2022-2023學(xué)年湖南省湘潭市兩校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末線上聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省湘潭市兩校高二上學(xué)期期末線上聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知在空間四邊形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得到G為CD的中點(diǎn)，再利用平行四邊形法則得到，最后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋蔊為CD的中點(diǎn)，如圖，由平行四邊形法則可得，所以.故選：A.2．若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即，則；當(dāng)時(shí)，即，則，所以直線的傾斜角為或.故選：C.3．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，則邊上的高所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出邊上的高所在的直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.故選：B.4．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，即，則，則，即可得出雙曲線的離心率為.【詳解】雙曲線（，）的漸近線的方程為，雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，根據(jù)雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，則，則，，則該雙曲線的離心率為，故選：D.5．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)及勾股定理求得，再根據(jù)等面積法求出，再利用勾股定理求出，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，則且為的中點(diǎn)，圓，化為，則圓心，半徑，，則，由，得，所以，所以.故選：C.6．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線分別交于M，N兩點(diǎn)，A為雙曲線的右頂點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，且△AMN為正三角形，則雙曲線的方程為A． B．C． D．【答案】B【分析】由雙曲線的離心率為2求得其漸近線方程，再由拋物線的準(zhǔn)線與漸近線方程求得交點(diǎn)M,N坐標(biāo)，利用△AMN為正三角形列方程即可求得，從而求得雙曲線的方程．【詳解】由雙曲線的離心率為2可得：，所以所以雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：，又拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為：，由得：或，所以,A為雙曲線的右頂點(diǎn)，且△AMN為正三角形，則：，解得：所以，所以雙曲線的方程為．故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力，屬于中檔題．7．《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，P為的中點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后得出和的坐標(biāo)，即可得出答案.【詳解】如圖，由已知可得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.所以，，所以.故選：A.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點(diǎn)為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M，點(diǎn)N在圓E上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知及拋物線的定義，可求，進(jìn)而得拋物線的方程，可求，，的坐標(biāo)，直線的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設(shè)的坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可得所求范圍．【詳解】解：由題意，設(shè)，所以，解得，所以拋物線的方程為，，，，所以直線的方程為，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以，解得，即，圓的方程為，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為，則，根據(jù)，解得，由，解得，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是：首先求出圓的方程為，然后利用直線OM與圓E切于點(diǎn)M，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，引入圓的參數(shù)方程表示N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式，可得所求范圍．.二、多選題9．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，平面EFG，則（

）A．與EF所成角為 B．點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)C．三棱錐的體積為 D．平面EFG截正方體所得截面的面積為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可判斷選項(xiàng)；B選項(xiàng)，設(shè)平面EFG的法向量為，因平面EFG，則；C選項(xiàng)，因平面EFG，則；D選項(xiàng)，由平面在兩平行平面上的交線互相平行可做出截面為正六邊形.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.A選項(xiàng)，，則直線與EF所成角為，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)平面EFG的法向量為，則，令，則，，∴．設(shè)，又，則因平面EFG，則，即，即，則點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，故B正確；C選項(xiàng)，因平面EFG，則點(diǎn)B到平面EFG距離等于點(diǎn)P到平面EFG距離.則，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點(diǎn)Q，的中點(diǎn)H，的中點(diǎn)K，連接GQ，QH，HK，KE，則過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，截面為正六邊形EFGQHK，邊長(zhǎng)為，則正六邊形EFGQHK的面積為，即截面面積為，故D正確．故選：ABD．10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若為上一點(diǎn)，且，則（

）A．的虛軸長(zhǎng)為2 B．的值可能為5C．的離心率為3 D．的值可能為9【答案】BCD【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)式確定，可判斷A，C是否正確，由雙曲線第一定義可判斷B，D正確性.【詳解】由的標(biāo)準(zhǔn)式可確定：，故C正確，A錯(cuò)誤；由雙曲線第一定義可知，，解得或9，，，所以BD正確.故選：BCD11．已知，點(diǎn)P是直線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則（

）A．關(guān)于直線l的對(duì)稱圓方程B．若Q是上動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ的最大值為C．線段AB的最小值是D．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【分析】根據(jù)圓與切線的相關(guān)計(jì)算對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的圓心關(guān)于直線l的對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得：，則關(guān)于直線l的對(duì)稱圓方程，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：Q是上動(dòng)點(diǎn)，P是直線上動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑，即，無(wú)最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)題意分析，若線段AB最小，則點(diǎn)P到圓心的距離最小，則此時(shí)的切線長(zhǎng)為，此時(shí)線段AB的長(zhǎng)度的為：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，則，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確；故選：ACD.12．如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M，過(guò)A，B，M分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、、N．則有（

）A．以AB為直徑的圓與相切于點(diǎn)N B．C． D．的最小值為8【答案】ABC【分析】由于可判斷A，設(shè)l的方程為與聯(lián)立可得即可判斷B，根據(jù)焦半徑公式及均值不等式可判斷C，D．【詳解】，說(shuō)明N在以AB為直徑的圓上，又，所以A正確；設(shè)l的方程為與聯(lián)立可得，所以，，，，，則，所以，所以，B正確；，C正確；，則，中，，，由射影定理可得，則當(dāng)且儀當(dāng)時(shí)取到，而，D錯(cuò)誤．故選：ABC三、填空題13．過(guò)四點(diǎn)、、、中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為______（寫出一個(gè)即可）.【答案】（答案不唯一）【分析】利用圓的一般式方程求過(guò)三點(diǎn)的圓.【詳解】過(guò)，，時(shí)，設(shè)圓的方程為，則，解得，圓的方程是：，即；同理可得：過(guò)、、時(shí)，圓的方程是：；過(guò)，，時(shí)，圓的方程是：；過(guò)，，時(shí)，圓的方程是：.故答案為：.（、、、寫其中一個(gè)即可）14．如圖，正方體ABCA1B1C1D1中，E、F分別為棱C1D1，A1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AF所成角的余弦值是_________．【答案】【分析】分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成角的余弦值.【詳解】分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A（2，0，0），F(xiàn)（1，0，2），D（0，0，0），E（0，1，2），∴=（，0，2），=（0，1，2），設(shè)，的夾角為，則異面直線AF與DE所成角的余弦值是．故答案為：.15．在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知O是滑桿上的一個(gè)定點(diǎn)，D可以在滑桿上自由移動(dòng)，線段，點(diǎn)E滿足，則點(diǎn)E所形成的橢圓的離心率為____________．【答案】##【分析】根據(jù)給定條件，建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合幾何關(guān)系求出橢圓方程即可求解作答.【詳解】由，得，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，過(guò)E作于C，交OA的延長(zhǎng)線于P，過(guò)A作于B，有軸，而，即，則點(diǎn)B是的中點(diǎn)，且有，因此，即，設(shè)，有，于是，整理得點(diǎn)E的軌跡方程為，該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，所以點(diǎn)E所形成的橢圓的離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解軌跡方程問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡(jiǎn)整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直線的方程為________．【答案】【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，，，則由拋物線定義知，再分析可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在，之間時(shí)取得最小值，再設(shè)方程為，聯(lián)立拋物線利用韋達(dá)定理結(jié)合的橫坐標(biāo)為4即可求得直線方程.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，，，垂足分別為，，．則，，，又點(diǎn)到直線的距離為，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在，之間時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)，故設(shè)方程為，代入，得，，則．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，解得，直線的方程為，此時(shí)點(diǎn)在，之間，成立．所以當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直線的方程為故答案為：四、解答題17．在直三棱柱中，已知為的中點(diǎn)，.(1)證明：；(2)若底面是等腰直角三角形，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再證明平面，從而.（2）利用空間向量，只需求即可.【詳解】（1）連接，如圖所示.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以.又為直三棱柱，故平面，.因?yàn)槠矫?，所?又平面，所以平面，又平面，所以.又平面，所以平面，又平面，所以.（2）因?yàn)椋瑒t，又為直三棱柱，故平面，又平面，所以，故兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)，則，，因?yàn)椋?，解得，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，解得，則，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.18．如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，然后利用線面垂直證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦值【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?又，所以.又，所以為正三角形，所以.因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)相交，所以平面.又平面，所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.由題可知，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則.19．已知命題p：，；命題q：方程表示雙曲線．⑴若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；⑵若命題“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）或【分析】（1）若命題p為真命題時(shí)，，進(jìn)而確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）因?yàn)楸硎倦p曲線的等價(jià)條件是，解不等式可求得m的取值范圍；若命題“”為真命題，“”為假命題，則p,q一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題，分兩種情況，可求得答案．【詳解】解：（1）對(duì)于任意，，

若命題p為真命題，則，所以；

（2）若命題q為真命題，則，所以，

因?yàn)槊}“”為真命題，“”為假命題，

所以p，q一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題，

當(dāng)命題p為真命題，命題q為假命題時(shí)，，則，

當(dāng)命題p為假命題，命題q為真命題時(shí)，，則，

綜上，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)復(fù)合命題的真假來(lái)確定參數(shù)m的取值范圍，主要用到了分類討論的思想．20．已知圓C的圓心在直線上，且與x軸相交于點(diǎn)M（2，0）和N（4，0）．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，試問(wèn)符合要求的直線有幾條？并求出相應(yīng)直線l的方程．【答案】(1);(2)有2條，分別為、?！痉治觥浚?）由題設(shè)易知圓心在直線上，聯(lián)立求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求半徑，即可得圓的方程.（2）判斷的位置，討論直線l斜率，結(jié)合圓的方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求參數(shù)，即可判斷直線的條數(shù)及對(duì)應(yīng)方程.【詳解】（1）由題設(shè)，中點(diǎn)為，則圓心在直線上，聯(lián)立，可得圓心為，∴圓的半徑為，綜上，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：.（2）∵，∴在圓外，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，，顯然符合題設(shè)；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立圓C可得：，若，，則，，∴，可得：.∴此時(shí)，直線l：，即.綜上，符合條件的直線有2條，分別為、.21．已知橢圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，中的兩點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）三個(gè)點(diǎn)兩兩組合運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的方程；（2）分類討論①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，檢驗(yàn)是否為等腰直角三角形；②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)、，由等腰三角形斜邊中線等于斜邊的一半列式，代入求解即可.【詳解】（1）若經(jīng)過(guò)，，則，且，此時(shí)無(wú)解；若經(jīng)過(guò)，，則，且，此時(shí)，與橢圓這一條件不符，不合題意；若經(jīng)過(guò)，，則，，此時(shí)，橢圓的方程為（2）假設(shè)在直線上存在點(diǎn)，使得是以為斜邊的等腰直角三角形．①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，只有當(dāng)點(diǎn)為，才滿足以