2023屆浙江省百校聯(lián)盟高三年級上冊學(xué)期11月模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆浙江省百校聯(lián)盟高三上學(xué)期11月模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得集合再求交集即可【詳解】由題，，故故選：D2．已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用的周期性可求，再利用復(fù)數(shù)的除法可求，求出的模后可求.【詳解】因為（），，所以，所以，而，故選B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、乘方和復(fù)數(shù)的模，注意計算復(fù)數(shù)和的時候需利用的周期性，該問題屬于中檔題.3．如圖所示，在由個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形中，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標系，設(shè)，，由余弦定理求得后，再由余弦定理得，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，進而可得點，由即可得解.【詳解】如圖建立直角坐標系，由題意易知≌，則，，不妨設(shè)，，則，，所以，，在中，由余弦定理可得，所以解得，，則即，所以，所以點即，所以，設(shè)，則，解得，所以.故選：D.【點睛】本題考查了余弦定理和平面向量的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.4．我國南北朝名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，預(yù)接筑為方錐，問：接筑高幾何？”大致意思是：有一個正四棱臺的上?下底面邊長分別為一丈?三丈，高為二丈五尺，現(xiàn)從上面補上一段，使之成為正四棱錐，則所補的小四棱錐的高是多少？那么，此高和原四棱臺的體積分別是(注：1丈等于10尺)（

）A．12.5尺?10833立方尺 B．12.5尺?32500立方尺C．3.125尺?10833立方尺 D．3.125尺?32500立方尺【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高，再計算它的體積．【詳解】解：如圖所示，正四棱錐的下底邊長為三丈，即尺，高二丈五，即尺；截去一段后，得正四棱臺，且上底邊長為尺，所以，解得，所以該正四棱臺的體積是（立方尺）．故選：A．5．定義：，當(dāng)時，稱這個數(shù)為波動數(shù)，由組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，波動數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷出由組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有120種，列舉出波動數(shù)有個，即可求出波動數(shù)的概率.【詳解】由組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)一共有種.而構(gòu)成波動數(shù)，需滿足，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16個.所以波動數(shù)的概率為.故選：B.6．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的圖象與y軸的交點為M（0，1），與x軸正半軸最靠近y軸的交點為N（3，0），y軸右側(cè)的第一個最高點與第一個最低點分別為B，C．若△OBC的面積為（其中O為坐標原點），則函數(shù)f（x）的最小正周期為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)△OBC的面積可求得A，結(jié)合題中已知根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求得解析式，進而求得最小正周期.【詳解】如下圖，，，，，∴，，∴，，，，∴，故選：D．7．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出和的大小，從而可得出的大小關(guān)系，將兩邊同時取對數(shù)，然后作差，從而可得出的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】解：，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，即，所以，由，得，由，得，，因為，所以，所以，所以，即，所以，綜上所述.故選：A.【點睛】本題考查了比較大小的問題，考查了同構(gòu)的思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，有一定的難度.8．如圖，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且平面與平面互相垂直.若多面體的體積為，則該多面體外接球表面積的最小值為A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)出正方形邊長和矩形的高，根據(jù)體積公式，求得等量關(guān)系；再找到球心，求得半徑，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，連接交于點，過作//交于點，交于，連接.因為四邊形是正方形，故可得，又因為平面平面，且交線為，又平面，故平面，不妨設(shè)，故可得多面體的體積；則，解得；又容易知多面體外接球的球心在四邊形外心的垂線上，且為的中點，設(shè)外接球半徑為，則；將代入可得，不妨令，則，則，容易知是關(guān)于的單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)時，，故可得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減.故.則外接球表面積的最小值.故選：B.【點睛】本題考查棱錐體積的計算、面面垂直的性質(zhì)、外接球表面積的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬壓軸題.二、多選題9．如圖，正方體的棱長為4，則下列命題正確的是（）A．兩條異面直線和所成的角為45°B．若分別是的中點，過三點的平面與正方體的下底面相交于直線，且，則C．若平面，則平面截此正方體所得截面面積最大值為D．若用一張正方形的紙把此正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是128【答案】BCD【分析】A選項，找到異面直線所成的角，并求出角度；B選項，畫出圖形，找到直線和P點，求出PB的長；C選項，畫出平面截此正方體所得面積最大的截面，求出面積；D選項，畫出圖形，找到所需紙的面積最小的圖形，求出面積【詳解】對于選項A：連接，，，∵∥，∴∠或其補角為異面直線和所成的角，又∵＝＝＝，∴∠＝，故A不正確；對于選項B：連接并延長交于點，連接即為直線即由△和△全等得:∴為的中點又∵∥∴∴故B正確；對于選項C：如圖取的中點，并依次連接，得到正六邊形，此時可證明出平面，且平面截此正方體所得正六邊形截面面積最大，，故C正確；對于選項D：如圖①為棱長為4的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②(圖中數(shù)字“1”表示正方體的4個側(cè)面)所示，由圖知正方形的邊長為8，其面積為128，故D正確．故選：BCD10．已知函數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)在原點處的切線方程是B．是函數(shù)的極大值點C．函數(shù)在上有3個極值點D．函數(shù)在上有3個零點【答案】ABD【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷A，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極值點判斷B，由的性質(zhì)判斷其與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)判斷D．利用導(dǎo)數(shù)確定極值點個數(shù)判斷C．【詳解】，，又，所以切線方程是，即，A正確；或時，，時，，所以在和上都遞增，在上遞減，因此是極大值點，B正確；顯然1是極小值點，，，時，，時，，，，，在上遞增，在和上遞減，因此與的圖象有3個交點，即有3個零點，D正確；設(shè)，，令，則，設(shè)，則恒成立，所以，即是增函數(shù)，而，所以時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，，易知，所以存在兩個零點，由的單調(diào)性知這兩個零點就是的兩個極值點，C錯．故選：ABD．11．已知F是拋物線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點，與C相交于E，D兩點，M為A，B中點，N為E，D中點，直線l為拋物線C的準線，則（

）A．點M到直線l的距離為定值 B．以為直徑的圓與l相切C．的最小值為32 D．當(dāng)最小時，【答案】BCD【分析】設(shè)直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，求得點M的橫坐標，結(jié)合拋物線定義，可判斷A;利用拋物線定義推得,由此判斷B;計算出弦長，可得的表達式，利用基本不等式求得其最小值，判斷C;求出的表達式，采用換元法，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，判斷D.【詳解】設(shè)，，，，，直線的方程為，則直線的方程為,將直線的方程代入，化簡整理得，則，，故,所以，,因為點A到直線l的距離，點B到直線l的距離，點M到直線l的距離，又，所以，故A錯誤；因為，所以以為直徑的圓的圓心M到l的距離為，即以為直徑的圓與l相切，故B正確；同理，，所以，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；.設(shè)，則，，.當(dāng)時，即時，最小，這時，故D正確,故選:BCD.【點睛】本題考查了拋物線的焦點弦的性質(zhì)，具有較強的綜合性，要求學(xué)生有較好的計算能力和思維能力，解答時要注意直線方程的設(shè)法，以及聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式的化簡，涉及到焦半徑以及弦長和距離的計算，比較繁雜，要細心運算.12．已知定義在上的單調(diào)遞增的函數(shù)滿足：任意，有，，則（

）A．當(dāng)時，B．任意，C．存在非零實數(shù)，使得任意，D．存在非零實數(shù)，使得任意，【答案】ABD【分析】令可推導(dǎo)得，結(jié)合的值可知A正確；令可推導(dǎo)得，結(jié)合可推導(dǎo)知B正確；根據(jù)單調(diào)性可知C錯誤；當(dāng)時，根據(jù)的對稱中心及其在時的值域可確定時滿足，知D正確.【詳解】對于A，令，則，即，又，；令得：，，，，則由可知：當(dāng)時，，A正確；對于B，令，則，即，，由A的推導(dǎo)過程知：，，B正確；對于C，為上的增函數(shù)，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，不存在非零實數(shù)，使得任意，，C錯誤；對于D，當(dāng)時，；由，知：關(guān)于，成中心對稱，則當(dāng)時，為的對稱中心；當(dāng)時，為上的增函數(shù)，，，，；由圖象對稱性可知：此時對任意，，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知關(guān)系式確定的對稱中心，同時采用賦值的方式確定所滿足的其他關(guān)系式，從而結(jié)合對稱性和其他函數(shù)關(guān)系式來確定所具有的其他性質(zhì).三、填空題13．的展開式中的系數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】先將看成一項，得到展開式通項公式，確定，進而簡化通項公式，得到與時滿足要求，求出展開式中的系數(shù),相加得到答案.【詳解】的展開式通項公式為，由于求解的是展開式中的系數(shù)，故，其中展開式通項公式為，，令得：，此時展開式中的系數(shù)為，令得：，此時展開式中的系數(shù)為，綜上：展開式中的系數(shù)為.故答案為：14．已知圓：和：恰好有三條公切線，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】首先結(jié)合已知條件和圓與圓的位置關(guān)系求出與的關(guān)系式，從而得到為上一點，再利用的幾何意義以及定點到圓上一點的最值求法即可求解.【詳解】由題意，：的方程可化為，故是以圓心為，半徑為2的圓；因為圓和圓恰好有三條公切線，所以圓和圓相外切，又因為圓：，所以圓的圓心為，半徑為1，從而，化簡得，，即為上一點，不妨令由兩點間距離公式可知，可表示為上一點到的距離，因為是以圓心為，半徑為3的圓，所以圓心到的距離為，故的最大值為，最小值為，從而，因為，所以，即的取值范圍是.故答案為：.15．已知函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，若曲線的一條切線為直線：，則的最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)直線與曲線相切的切點為，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義用表示出m，n即可作答.【詳解】設(shè)直線與曲線相切的切點為，而，則直線的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最小值為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.16．橢圓的左、右焦點分別為、，弦過點，若的內(nèi)切圓周長為，，兩點的坐標分別為，，則________．【答案】##【分析】由內(nèi)切圓的周長為，可得半徑為，結(jié)合橢圓定義可得，再由，分析即得解【詳解】在橢圓中，．∵的內(nèi)切圓的周長為，∴內(nèi)切圓的半徑為．由橢圓的定義得的周長為，又且，∴，解得．故答案為：．四、解答題17．正項遞增數(shù)列的前項和為，.(1)求的通項公式；(2)若，，，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）先計算出，再通過退位相減計算的通項公式；（2）先求出，進而得到，借助進行放縮，最后裂項求和即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得或.當(dāng)時，，即，解得或，∴.當(dāng)時，，即，解得.由，當(dāng)時，，兩式相減得，即，當(dāng)時，，所以，即，∴或.（2）當(dāng)時，，，則，.，則.∴.∴.18．在中，角，，的對邊分別為，，，若，邊的中線長為1．（1）求角；（2）求邊的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和正弦定理的邊化角公式將轉(zhuǎn)化為，再化簡即可得到答案.（2）首先根據(jù)邊的中線長為1，得到，從而得到，再利用余弦定理即可得到答案.【詳解】（1）因為，所以，，，，因為，，，所以，又，所以．（2）因為邊的中線長為1，所以，所以，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以，所以的最小值為．19．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為在母線上，且．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)線段上動點為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）設(shè)交于點連接，由，并結(jié)合可證得平面由此證得，再利用三角形相似證得從而證得平面進而證得平面平面；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值．【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)交于點連接，易知，又平面平面，又平面．又是底面圓的內(nèi)接正三角形，由，可得，．又，，即．又，，，即．又平面，，平面．又平面，平面平面．（2）易知．以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)，可得．設(shè)直線與平面所成的角為，則.令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)時，有最大值，于是當(dāng)時，有最大值為，的最大值為，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為．20．在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國企業(yè)依靠自身強大的科研能力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自動高速口罩生產(chǎn)機，“爭分奪秒、保質(zhì)保量”成為口罩生產(chǎn)線上的重要標語．（1）在試產(chǎn)初期，某新型全自動高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢．已知批次的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，．①求批次I成品口罩的次品率．②第四道工序中紅外線自動檢測為次品的口罩會被自動淘汰，合格的口罩進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次I的成品口罩紅外線自動檢測顯示合格率為92%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次成品口罩的次品率為，設(shè)100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率為，記的最大值點為，改進生產(chǎn)線后批次的口罩的次品率．某醫(yī)院獲得批次，的口罩捐贈并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用．經(jīng)統(tǒng)計，正常佩戴使用這兩個批次的口罩期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測情況如下面條形圖所示，求，并判斷是否有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)？附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）①，②；（2），有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)．【分析】（1）①利用概率乘法公式求概率即可；②設(shè)批次Ⅰ的成品口罩紅外線自動檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，分別求出，，利用條件概率直接計算（2）先求出100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值點，即可求出，根據(jù)題意完成列聯(lián)表，計算出，對照參數(shù)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①批次Ⅰ成品口罩的次品率為．②設(shè)批次Ⅰ的成品口罩紅外線自動檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，由已知，得，，則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品為事件，．（2）100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率．因此．令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以的最大值點為．由（1）可知，，，故批次口罩的次品率低于批次Ⅰ，故批次的口罩質(zhì)量優(yōu)于批次Ⅰ．由條形圖可建立列聯(lián)表如下：

單位：人核酸檢測結(jié)果口罩批次合計呈陽性12315呈陰性285785合計4060100．因此，有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)．21．如圖，已知橢圓：，橢圓：，，.為橢圓上一動點且在第一象限內(nèi)，直線，分別交橢圓于，兩點，連結(jié)交軸于點.過點作交橢圓于，且.（1）求證：直線過定點，并求出該定點；（2）若記，點的橫坐標分別為，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，過定點；（2）.【分析】（1）設(shè)，求出，可得，①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為（），利用韋達定理可得，求得②當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)的方程為，利用得由此得答案；（2）設(shè)、的方程為與橢圓方程聯(lián)立可得點、點坐標，求得直線的方程，令，得，則，利用，得到答案.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，，且，則，即.①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為（），則代入消元，得（）,設(shè)，，則