2022-2023學(xué)年浙江省嘉興八校聯(lián)盟高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省嘉興八校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線l的斜率為，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率的定義求解.【詳解】由定義：斜率，其中為直線l的傾斜角，，又；故選：C.2．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的公差為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)公差的定義求解.【詳解】由題意：公差；故選：B.3．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由雙曲線的定義知，，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半焦距為c，則由題意可知，，即，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C．4．?dāng)?shù)列中，，則（

）A． B．9 C． D．13【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別令，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，令，則，令，則.故選:D5．若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．3 B．5 C．3或 D．5或【答案】C【分析】利用圓與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】解：因?yàn)閳A與圓外切，所以，解得或，故選：C6．若直線與圓相交于點(diǎn)P，Q，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，求圓心到直線的距離，結(jié)合直線與圓相交弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】直線與圓相交于點(diǎn)P，Q，則圓心到直線的距離為,所以.故選：D.7．拋物線上一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出焦點(diǎn)F坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)P，F(xiàn)，A三點(diǎn)共線時(shí)所求距離之和最小.【詳解】對(duì)于，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，顯然當(dāng)P，F(xiàn)，A三點(diǎn)共線時(shí)，并且P在A，F(xiàn)之間時(shí)最小，如下圖：的最小值=；故選：B.8．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，兩平行直線分別過(guò)交M于A，B，C，D四點(diǎn)，且，則M的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，由橢圓定義得，由橢圓的對(duì)稱性可知，連接，則．又，利用勾股定理可得答案.【詳解】設(shè)，則，由橢圓定義得，由橢圓的對(duì)稱性可知，連接，則．又，所以，在中，，所以，解得，所以，中，，所以，得，所以M的離心率，故選：D.二、多選題9．下列各結(jié)論，正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，則B．直線與直線之間的距離為C．直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小為1D．點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等【答案】ACD【分析】由兩點(diǎn)間、點(diǎn)到直線，平行線的距離公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則，故A正確；對(duì)于B，直線與直線之間的距離為，故B不正確；對(duì)于C，直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小為原點(diǎn)到直線的距離即，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為與點(diǎn)到直線的距離為.所以點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，故D正確.故選：ACD.10．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，分別求得，得到數(shù)列構(gòu)成以為周期的周期數(shù)列，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，歸納可得數(shù)列構(gòu)成以為周期的周期數(shù)列，所以，A正確，B不正確；又由，所以C不正確；因?yàn)?，所以，所以D正確.故選：AD.11．己知直線和圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．直線l與圓相切時(shí)，C．若直線的傾斜角為，則直線l與圓相交所得弦長(zhǎng)為6D．若直線l與圓相交所得弦AB的長(zhǎng)為，則該弦AB在x軸上的投影長(zhǎng)為3【答案】BCD【分析】對(duì)A，通過(guò)將直線整理為，則得到，解出即可，對(duì)B，利用圓心到直線的距離等于半徑即可得到方程，解出即可，對(duì)C，求出代入直線，利用弦長(zhǎng)公式即可，對(duì)D，根據(jù)弦長(zhǎng)求出，得到直線傾斜角，即可求出答案.【詳解】對(duì)A，直線的方程化為：，則，解得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由題得圓心到直線的距離等于半徑，而圓的半徑為，則有，化簡(jiǎn)得，解得，故B正確；對(duì)C，若直線的傾斜角為，則，解得，則直線的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，則直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)D，若圓心到直線的距離為，根據(jù)弦長(zhǎng)，則有，則，則有，化簡(jiǎn)得，解得，則，設(shè)直線的傾斜角為，，且，則，所以該弦在軸上的投影長(zhǎng)為，故D正確.故選：BCD.12．設(shè)點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】BC【分析】設(shè)，利用焦半徑公式求出，進(jìn)而求出，并結(jié)合，求出，即可判斷A；求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出向量，的坐標(biāo)，即可判斷B；已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，且，利用斜率公式可得，即可判斷C；由，求出的面積，即可判斷D.【詳解】如圖，設(shè)，，，，又，，即，解得：；故選項(xiàng)A不正確；由上述分析可知，又容易知，則，，故成立；故選項(xiàng)B正確；；故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D不正確；故選：BC．三、填空題13．圓的方程為，則該圓的半徑為_(kāi)___________．【答案】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出圓的半徑.【詳解】由可得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑.故答案為：14．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則____________．【答案】3【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式求解.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，即，故答案?3.15．已知分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)___________．【答案】29【分析】根據(jù)雙曲線方程及已知有在雙曲線的下支上，應(yīng)用雙曲線定義及，即可求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，故在雙曲線的下支上，如下圖示，根據(jù)雙曲線定義：，所以.故答案為：16．在平面內(nèi)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是______．【答案】【分析】求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圓，得圓心坐標(biāo)，半徑為，求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可得.如圖所示，可得爬到的最短路程為.故答案為：四、解答題17．已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：.（1）當(dāng)l1//l2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）-1；（2）.【分析】（1）根據(jù)兩直線平行的位置關(guān)系建立關(guān)系式求解參數(shù)即可；（2）根據(jù)兩直線垂直的位置關(guān)系建立關(guān)系式求解參數(shù)即可.【詳解】解：由題意得：（1）(方法1)當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，兩直線可化為l1：，l2：時(shí)，解得a＝-1綜上可知，當(dāng)a＝-1時(shí)，l1//l2(方法2)∵l1//l2∴?解得a＝－1故當(dāng)a＝－1時(shí)，l1//l2.（2）(方法1)當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，l1：，l2：由，得(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得18．已知圓，(1)若，直線QA、QB分別與圓C相切于A，B兩點(diǎn)，求這兩條切線的方程；(2)若，過(guò)點(diǎn)Q且斜率為的直線交圓C于M，N兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)或x=1(2)【分析】(1)根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線的距離等于半徑即可求解；(2)利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】（1）由題意，過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線為，與圓M相切，此時(shí)，切線方程為，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線不與x軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為，即，由

解得，此時(shí)切線方程為．

綜上所述，這兩條切線的方程為或.（2）因?yàn)橹本€過(guò)且斜率為，則直線方程為圓心C到直線的距離為,

則,

.19．如圖1，太陽(yáng)灶是一種將太陽(yáng)光反射至一點(diǎn)用來(lái)加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分（如圖2），盛水或食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處，該容器由6根等長(zhǎng)的鐵筋焊接在一起的架子支撐（圖中F點(diǎn)為放置容器處，其余6個(gè)焊點(diǎn)在鏡口圓上）．已知鏡口圓的直徑為，鏡深．(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若把盛水或食物的容器近似地看作點(diǎn)，試求支撐容器的架子所用鐵筋的總長(zhǎng)度（單位）．【答案】(1)，(2)架子所用鋼筋總長(zhǎng)度為【分析】（1）先建立直角坐標(biāo)系，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線方程進(jìn)而求得的值，從而可以確定拋物線的方程和焦點(diǎn)的位置.（2）根據(jù)盛水或食物的容器在焦點(diǎn)處，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得每根鐵筋的長(zhǎng)度.【詳解】（1）如圖，在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，x軸垂直于鏡口直徑．由已知，得A點(diǎn)坐標(biāo)是，設(shè)拋物線方程為，則，解得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是.（2）因?yàn)槭⑺娜萜髟诮裹c(diǎn)處，所以A、F兩點(diǎn)間的距離即為每根鐵筋長(zhǎng)，所以每根鐵筋長(zhǎng)為，

所以架子所用鋼筋總長(zhǎng)度為.20．已知是等差數(shù)列，，其前5項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)；(2)求前項(xiàng)和的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)的公差為，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合等差設(shè)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)直接求解即可.【詳解】（1）為等差數(shù)列，，，.又，即，解得，故，即（2）因?yàn)?，隨著的增大而減小，且，，故當(dāng)或時(shí)，有最大值.21．已知點(diǎn)在拋物線上．過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)M）．(1)若的傾斜角為，求弦長(zhǎng)；(2)試探究直線AM與BM的斜率之積是否為定值：若為定值，求出該定值，若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得拋物線的方程，然后聯(lián)立拋物線與直線方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以．

因?yàn)椋?/p>

所以，得，設(shè)則，所以（2）假設(shè)存在該定值．若直線軸，則此時(shí)所以．

解法一：若直線l斜率存在，設(shè)為，且，則由可得，所以

所以為定值．

解法二：若直線l斜率存在，設(shè)為，且，則由，可得，所以

所以為定值．22．如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由離心率及聯(lián)立方程求解即可；（2）設(shè)的直線方程為：，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及可利用向量數(shù)量積為0化簡(jiǎn)求出，據(jù)此可得三角形的面積，化簡(jiǎn)后換元利用均值不等式求最值即可.【詳解】（1