2022-2023學(xué)年廣西南寧市高二年級下冊學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣西南寧市高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．7【答案】B【分析】利用兩點的斜率公式求解.【詳解】因為，，所以線的斜率為.故選：B.2．已知空間四邊形ABCD中，，，，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，則（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算即可求出結(jié)果．【詳解】如圖，連接，則，故選：B．3．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.4．已知在等差數(shù)列中，，，則（

）A．12 B．10 C．6 D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，即可求解作答.【詳解】在等差數(shù)列中，，得，公差，所以.故選：C5．點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.6．已知平面向量，滿足，，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量垂直得數(shù)量積，再由向量的數(shù)量積的定義求得夾角．【詳解】∵，∴，∴，∴，，∴．故選：C．【點睛】本題考查求向量的夾角，考查平面向量數(shù)量積的定義，解題關(guān)鍵是掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系．7．如圖，正方形的邊長為5，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形開始，連續(xù)10個正方形的面積之和等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將正方形面積按作法次序排成一列得數(shù)列，再確定該數(shù)列為等比數(shù)列，借助等比數(shù)列前n項和公式求解作答.【詳解】依題意，將正方形面積按作法次序排成一列得數(shù)列，，因為后一個正方形邊長是相鄰前一個正方形邊長的，因此，即數(shù)列是等比數(shù)列，公比，所以前10個正方形的面積之和.故選：A8．已知圓，過直線在第一象限內(nèi)一動點P作圓O的兩條切線，切點分別是A，B，直線AB與兩坐標軸分別交于M，N兩點，則面積的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】根據(jù)圓的切線方程可以求出直線AB的方程，最后利用基本不等式進行求解即可.【詳解】設(shè)，則，設(shè)，，當時，，所以切線方程為：，而，化簡為：，顯然當或時也適合，所以切線方程為，同理，將P的坐標代入上述直線方程，則有，于是直線AB的方程為，因此，，的面積為，當且僅當，即時取等號.所以面積的最小值為1.故選：B二、多選題9．下列說法錯誤的是（

）A．直線必過定點B．過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為【答案】BCD【分析】A選項由含參直線方程過定點的求法計算即可；B選項沒有考慮直線過原點的情況，故錯誤；C選項，由傾斜角與斜率的關(guān)系即可判斷；D選項計算出端點值后，由線段MN與y軸相交判斷斜率的范圍應(yīng)取端點值兩側(cè)，故錯誤.【詳解】A選項，直線方程變形為，令，解得，即原直線必過定點，A正確；B選項，當直線l過原點時，也滿足在兩坐標軸上的截距相等，此時直線l的方程為，B不正確；C選項，當時，無意義，故C不正確；D選項，直線經(jīng)過定點，當直線經(jīng)過M時，斜率為，當直線經(jīng)過N點時，斜率為，由于線段MN與y軸相交，故實數(shù)k的取值范圍為或，D不正確.故選：BCD.10．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列C． D．數(shù)列是等比數(shù)列【答案】AD【解析】利用等比數(shù)列通項公式求解，，進而求得，，，從而判斷各選項.【詳解】由等比數(shù)列通項公式得，解得，或，又公比為整數(shù)，故，，故A選項正確；，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故B選項錯誤；，故，故C選項錯誤；，故為等比數(shù)列，即D選項正確；故選：AD.11．如圖，在正方體中，為的中點，為的中點，下列判斷正確的是（

）A．平面 B．平面平面C．異面直線與所成角的余弦值為 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，設(shè)出正方體的棱長，利用坐標法計算判斷ABC；利用等體積法求出體積判斷D作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，令正方體的棱長為1，則，，，，，，，對于A，，設(shè)是平面的法向量，則，令，得，因此，與不垂直，所以與平面不平行，A錯誤；對于B，，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，又，，設(shè)是平面的法向量，則，令，得，于是，即，所以平面平面，B正確；對于C，，異面直線與所成角的余弦值為：，C錯誤；對于D，，則有，D正確.故選：BD12．一般地，我們把離心率為的橢圓稱為“黃金橢圓”.對于下列說法正確的是（

）A．橢圓是黃金橢圓B．在中，，，且點在以，為焦點的黃金橢圓上，則的周長為C．過黃金橢圓的右焦點作垂直于長軸的垂線，交橢圓于，兩點，則D．設(shè)，是黃金橢圓的兩個焦點，則橢圓上滿足的點不存在【答案】BCD【分析】求出橢圓離心率判斷A；求出焦點的周長判斷B；借助方程組求出弦長判斷C；求出與0的關(guān)系判斷D作答.【詳解】對于A，橢圓的長半軸長，半焦距，離心率，A錯誤；對于B，黃金橢圓半焦距，則長半軸長，因此焦點的周長為，B正確；對于C，由得，則，C正確；對于D，黃金橢圓焦距，，當且僅當時取等號，則，即不是直角，因此黃金橢圓上滿足的點不存在，D正確.故選：BCD三、填空題13．空間中點關(guān)于軸的對稱點,點,則,連線的長度為___________.【答案】【分析】寫出點關(guān)于軸的對稱點,再利用兩點距離公式求解.【詳解】由題意可得,則,故答案為:.【點睛】本題考查了空間中的點對稱以及兩點間的距離問題,屬于簡單題.14．已知點是橢圓上的一點，且位于第一象限內(nèi)，以點及焦點、為頂點的三角形的面積等于1，則點的坐標為______.【答案】【分析】求出橢圓的焦距，利用給定的面積求出點P的縱坐標即可作答.【詳解】橢圓的焦點，，設(shè)點，依題意，，又，于是，所以點的坐標為.故答案為：15．圓與圓的公共弦的長為_________．【答案】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長.【詳解】將圓與圓的方程作差可得，所以，兩圓相交弦所在直線的方程為，圓的圓心為原點，半徑為，原點到直線的距離為，所以，兩圓的公共弦長為.故答案為：.16．我國的《洛書》中記載著世界上最古老的幻方：將1，2，…，9填入方格內(nèi)使三行、三列、兩條對角線的三個數(shù)之和都等于15，如圖所示.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形叫做階幻方.記階幻方的對角線上數(shù)的和為，例如，，，……，那么______.【答案】.【分析】首先根據(jù)題意得到，再利用等差數(shù)列求和即可.【詳解】由題知：，，，……，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和，熟記公式為解題關(guān)鍵，屬于簡單題.四、解答題17．如圖，已知的頂點為，，，求：（1）AB邊所在直線的方程；（2）AB邊上的高線CH所在直線的方程.【答案】（1）AB邊所在直線的方程是；（2）.【分析】（1）由AB的坐標可得斜率，由點斜式方程可寫出方程，化為一般式即可；（2）由垂直關(guān)系可得高線的斜率，由高線過點C，同（1）可得.【詳解】（1），，由點斜式方程可得，化為一般式可得；（2）由（1）可知，故AB邊上的高線CH所在直線的斜率為，又AB邊上的高線CH所在直線過點，所以方程為，化為一般式可得.【點睛】本題考查直線一般式方程的求解，從點斜式出發(fā)是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.18．已知在平行六面體中，，，且.(1)求的長；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）用空間的一個基底表示向量，再利用空間向量數(shù)量積的運算律求解作答.（2）利用（1）中信息，結(jié)合空間向量的夾角公式計算作答.【詳解】（1）在平行六面體中，為空間的一個基底，因為，，且，則，，所以.（2）由（1）知，，則，又，所以向量與夾角的余弦值.19．北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪.某學(xué)校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.如圖，航天器按順時針方向運行的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸，為頂點的拋物線的一部分（從點到點）.已知觀測點A的坐標，當航天器與點A距離為4時，指揮中心向航天器發(fā)出變軌指令.(1)求航天器變軌時點的坐標；(2)求航天器降落點與觀測點A之間的距離.【答案】(1)(2)3【分析】（1）設(shè)出點，利用的距離和橢圓方程可求出點的坐標；（2）根據(jù)拋物線經(jīng)過的點求出方程，解出降落點的坐標，可得答案.【詳解】（1）設(shè)，由題意，，即，又，聯(lián)立解得或（舍），當時，，故的坐標為.（2）由題意設(shè)拋物線的方程為，因為拋物線經(jīng)過點，，所以，，解得，即；令可得或（舍），即；所以，所以航天器降落點與觀測點A之間的距離為3.20．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=2n2+n,,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,.（1）求an和bn的通項公式；（2）求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.【答案】（1），bn=2n-1,

（2）【詳解】試題分析：第一問利用數(shù)列的項與和的關(guān)系，，先求出當時的關(guān)系式，再去驗證時是否成立，從而確定出最后的結(jié)果，將代入題中所給的式子，化簡求得，所以數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項積所構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯位相減法求得其和．試題解析：（1）由Sn=2n2+n，可得當時，當時，符合上式，所以由an=4log2bn＋3可得=4log2bn＋3，解得．（2）∴①②①-②可得∴．【解析】求數(shù)列的通項公式，錯位相減法求和．【思路點睛】該題考查的是數(shù)列的綜合問題，在求數(shù)列的通項公式時，需要應(yīng)用數(shù)列的項與和的關(guān)系，在求解的過程中，需要對時對的式子是否成立，求數(shù)列的通項公式時需要對指對式的互化要熟練掌握，第二問，在對數(shù)列進行求和時，應(yīng)用錯位相減法求和，而應(yīng)用錯位相減法對數(shù)列求和的步驟是比較關(guān)鍵的，需要加強．21．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量可求線面角的正弦值.【詳解】（1）取的中點為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因為側(cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因為，故平面，因為平面，故，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因為，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.22．已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方