第一中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精重慶市第一中學(xué)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題含解析2020年重慶一中高2020級高三上期期末考試數(shù)學(xué)（文科）試題卷一、選擇題1。已知集合，,則A。 B. C。 D.【答案】C【解析】試題分析：集合，而,所以，故選C【考點】集合的運算【名師點睛】集合的交、并、補運算問題,應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.2.復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（)A.第一象限 B。第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算化簡求得再分析即可.【詳解】.故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算與復(fù)平面的理解,屬于基礎(chǔ)題型。3.設(shè)，，,則，，的大小順序是（)A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】判斷的大致范圍再排序即可.【詳解】,且，又。故。故選:B【點睛】本題主要考查了利于指數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對函數(shù)值大小進(jìn)行比較，屬于基礎(chǔ)題型。4。設(shè)為實數(shù)，直線，，則“"是“”的（）A。充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的公式求解再分析充分必要條件即可.【詳解】因為直線，當(dāng)時有。故直線，則“”是“”的充要條件.故選：C【點睛】本題主要考查了直線垂直的公式以及充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題型.5.執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是(）A. B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】讀懂求解的量,直接寫出結(jié)果進(jìn)行計算即可?！驹斀狻坑煽驁D可知，輸出的.故選：B【點睛】本題主要考查了程序框圖的理解與裂項相消的方法，屬于中等題型.6.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位:m），則該幾何體的體積為（)A。 B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】易得該組合體為長方體上一個圓錐，根據(jù)體積公式計算即可?！驹斀狻恳椎迷摻M合體為長方體上一個圓錐，體積為。故選：A【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求解組合體體積的問題，屬于基礎(chǔ)題型.7.正三角形中，是線段上的點，,,則(）A。3 B。6 C.9 D。12【答案】B【解析】【分析】以為原點建立平面直角坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運算求解即可?！驹斀狻咳鐖D建立以為原點的空間直角坐標(biāo)系，易得，，。故,,故故選:B【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算,可以選擇建立平面直角坐標(biāo)系求解，屬于中等題型.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)在上的值域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)周期與最值求得的解析式，再求解值域即可?！驹斀狻坑深},,周期滿足，故。故。代入有,又,故。故，當(dāng)時,，故.故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)圖像求解解析式與求值域的問題，需要根據(jù)周期與最值求解析式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值域.屬于中等題型.9.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的離心率為2,其焦點到漸近線的距離為,過點的直線與雙曲線交于，兩點.若是的中點，則直線的斜率為（）A。2 B.4 C.6 D。8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)離心率與焦點到漸近線的距離可求得雙曲線的方程,再根據(jù)點差法求解斜率即可.【詳解】由題，雙曲線中,又焦點到漸近線的距離,且，解得。故雙曲線.設(shè)則,兩式相減得。又中點，故.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的方程求解以及點差法求解中點弦的斜率，屬于中等題型。10.一次猜獎游戲中，1,2，3，4四扇門里擺放了，,，四件獎品(每扇門里僅放一件）。甲同學(xué)說：1號門里是,3號門里是;乙同學(xué)說:2號門里是，3號門里是；丙同學(xué)說:4號門里是，2號門里是；丁同學(xué)說:4號門里是,3號門里是。如果他們每人都猜對了一半，那么4號門里是(）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】由題意得，甲同學(xué)說：1號門里是，3號門里是，乙同學(xué)說:2號門里是,3號門里是;丙同學(xué)說：4號門里是,2號門里是；丁同學(xué)說：4號門里是,3號門里是，若他們每人猜對了一半，則可判斷甲同學(xué)中1號門中是是正確的；乙同學(xué)說的2號門中有是正確的；并同學(xué)說的3號門中有是正確的;丁同學(xué)說的4號門中有是正確的,則可判斷在四扇門中，分別存有,所以號門里是，故選A。點睛：本題主要考查了歸納推理問題，通過具體事例，根據(jù)各位同學(xué)的說法給出判斷，其中正確理解題意,合理作出推理是解答此類問題的關(guān)鍵,同時注意仔細(xì)審題，認(rèn)真梳理．11。在銳角三角形中,內(nèi)角、、的對邊分別為、、。若，且，則的取值范圍為(）A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式與和差角公式化簡可得,再計算臨界條件求解即可.【詳解】由題得，因為銳角三角形,故,所以,即。再考慮臨界條件,當(dāng)為直角時，.當(dāng)為直角時,。故。故選：C【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及和差角公式與正弦定理的綜合運用,同時與考查了臨界條件求取值范圍的思想，屬于中等題型.12.定義在上且周期為4的函數(shù)滿足：當(dāng)時,，若在區(qū)間上函數(shù)恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A。 B。C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)，再分析的交點個數(shù)即可.【詳解】由題,的零點個數(shù)即的函數(shù)圖像交點個數(shù)。畫出的圖像，同時恒過定點,且函數(shù)周期為4.故。.故臨界條件分別為過和與相切.取值分別為，，。

當(dāng)與相切時，設(shè)切點為，又，故。，故。故.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的個數(shù)問題，需要根據(jù)題意畫出對應(yīng)的圖像,再分析臨界條件求得對應(yīng)的斜率的值即可.屬于中等題型。二、填空題13.在等比數(shù)列中,已知，，則________。【答案】8【解析】【分析】利用等比數(shù)列的等積性質(zhì)求解即可。【詳解】因為等比數(shù)列,故,故.

故答案為：8【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的等積性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型。14.已知是定義在上的奇函數(shù)，若時,，則曲線在點處的切線斜率為______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱位置的切線斜率相等，直接求解在處的導(dǎo)函數(shù)即可?！驹斀狻恳驗楫?dāng)時,故。根據(jù)奇函數(shù)的圖像知，在點處的切線斜率等于在點處的切線斜率為.故答案為：【點睛】本題主要考查了奇函數(shù)對稱性的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義。屬于中等題型。15.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為，函數(shù)的圖象與軸所圍成的區(qū)域為,向內(nèi)隨機(jī)投一個點，則該點不落在內(nèi)的概率為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥慨嫵雠c半圓,再利用幾何概型的方法分析即可.【詳解】由題，畫出與圖像。因為為半圓.故有易得可行域的面積為.半圓面積為。故點不落在內(nèi)的概率為故答案為:【點睛】本題主要考查了幾何概型的一般方法,重點是畫好所給的函數(shù)圖像，屬于中等題型。16。已知一個圓錐的底面直徑為，其母線與底面的夾角的余弦值為.圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，該內(nèi)接正方體的頂點都在圓錐的底面或側(cè)面上，則這個正方體的外接球表面積為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出正方體的對角截面,分析正方體的邊長再計算外接球表面積即可.【詳解】如圖所示，作出圓錐的一個軸截面，其中為母線，為底面直徑，，是正方體的棱長，是正方體的上、下底面的對角線,設(shè)正方體的棱長為，則,,又,.故高.依題意得，，即。故正方體的體對角線，即外接球的直徑.故外接球表面積。故答案:【點睛】本題主要考查了空間幾何體中的長度計算以及外接球的問題等。需要根據(jù)題意畫出圖像找到對應(yīng)的關(guān)系列式求解計算.屬于中等題型。三、解答題17。已知數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列;（2)求數(shù)列的前項和?！敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)求得,化簡成含的表達(dá)式再得即可.（2）根據(jù)(1)中等比數(shù)列的首項與公比求得數(shù)列的通項公式，再代入即可求得數(shù)列的通項公式，再根據(jù)分組求和求解即可。【詳解】（1）證明:因為所以,又因為，則，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.(2）由（1)知,所以，所以【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式證明等比數(shù)列的方法，同時也考查了分組求和與等比等差數(shù)列求和的公式等。屬于中等題型。18.對某居民最近連續(xù)幾年的月用水量進(jìn)行統(tǒng)計,得到該居民月用水量（單位:噸)的頻率分布直方圖，如圖一。（1）求值,并根據(jù)頻率分布直方圖估計該居民月平均用水量；（2）已知該居民月用水量與月平均氣溫(單位：℃)的關(guān)系可用回歸直線模擬。2019年當(dāng)?shù)卦缕骄鶜鉁亟y(tǒng)計圖如圖二,把2019年該居民月用水量高于和低于的月份作為兩層，用分層抽樣的方法選取5個月,再從這5個月中隨機(jī)抽取2個月，求這2個月中該居民恰有1個月用水量超過的概率?！敬鸢浮浚?)，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的圖形面積之和為1列式求解。再利用頻率分布直方圖計算平均數(shù)的方法求解即可。（2）利用枚舉法將所有可能的情況列舉,再根據(jù)古典概率的求解方法計算即可.詳解】(1）由圖一可知,該居民月平均用水量約為（2）由回歸直線方程知，對應(yīng)的月平均氣溫剛好為，再根據(jù)圖二可得,該居民2019年5月和10月的用水量剛好為,且該居民2019年有4個月每月用水量超過，有6個月每月用水量低于,因此，用分層抽樣的方法得到的樣本中,有2個月（記為）每月用水量超過，有3個月（記為）每月用水量低于,從中抽取2個,有共10種結(jié)果，其中恰有一個月用水量超過的有共6種結(jié)果,設(shè)“這2個月中恰有1個月用水量超過”為事件，則【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的運用以及分層抽樣與古典概型的方法，屬于中等題型.19。已知四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，。點是棱的中點，點在棱上,且，平面。（1）求實數(shù)的值；(2)求四棱錐的體積.【答案】（1)（2）【解析】【分析】（1）連接,設(shè),證明再利用相似三角形求解即可.（2)求底面四邊形的面積，再根據(jù)四棱錐的高與的比例求解即可.【詳解】（1）連接，設(shè),則平面，,，，.（2），又,，所以.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)與證明,同時也考查了錐體體積的計算方法,屬于中等題型。20.已知橢圓過圓的圓心,且右焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的方程;(2）過點作直線交橢圓于，兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）(2）或【解析】【分析】(1）根據(jù)焦點與橢圓上的點，列方程求解即可。（2)根據(jù)三角形的面積公式化簡可得,再利用向量的方法可得，再分直線有無斜率的情況，聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理代入化簡向量的關(guān)系求得斜率即可.【詳解】解：（1）因為拋物線的焦點為,所以，因為在橢圓上,所以,由，得，所以橢圓的方程為（2）由得:,即，可得，①當(dāng)垂直軸時，,此時滿足題意，所以此時直線的方程為；②當(dāng)不垂直軸時，設(shè)，直線的方程為,由消去得，所以，代入可得：，代入,得，代入化簡得：,解得,經(jīng)檢驗滿足題意,則直線的方程為綜上所述直線的方程為或【點睛】本題主要考查了橢圓的基本量求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系.通過分情況聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理表達(dá)出對應(yīng)的表達(dá)式化簡，進(jìn)而求得斜率的方法等。屬于難題。21.已知函數(shù),，是的導(dǎo)函數(shù)。（1）討論函數(shù)的極值點個數(shù);（2）若，,若存在，使得，試比較與的大小?！敬鸢浮浚?）當(dāng)時，有0個極值點；當(dāng)時，有1個極值點（2）【解析】【分析】（1)求導(dǎo)后分求導(dǎo)等于0時的根與區(qū)間端點0的大小關(guān)系分析極值點個數(shù)即可。(2)求導(dǎo)后分別計算,再計算,構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式再根據(jù)單調(diào)性求解分析即可.【詳解】解：（1）,當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無極值點；當(dāng)時，令,則,故在上單調(diào)遞增，在上單減,故有1個極小值點，無極大值點。綜上：當(dāng)時，有0個極值點；當(dāng)時，有1個極值點。(2),,，故,令,則,所以在上單調(diào)遞增，則,,,又在上單調(diào)遞增，，即【點睛】本題主要考查了根據(jù)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)解決極值點偏移的問題,重點在于找到關(guān)于兩個極值點間的函數(shù)關(guān)系，再列式構(gòu)造函數(shù)求單調(diào)性與最值等.屬于難題.22。在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)),以為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸，曲線的極坐標(biāo)方程為：。（1）求曲線的普通方程和曲線的參數(shù)方程;（2）若點在曲線上運動,求點到曲線距離的最小值及對應(yīng)的點的坐標(biāo)?！敬鸢浮浚?），（為參數(shù)）（2）,【解析】【分析】（1）中上下相加消去，中利用余弦的二倍角公式以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系求解出直角坐標(biāo)方程,再化簡成參數(shù)方程即可.（2)設(shè)點再求出點到曲線的距離表達(dá)式，利用輔助角公式求解表達(dá)式的最值以及對應(yīng)的參數(shù)值即可.【詳解】解:（1）.故；又化簡得,即（2）設(shè)點,則點到曲線的距離（其中）,當(dāng)時，,此時，即，所以，故【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)系與參數(shù)方程的互化以及求曲線上一點到直線距離的最值問題，主要是根據(jù)設(shè)對應(yīng)的參數(shù)點根據(jù)三角函數(shù)的表達(dá)式求解,屬于中等題型.23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：；（2）若的值域為,且，解不等式?！敬鸢浮?/p>