隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第1頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第2頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)隨機(jī)變量的

數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、應(yīng)用實(shí)例第3頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、數(shù)學(xué)期望的概念1.問題的提出

1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰(shuí)先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念—數(shù)學(xué)期望第4頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

A、B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局、B勝1局時(shí),不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)第5頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局、B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局:AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABBA勝B負(fù)A勝B負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)第6頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A、B最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的第7頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:第8頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員,現(xiàn)需要選拔其中的一名參加運(yùn)動(dòng)會(huì),根據(jù)過去的記錄顯示,二人的技術(shù)水平如下:乙射手甲射手試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?引例2選拔運(yùn)動(dòng)員第9頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解運(yùn)動(dòng)員的水平是通過其平均水平來(lái)衡量的,故甲射手的技術(shù)比較好.因而甲、乙兩射手的平均水平分別為甲射手乙射手第10頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日引例3

加權(quán)平均成績(jī)?yōu)樵撋鏖T課程的算術(shù)平均成績(jī).設(shè)某學(xué)生四年大學(xué)各門功課成績(jī)分別為其學(xué)分分別為,則稱第11頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日顯然算術(shù)平均成績(jī)是加權(quán)平均成績(jī)的一種而為該生的加權(quán)平均成績(jī).,可見加權(quán)平均才充分的體現(xiàn)了特例,即平均值的意義.第12頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日通過上述3個(gè)引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若級(jí)數(shù),則稱絕對(duì)收斂,即級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為EX,即定義3.1設(shè)離散型隨機(jī)變量

X的分布律為第13頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日注1o

EX是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.注2o

級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改變.第14頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,例1(二項(xiàng)分布)設(shè)隨機(jī)變量X~Bn,p,求EX.解則有3.常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望其分布律為第15頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日同時(shí)可得兩點(diǎn)分布B1,p的數(shù)學(xué)期望為p.

np第16頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P的數(shù)學(xué)期望為.設(shè)X

,且其分布律為設(shè)隨機(jī)變量XP(),求EX.第17頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解這是因?yàn)槔?(幾何分布)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則有設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布,求E(X).第18頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)第19頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義3.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為則稱積分的值為隨機(jī)變量X的即數(shù)學(xué)期望,px,記為EX,即第20頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例4(均勻分布)解則有5.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布,因而均勻分布數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).求E(X).第21頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則有解例5

(正態(tài)分布)設(shè)隨機(jī)變量

,求EX.設(shè)

,其分布密度函數(shù)第22頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日所以令因而參數(shù)為正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望.第23頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例6(指數(shù)分布)求EX.解第24頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解例7(伽瑪分布)當(dāng)1時(shí),X服從指數(shù)分布Exp,這時(shí)設(shè)隨機(jī)變量X

,則密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X,求EX.第25頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)第26頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8解但是6.數(shù)學(xué)期望不存在的實(shí)例設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為由于因而其數(shù)學(xué)期望EX不存在.求EX.第27頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(一)一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.問題的提出XE(X)數(shù)學(xué)期望f是連續(xù)函數(shù),f(X)是隨機(jī)變量,如:aX+b,X2等等.f(X)數(shù)學(xué)期望第28頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?方法1

(定義法):

f(X)是隨機(jī)變量,按照數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算Ef(X).2.一維隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算關(guān)鍵:由X的分布求出f(X)的分布.見2.3節(jié)的相關(guān)內(nèi)容難點(diǎn):一般f(X)形式比較復(fù)雜的,很難求出其分布.第29頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日方法2(公式法):定理3.1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,Yf(X),則

當(dāng)X為離散型時(shí),P(Xxk)pk,(k

1,2,…);當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)為p(x).求E[f(X)]時(shí),只需知道X的分布即可.第30頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

證現(xiàn)在只證明定理的特殊情形:設(shè)X的密度函數(shù)為函數(shù)f單調(diào)連續(xù),x

f1y為其反函數(shù),并且可導(dǎo),同時(shí)y,則第31頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日即第32頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例9設(shè)某種商品的需求量X是服從[10,30]上的均勻分布的隨機(jī)變量,而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間[10,30]中的某一整數(shù),商店每銷售一單位商品可獲利500元.若供大于求則削價(jià)處理,每處理1單位商品虧損100元;若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每一單位商品僅獲利300元.為使商品所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元,試確定最少進(jìn)貨量.(考研試題)第33頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤(rùn)為因此期望利潤(rùn)為第34頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日因此即最少進(jìn)貨量為21單.第35頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)于二維隨機(jī)變量而言,其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望計(jì)算方法可以由類似于定理3.1得到.

1.二維離散型情形(二)二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X,Y為二維離散型隨機(jī)變量,ZfX,Y為二元函數(shù),如果EZ存在,其中X,Y的聯(lián)合概率分布為pij

.第36頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.二維連續(xù)型情形設(shè)X,Y為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,ZfX,Y為二元連續(xù)函數(shù),如果EZ存在,則其中X,Y的聯(lián)合概率密度為px,y.第37頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例

10設(shè)X,Y的分布律為解

X的分布律為求EX,EY,第38頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日因?yàn)?X,Y)的分布律為Y的分布律為第39頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日Y/X的分布律為計(jì)算可得第40頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日5.第41頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例11設(shè)XN(0,1),YN(0,1),X

與Y相互獨(dú)立,解(作極坐標(biāo)變換)第42頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)3.1設(shè)C是常數(shù),則有ECC.證性質(zhì)3.2設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證性質(zhì)3.3設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有第43頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證推廣第44頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)3.4

設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有注

連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似.上述證明只證了一類.證第45頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例12解旅客有9個(gè)到達(dá)一個(gè)車站車站可以下車.如沒有旅客下車就不停車,以X表示停車的次數(shù),求EX(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立).引入隨機(jī)變量Xi,一民航送客車載有25位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,第46頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第47頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解例13且X,Y,Z相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量W2X+3Y4Z1

的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量X~N0,1,Y~U0,1,

Z~B5,0.5,第48頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、應(yīng)用實(shí)例廠家的銷售策略按規(guī)定:出售的設(shè)備在售出的一年內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若出售一臺(tái)設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元.求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利Y的數(shù)學(xué)期望.解依題設(shè),有某設(shè)備壽命X(以年計(jì))服從的指數(shù)分布.第49頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日壽命不超過1年的概率＝出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)調(diào)換的概率壽命超過1年的概率＝不需調(diào)換的概率因此出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利Y的分布律為.第50頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤(rùn)

某一彩票中心發(fā)行彩票10萬(wàn)張,每張2元.設(shè)頭等獎(jiǎng)1個(gè),獎(jiǎng)金1萬(wàn)元,二等獎(jiǎng)2個(gè),獎(jiǎng)金各5千元;三等獎(jiǎng)10個(gè),獎(jiǎng)金各1千元;四等獎(jiǎng)100個(gè),獎(jiǎng)金各1百元;五等獎(jiǎng)1000個(gè),獎(jiǎng)金各10元.每張彩票的成本費(fèi)為0.3元,請(qǐng)計(jì)算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤(rùn).解設(shè)每張彩票中獎(jiǎng)的數(shù)額為隨機(jī)變量X,則第51頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日每張彩票平均能得到獎(jiǎng)金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬(wàn)張彩票的創(chuàng)收利潤(rùn)為0.5(元).每張彩票平均可賺20.50.31.2(元).第52頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如何確定投資決策方向?

某人現(xiàn)有10萬(wàn)元現(xiàn)金,想投資于某項(xiàng)目,為期一年.欲估成功的機(jī)會(huì)為30%,并可獲利8萬(wàn)元,

失敗的機(jī)會(huì)為70%,將損失2萬(wàn)元.若存入銀行,同期間的利率為5%,哪一種方案可使投資的效益較大?解設(shè)X為投資利潤(rùn),則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇投資.第53頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日內(nèi)容小結(jié)數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)第54頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日再見第55頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日求證:隨機(jī)變量X沒有數(shù)學(xué)期望.證由定義,數(shù)學(xué)期望應(yīng)為由微積分學(xué)可知,右邊的級(jí)數(shù)發(fā)散.因此,隨機(jī)變量X沒有數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為備用題

例8-1第56頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解由于例8-2(柯西分布)

設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布,求EX.因X服從柯西分布,則其密度函數(shù)為因而其數(shù)學(xué)期望E