勻變速直線運動模板

勻變速直線運動模板畫圖建情景以點代物，以線代跡，選定正方向：以時間為序，標注物理量，位置、正負要與正方向對應。分析明〉顯特征勻（減）加速分段a不同§1勻變速直線運動的規(guī)律:（一）公式：v=v+atv2-v2=2axv=%*Vt

t02v=v+at（二）幾個重要推論（1）某段時間內(nèi)的平均速度等于這段時間蹭時刻的瞬時速度（2）在連續(xù)相待的時間間隔T內(nèi)的位移之差Ax是恒量，且電=aT2或x一x=（m一n）aT2（3）蓄段位移中點的瞬時速度等于初速度v0和末速度v二次方和的一半的v2+v2平方根，即vx=q%十，且無論質點是做勻加速直線運動還做我減2速直線運動，總有v>vxt22（4）初速度為零的勻加速直線運動的推論在第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)第n秒內(nèi)位移之比：x:x:x::x=1:3:5:::（2n-1）在第1m內(nèi)、第2m內(nèi)的時間之比為：t1:t2:……:t=1：（、.'2-1）：G..'3-、②:……:（、.忌-偵=）末速度為零的勻減速直線運動可以看成初速度為零的、加速度大小不變的勻加速直線運動的逆運動。（三）勻變速直線運動圖像規(guī)律的總結應用圖像解題，首先要學會識圖。識圖就是要"看"尋找圖像反映的規(guī)律及解題的突破口。可總結為六看：看"軸"、看"線"、看"斜率"、看"面"、看"截距"、看"特殊值"。（1）看"軸"：即看縱、橫軸所表示的物理量，特別要看縱軸是X還是V。（2）看"線"：從線看反映的運動性質，如x-t圖像為傾斜直線表示勻速直線運動，v-t圖像為傾斜直線表示勻變速直線運動經(jīng)。（3）看"斜率"斜率往往代表一個物理量。X-t圖像的斜率表示速度；V-1圖像的斜率表示加速度。（4）看"面"：主要看縱、橫軸的乘積有無意義，如x-t圖像面積無意義，v-t圖像與t軸所圍的面積表示位移。（5）看"截距"一般表示初始條件，如初始位置x0或初速度V。。（6）看特殊值：如圖像的交點：x-t圖像的交點表示相遇；v-t圖像的交點表示速度相同。（但不表示相遇），例題例1：一物體做勻減速速直線運動，在某段時間內(nèi)通過的位移大小為x^緊接著要相待的的時間內(nèi)以通過位移大小為x2,此時物體仍在運動地。求再經(jīng)過多少位移物體的速度剛剛為零。

公式法:分析：根據(jù)題意畫出運動過程草圖如右圖所示?？刹捎没竟椒?速度公式和位移公式)，先以第一段開始時刻為初始時刻，利用速度公式和位移公式分別得到相關的方程，聯(lián)立求得加速度a和第二階段的末速度，然后再選最后一段過程，列式即可求解。但是仔細審視題目的特點，由關鍵句"緊接著在相待時間內(nèi)又通過位移大小為x2”，很容易想到用平均速度求出中間時刻的瞬時速度，再由推論Ax=aT2右圖所示。可采用基本公式法(速度公式和位移公式)，先以第一段開始時刻為初始時刻，利用速度公式和位移公式分別得到相關的方程，聯(lián)立求得加速度a和第二階段的末速度，然后再選最后一段過程，列式即可求解。但是仔細審視題目的特點，由關鍵句"緊接著在相待時間內(nèi)又通過位移大小為x2”，很容易想到用平均速度求出中間時刻的瞬時速度，再由推論Ax=aT2求出加速度a，然后結合速度一位移公式即可求得解。用公式解題：設物體通過位移厭X1時所用的時間為T，物體的初速度大小為V0，加速度大小為a，第一段位移內(nèi)物體做勻減速直線運動有:x=vT-2aT2(1)通過位移氣末時的速度為：x=v-aT(2)貝Ux=vT-2aT2(3)通過位移x2末時的速度為：v=v-2aT(4)設再通過位移x3，物體的速度剛好為零，則-2ax3=0-v2(5)由(1)-(3)得：x-x=aT2a=-i—-^(6)=v-aT=x+xx-xt

12T2T223x-x——212T把(61(7)代入(5)得：x=(3氣—氣)238(x-x)方法二：平均速度法TOC\o"1-5"\h\z由公式Ax=aT2得x一x=—aT2(1)通過位移乂1末時的速度為v=二工(2)1i2T設再經(jīng)過位移x3，物體的速度剛好為零，則-2。(x2+%)=0-V2……⑶由(1)得：a=~土(4)T2V2由(3)式得：x+x=^^(5)也:代入(5)并化簡：x=(3x2-xi■(4)38(氣-x2)用逆向思維方法解題：例2:物體以一定的初速度從A點沖上固定的光滑的斜面，到達斜面最高點C時速度恰為零，如圖所示。書籍物體第一次運動到斜面長度3/4處的B點時，所用的時間為t，求物體從B滑到C所用的時間。方法指導:注意逆向思維法和比例法在勻變速直線運動中的運用。物體勻減速運動至C點速度為零，可轉化為由C到B初速度為零的勻加速直線運動，再結合比例關系很容易得出物體從B滑到C所用的時間。解答：把物體由A運動到C的勻減速運動轉化為初速度為零的反方向的勻加速直線運動，根據(jù)比例關系可知：Scb:Sq1：3，故由初速度為零的勻加速直線運動的推論可知：Icb=lBA=1，即物體從B滑到C所用的時間為t。用圖像法解題：

圖像問題模板

例3:（多選）物體以速度v勻速通過直線上的A、B兩點需要的時間為t?，F(xiàn)在物體從A點由靜止出發(fā)，先做加速度大小為a1的勻加速直線運動到某一最大速度vm后立即做加速度為a2的勻減速速直線運動至B點停下，歷時仍為t，則物體的A.最大速度vm只能為2v，無論a1、a2為何值；B.最大速度vm可以為許多值，與a1、a2的大小無關；C.a1、a2的值必須是一定的，且a1、a2的值與最大速度有關；D.a1、a2必須滿足"1%=哭。a+at解答：識模建模：勻加速接勻減速再與勻速運動比較，位移和時間相同，用圖像法求解較方便。解：畫出符合題意的v-t圖像，由題意：勻速運動和先加□速后減速運動（OAC）位移相

等、時間相等，故S=S,S=S，可得出v=2v，虛線OBC表示加速度改變的先加速1234m后減速運動，由圖可知A正確，B、C錯誤；由v=at=a（―t）,v=2v聯(lián)立可解得m1121m-a^=四，故D正確，答案：A，D。a+at圖像法的應用用圖像法求解物理問題的要點是識圖和作圖。識圖就是讀出解題的信息，v-t圖像的信息如圖所示圖要根據(jù)題意把抽象的運動過程用圖像表示出來;將物理量間的代數(shù)關系轉化為函數(shù)圖像和幾何關系，運用圖像簡明、直觀的特點，分析解決物理問題；有些問題可以借助圖像化繁為簡，將較復雜的物理關系轉化為簡單的幾何（圖像）關系，從而提高解題的速度和準確度，如本例把握住兩種運動方式下圖線與橫軸間包圍面積相等這一關鍵正確作圖，Vm與v的關系就一目了然。利用圖像解題的易錯點：（1）混淆x-t圖像和v-t圖像，有的考生還錯誤的認為運動圖像就是近質點的運動軌跡；（2）易將v-t圖線的交點當作兩質點相遇的時刻；（3）將圖線斜率的正負變化當作質點運動方向的變化，或者錯誤地認為v-t圖線的斜率為正則質點一定做做加速運動，斜率為負則一定做減速運動。§2追及、相遇問題追及、相遇問題模板知識必備追及、相遇問題的分析：1、討論追及、相遇問題，其實質就是分析兩物體在同一時刻能否到達相同的空間位置的問題。（1）兩個關系：時間關系和位移關系，這兩個關系可通過畫草圖得到。（2）一個條件兩者速度相等，它往往是物體能否追上、追不上或（兩者）距離太大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。2、追及相遇問題的分類（1）速度大者追速度小者；（2）速度小者追速度大者。3、追及相遇問題的注意事項（1）追者和被追者速度相等是能追上、追不上或兩者間距最大、最小的臨界條件；衩追的物體做勻減速直線運動時，要判斷追上時，被追的物體是否已停止運動。模型1：速度大者追速度小者車失靈，如圖a、b分別為小汽車和大汽卡車的v-t圖像，以下說法正確的是：A、因剎車失靈前小汽車已咸速，不會追尾。B、在t=5秒時追尾。C、在t=3秒時追尾。D、由于初始距離太近，即使剎車不失靈也會追尾。解答：根據(jù)物理圖像分析追及及相遇問題。兩車屬于同時不同地運動，結合圖釘中以看出，只要求出小汽車減速至與大卡車速度相等時，兩者的位移差，比較其與兩者初始距離的大小即可。由v-t圖像可知，小汽車剎車失靈前做勻咸速運動，剎車后加速度減小俁仍做勻減速運動，大卡車一直做勻速運動，5秒時兩者速度相等，此時兩者的位移差為S小汽車一S大卡車=2x（10+20）x1m+2x4x10m=35m>30m所以在t=5s前已追尾，A、”20+1020+B錯誤；t=3s時由圖像知小汽車的位移為s=3。+2。乂1質+2——x2m=60m,122，大卡車的位移為30m,它們的位移差為30m，所以t=3s時追尾，C正確；如果剎車過程中剎車不失靈，由圖可知，剎車的加速度的大小為a=10m/s2，速度相等時，即30-10t=10，解得t=2s。汽車的位移為s=30x2m—4x10x22m=40m，大卡車的位移為20m，它22們的位移差為20m，所以不發(fā)生追尾。，D錯。答案C正確。解這類問題的技巧：（1）追及問題涉及兩個不同物體的運動關系，分析時要緊抓"一個圖，三個關系式"，即過程示意圖或，v-t圖，速度關系式、時間關系式和位移關系式。同時要關注題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如"剛好二"恰好"、"最多"、"至少"等。（2）速度大者減速（如勻減速直線運動）追速度小者（如勻速直線運動）的結論：兩者速度相等時，追者位移仍小于被追者位移與初始間距之和，則永遠追不上，此時，兩者存在最小距離。若速度相等時，追者位移恰等于被追者位移與初始間距之和，剛好追上，也是二者相遇時避免碰撞的臨界條件。若相遇時追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還能再一次追上追者。用數(shù)學方法處理速度大者追速度小者。例5：甲、乙兩車相距s，同時同向運動，乙在前面做加速度為a1，初速度為零的勻加速運動，甲在后面加速度為a2、初速度為V0的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇的次數(shù)與加速度的關系。解：根據(jù)題意：兩車同時運動，相遇時經(jīng)歷的時間相同，所以，只要找出兩車相遇時的位移關系，對結果進行討論即可得出結論。設甲經(jīng)過時間t追上乙，它們相遇時應有：TOC\o"1-5"\h\zX甲-X=s（1）由運動學公式得：x=vt+-a12,x=-a12⑵甲022乙21s當a1=a2時，％-4乙=s所以有：t=，t只有一個解，則相遇一次。V0由（1）和（2）得：t=匕土普"V一七）S......⑶a一a對（3）進行討論：（】）當a1<a2時，（3）式t只有一個正解，相遇一次。（2）當a>a時，若，v2<2（a-a）s時，（3）式無解，即不相遇。12012當v2=2（a1-a2）s時，（3）式t只有一個解，即相遇一次。當V2>2（a1-a2）s時，（3）式t有二個正解，即相遇二次用數(shù)學方法處理追及、相遇問題時的心得體會：（1）設相遇時間為t,根據(jù)條件列方程，得到關于t的一元二次方程，用差別式進行討論，若△>0，即有兩個解，可根據(jù)題中的具體情況分析兩個解是否都符合題意若△=0，說明剛好追上不相碰；若A<0說明追不上或不能相碰，也可用不等式進行限制求出追上或追不上的取值范圍。（2）數(shù)學方法是將物理問題轉化為數(shù)學問題，充分利用數(shù)學規(guī)律和數(shù)學技巧來解決物理問題，其論述或討論比較清晰、簡捷，但要注意其結果的物理意義。速度小者追大者例題6：（多選）甲乙兩質點從同一位置出發(fā)，沿同一路線運動，它們的v-t圖像如圖所示。對這兩質點在0-3秒內(nèi)運動的描述，下列說法正確的A、t=2s時，甲乙兩質點相遇；B、t=1s時，甲乙兩質點相距最遠;t/SV(m?S-12X乙01231甲C、甲質點的加速度比乙近地點的加速度小;D、t=3s時，乙質點在甲質點前面。解答：結合圖像明確兩質點運動情況，分析圖像的幾何關系（如斜率、面積）的物理意義是解題的突破口。2由圖可知，甲的加速度a甲=-3m/s2，做減速運動，乙的加速度2=0.5m/s2，做加速運動，C錯誤；開始時甲的加速度大，甲在前，乙追甲的過程中，t=1s前兩者距離增大，t=1s時，兩者速度相等，甲、乙兩點距離在增大，甲乙兩質點間的距離最大，故B正確；t=2s時分別求出它們間的x=2x2m--x-x22m=-m，甲233x乙=1x2m+2x0.5x22m=3m，這時乙在甲的前面，A錯，D正確，答案BD。規(guī)律：(1)當兩者速度相等時二者間距離最大。當追者位移等于被追者位移與初始間距離之和時，二者相遇。空中拋體相遇問題知識準備：1、自由落體運動：物體只在重力作用下從靜止開始的運動，處理自由落體運動常用的方法有基本公式法、幸無速度法、推論法。2、豎起上拋運動的對稱性：如圖所示，物體以初速度v0豎直上拋，A、B為途中經(jīng)過的任意兩點，C為最高點，不計一切阻力，則：(1)時間的對稱性：物體上升過程中從A-C所用的時間t和下降過程中從C-A所AC用的時間tCA相等，同理tBtBA。(2)速度的對稱性：物體上升過程經(jīng)過A點的速度與下降過程中經(jīng)過A點的速度大小相等，方向相反。處理方法：特點：1、不同起點，相向運動，加速度相同，大小均為g。處理方法：相對運動法、自由落體的物體對豎直上拋的另一物體，可看著是做豎直向下的勻速直線運動，或豎起上拋的物體相對自由落體的另一物體，可看著是做豎直向上的勻速直線運動。雙體空中拋體相遇問題例7：(多選)從地面豎起上拋物體A，同時在某一高度有一物體B自由落下，兩物體在空中相遇時的速率都是v，則A、物體A上拋初速度大小是兩物體相遇時速率的2倍；B、相遇時物體A已上升的高度和物體B已下落的高度相同；C、物體A和物體B落地時間相同；D、物體A和物體B落地速度相等。分析：A、B相遇時的速率均為v，又兩者運動時間相同，根據(jù)平均速度公式得出A豎起上拋的初速度大小為2V，即A豎起上拋的最大高度為B初始離地高度這種特殊情況，其他選項即可判斷。解：相遇時刻為下落的中間時刻，可得v=0^%，即v=2v,A正確；從豎直上拋20運動速度的對稱性可知，A上升的最大高度與B自由下落的高度相同，因此兩物體落地速度相等，D正確；由初速度為零的勻變速直線運動規(guī)律可知，B下落高度與A上升的高度之比為1：3,B錯誤；A運動時間為B運動時間的兩倍，C錯誤。答案：A、D。雙體空中追及、相遇問題的特點（規(guī)律總結）（1）兩個自由落體運動：運動規(guī)律和方向相同，因此必須是一上一下兩個位置釋放，且上面的物體先釋放，下面的物體后釋放（一上一下，上先下后）若以下面物體為參考系，則先釋放的上面的物體相對下面的物體以速度v=g^t做勻速直線運動，其中*為兩物體釋放的時間差。（2）自由落體運動與豎起上拋運動此運動為相向運動，兩物體運動的加速度相同。對于做豎直上拋運動的物體，注意對其運動過程所具有的往返性和對稱性的特點；若兩物體同時開始運動，則上拋物體相對自由下落物體做速度為％的勻速直線運動，h相遇時間t=—，其中％為豎直上拋運動的初速度要，h為開始運動時兩物體間的高度。V0（3）兩個豎直上拋運動：（1）同一點以相同的初速度豎直上拋的兩物體必須在不同時刻拋出，且處于下落階段的物體與處于上升階段的物體相遇；（2）同一點以不同的初速度豎直上拋兩物體，相遇時段不定，但能在空中相遇具有臨界條件：先拋出的球落地時，后拋出的球正好開始拋出。多體空中拋體相遇問題例8、（上海高考單選）小球每隔0.2秒從同一高度拋出，做初速度為6m/s的豎直上拋運動，設它們在空中不相碰。第一個小球在拋出點以上能遇到的小球的數(shù)目是多少？（g=10m/s2）A、3個B、四個。、五個。、六個分析：每個小球的運動情況相同，關鍵字是"空中"，小球落回拋出點時刻，剛好開始拋的小球不能計入，該題只要求出第一個小球從開始上拋到落回拋出點的時間，就可知道此時空中多少個小球，即相遇的小球的個數(shù)。解：小球做初速度為6m/s的豎直上拋運動，到達最高點需要的時間為0.6秒，因而當一個小球回到拋出點時，空中還有5個小球，第一個球在上升過程中不會遇到任何小球，在下降過程中能遇到已拋出的5個小球不，選項C正確，答案：C總結：（1）對于游戲類拋球題，第一個球在上升過程中不會遇到任何小球，相遇只級發(fā)生在其下降過程中；（2）拋出的各個小球的運動情況完全相同，要第一個小球運動的整個時間內(nèi)，計算能拋出多少個球，就會有多少個球與之相遇。多過程組合問題模型解題模板

明確研究對象的運動性質，畫出運動明確研究對象的運動性質，畫出運動過程的草圖或v-t圖根據(jù)加速度的變化將整個運動過程分割成苦干個子過程，確定不同子過程的關聯(lián)量4整體或分段確定正方向，將相應的物理量標注在草圖中k選擇解題途徑和方法，列方程求解，對結果進行討論*IF（1）如圖（a）所示的"初速零，最終停"：先做初速度為零的勻加速運動，加速度為a的勻加速這直線運動，達到最大速度七后，再做加速度為a的勻減速直線運動，直至速度為零。（2）如圖（b）所示"減至零，終返回"：先以初速度為、、加速度為ai的勻減速直線運動，速度減為零后，再返向做加速度為a的勻加速直線運動，直至返回出發(fā)點。2（3）如圖（C）所示的：先加速，再減速、終返回"：先做初速度為零、加速度為的12TOC\o"1-5"\h\zv2v22X—+—m—2a2a12x—a12+a12\o"CurrentDocument"211222

\o"CurrentDocument"at2=at2=2xv2v2\o"CurrentDocument"——=X2a2a12例題9:一質點從A點開始運動，沿直線運動到B點停止，在運動過程中，質點能以。1=6.4m/s2的加速度加速，也能以"1.6m/s2的加速度減速，也可以做勻速運動。若AB間的距離為1.6km,那么質點應該怎樣運動，才能使它的運動時間最短，最短時間是多少？分析：根據(jù)題意，分析質點的運動方式可能是：（1）先做一段時間的勻加速運動，中間經(jīng)歷一段時間的勻速運動，最后做減速運動至B點速度好為零。（2）中間不經(jīng)歷勻速直線運動，先勻加速運動一段時間，后做勻減速運動停在B點?？捎脠D像法求解也可用函數(shù)解析法求解。解：分別作出兩種運動的v-t圖像，如圖所示，考慮到位移相等（圖中有陰影部分的面積應相等），從圖中容易看出中間不經(jīng)歷勻速直線運動的運動方式所用的時間最短。方法1：由圖可看出，t、t兩段時間內(nèi)的平均速度為v=1v，則：122o111X=—vtvt=—vtt=t+t2012022。12攵……(1)

t以因為v(a+a)=aat012122+aat=aatt=^—221112aa(2)將（1）式代入（2）式有：t=2%）ta1a2所以：=50s方法2:由于圖中兩塊陰影部分面積相等，左邊陰影部分三角形和大角形相似，設陰影三解形的底邊長為t,所以有：tx=vo一v（1）xt+1v因為兩陰影部分的面積相等，所以有：.v-v,得t=(t+1)(2)Xv120t+(t+1)—x12—v+2t-(t+1)]v=由（3）得:tt+1(4)fV+-4——2V+Vt一V\t+tJV=X(4)22i2將（2）代入（4）得:(t1+12)V-T——2V+Vt=X2*--'2-V2(尸2)+Vt=x2v0t=(t1+12)V-T——2V+Vt=X2t=X+■V(t+1J>2k.(t+t)="V,V)f+fv2v012\[2v0121寸-10za2)2x\a+a)12—a+a2x(2x(a+a)a+a整個運動過程中所用的時間。所以，所用緊短時間為沒有勻速運動的方式，其最短時間為tmin小結：上述解法推薦了一種解題思路：由位移x和時間t一平均速度，沿此思路可知，在位移x一定的條件下，平均速度越大，運動時間越短；由圖可知，不經(jīng)歷勻速直線運動的運動方式的平均速度最大，因此該運動方式運動時間最短。也可以采用先建立x與t的函數(shù)關系式再利用極值的知識用代數(shù)方法求得，但用此方法較繁瑣，用圖像來分析，較方便，是解運動學常用的方法。勻減速+勻加速運動模型例9:已知一足夠長的粗糙斜面，傾角為們一滑塊以初速度為V]=16m/s從底端A點滑上斜面，經(jīng)2秒滑至B點后以返回A點，其運動過程的v-t圖像，如圖所示。已知上加分析：根據(jù)題意，滑塊先做勻減速速運動直直到速度減為零，再返向做勻加速直線運動，兩過程位移大小相等，總位移之和為零，但加速度在兩個過程不相等。解答：（1）由v-t圖像知AB之間的距離為：XAB=蘭mT6m（2）設滑塊從A點滑到B點過程的加速度大小為a1,從B點返回A過程的加速度大小為a2，由題意a1=4a2根據(jù)上a12=—a12=x,得t=i，a^=4s211222AB，2a彳2因為與t=與t，則滑塊返回到A點時的速度為v=8m/s21222則滑塊在整個運動過程中所用的霎時間為t=ti+12=6s小結：（1）用圖像分析運動學問題能很好地反映出物體的運動規(guī)律，這是圖像法的優(yōu)勢；圖像以其直觀、形象。更優(yōu)于數(shù)學規(guī)律，一些物理的關系通過逆向思維轉化為初速度為零勻加速直線運動。勻加速+勻減速+反向勻加速例10:在光滑水平面上有一靜止的物體，現(xiàn)以水平恒力甲推這一物體，當恒力乙作用時間與恒力乙作用時間相同時，物體恰好回到原處。求：（1）恒力甲作用過程中物體物體的加速度a1與恒力乙作用過程中物體的加速度a2