檢驗；②序列檢驗；③撲克檢驗；④自相關(guān)檢驗；⑤游程檢驗。N，K）最小廣播圖的設(shè)計？？？？【3】？？和無線電信道分配。）最小廣播圖的設(shè)計（2000年南京大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽A題）和無線電信道分配都是有關(guān)信息傳播的問題。在這些問題的解決上無一不體現(xiàn)了從簡單到復(fù)雜、從一維到多維的歸納思想，并將最終的理論進行拓廣。計回歸。量實踐中得到的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合的最好的模型，并對得到的結(jié)果進行分析，對模型進行改進，最終找到事物內(nèi)在的規(guī)律。這樣，才能將得到的研究成果進行推廣應(yīng)用。學(xué)習并掌握歸納與拓廣思想方法歸納與拓廣思想方法，并能運用自如，就需要掌握歸納所拓廣的過程，需要科學(xué)的學(xué)習態(tài)度。納與拓廣的過程。應(yīng)，語言的適應(yīng)。歸納過程是把我們的思想認識適應(yīng)于事實的結(jié)果。每當把我們的想法和觀察相比較時，其結(jié)果可能一致也可能不一致。若與觀察事實一致，就對我們的想法更有信心；若不一致，就改變想法。經(jīng)過多次改變之后，我們的想法就可能較好地符合事實。我們對任何新事物的想法，開頭總不免是錯誤的，或者至少有一部分是錯誤的；歸納過程（總結(jié)經(jīng)驗）就提供改正錯誤的機會，使思想符合現(xiàn)實。語言表達事實，同思想適應(yīng)于事實在一定程度上具有同樣的重要意義。無論如何，這兩者是有緊密聯(lián)系的。科學(xué)發(fā)展非常明顯地伴隨著術(shù)語的發(fā)展，當物理學(xué)家開始談到關(guān)于“”或醫(yī)生開始談到“”時，這些術(shù)語是不明白的、含糊的、混亂的。這些術(shù)語被科學(xué)家用到今天，如像“”、“”、“”、“”是無比地清楚而且很明確。然而要知道，區(qū)分兩個名詞術(shù)語要經(jīng)過多少次充分的觀察，經(jīng)過多少次精巧的試驗，甚至一些偉大的發(fā)現(xiàn)。歸納過程，改造了術(shù)語，澄清了概念。一個定理已經(jīng)系統(tǒng)地整理出來，但是為了使這個定理更加嚴格，我們還要給這個定理中某些術(shù)語更精確的意義。納與拓廣的態(tài)度。的目的在于使我們的信念盡可能有效地適應(yīng)于經(jīng)驗和現(xiàn)實。這就要求把事實擺在一定的優(yōu)先地位，要求隨時準備把觀察結(jié)果提高為一般性的原則，并隨時準備根據(jù)具體觀察的結(jié)果對最高的一般性原則進行修正。要求做到下述三點：①我們應(yīng)當隨時準備修正我們的任何一個信念；②如果有一種理由非使我們改變信念不可，我們就應(yīng)當改變這一信念；③如果沒有某種充分的理由，我們不應(yīng)當輕率地改變一個信念。語點和文化，它能使人們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦