自主輔導(dǎo)功和能

自主輔導(dǎo)功和能第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

利用圖象求功之方法適用于當力對位移的關(guān)系為線性時;或在表示力對位移關(guān)系的F-s示功圖中F(s)圖線與s軸圍成的圖形“面積”有公式可依時;因為在F-s示功圖中，這種“面積”的物理意義就是功的大?。?/p>

方法A利用圖象—示功圖sF0變力求功方法ABCxW第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有80%的能量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入深度x成正比，試求木樁每次打入的深度比．若第一次打擊使木樁插入了全長的1/3，全部插入須錘擊多少次？

專題8-例1解:本題中的阻力f為一與位移x成正比的變力，即f=kx示功圖xF0x1x2x3……lW0W0W0圖中各陰影“面積”

表示第1、2、3……次錘擊中，木樁克服阻力做的功，數(shù)值上等于錘傳給木樁的能量，設(shè)為W0．

由圖當xn=l時，由第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

某質(zhì)點受到F=6x2的力的作用，從x=0處移到x=2.0m處，試求力F做了多少功？專題8-例2解:本題中的變力力F與位移x成F=6x2關(guān)系，F(xiàn)-x圖線為拋物線示功圖24x/mF/N02W圖中“面積”表示F力做的功“面積”由阿基米德公式由示功圖得F力做的功第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

如圖所示，一質(zhì)量為m，長為l的柔軟繩索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為μ．⑴柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？⑵由這一位置開始運動，柔繩剛離開桌面時的速度多大？小試身手題2解:⑴設(shè)柔繩恰由靜止開始下滑時下垂部分長度為x0，則由

⑵柔繩恰由靜止開始下滑至以v離開桌面，由動能定理其中，重力功等于繩重力勢能減少摩擦力為線性變力：示功圖xFf0l-x0Wfx第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

一質(zhì)點的質(zhì)量為m，被固定中心排斥，斥力的大小F=μmr，其中r為質(zhì)點離開此中心的距離．在開始時，r0=a，v=0，求質(zhì)點經(jīng)過位移a時所達到的速度大小．小試身手題5解:斥力為線性變化力！

示功圖rF0aaWF對示功圖求梯形陰影“面積”對質(zhì)點經(jīng)過位移a的過程，由動能定理第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

跳水運動員從高于水面H＝10m的跳臺自由落下，運動員的質(zhì)量m＝60kg，其體形可等效為長度l＝1.0m、直徑d＝0.30m的圓柱體，略去空氣阻力，運動員入水后水的等效阻力F作用于圓柱體下端面，F(xiàn)量值隨入水深度y變化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長軸和短軸分別與OY和OF重合，為了確保運動員絕對安全，試計算水池中水的h至少應(yīng)等于多少？小試身手題8解:5mg/2YF0h對全過程運用動能定理:其中阻力功根據(jù)示功圖為四分之一個橢圓“面積”:示功圖入水過程中，浮力隨入水深度y作線性變化示功圖YF浮0l第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系為F=f(s)，求該變力的功通常用微元法，即將位移區(qū)間分成n（n→∞）個小區(qū)間s/n，在每個小區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功Fi·s/n

，由于功是標量，具有“可加性”，那么總功等于每個小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在這段位移中所做的功為：

方法B用微元法在數(shù)學上，確定元功相當于給出數(shù)列通項式，求總功即求數(shù)列n項和當n→∞時的極限．

第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

半徑等于r的半球形水池，其中充滿了水，把池內(nèi)的水完全吸盡，至少要做多少功？

專題8-例3解:rri沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水均勻細分成n層，每一元層水的高度r1i2每一層水均可看作一個薄圓柱，水面下第i層水柱底面的半徑這層水的質(zhì)量將這層水吸出至少應(yīng)做的元功是

將池水吸盡至少要做的功是

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一個質(zhì)量為m的機動小車，以恒定速度v在半徑為R的豎直圓軌道繞“死圈”運動．已知動摩擦因數(shù)為μ，問在小車從最低點運動到最高點過程中，摩擦力做了多少功？

專題8-例4解:小車沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運動到最高點的過程中，由于軌道支持力是變力，故而摩擦力為一隨位置變化的力！xyOAB當小車運動在A處元圓弧段時

mgNA摩擦力在A處元功為當小車運動在與A關(guān)于x軸對稱的B處元圓弧段時

mgNB續(xù)解第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六摩擦力在B處元功為小車在關(guān)于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為查閱摩擦力在半圓周軌道上的總功計算水平直徑以下段摩擦力的功：

續(xù)解第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六水平直徑以上段摩擦力的功：

第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六將板沿板長均分為n（n→∞）等份

將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動角α，求所需要做的功．木板長度為L，質(zhì)量為M，木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ．

小試身手題1解:元摩擦力做功的位移為摩擦力對i段做的元功為則對木板的功

各元段摩擦力為第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

從一個容器里向外抽空氣，直到壓強為p．容器上有一小孔，用塞子塞著．現(xiàn)把塞子拔掉，問空氣最初以多大速率沖進容器？設(shè)外界大氣壓強為p0，大氣密度為ρ．小試身手題4解:pp0Δxs設(shè)小孔截面積為s，打開塞子后孔外側(cè)厚度為Δx的一薄層空氣在內(nèi)、外壓強差作用下沖入容器，獲得速度v0，由動能定理:第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

這種求功方法依據(jù)功對能量變化的量度關(guān)系，只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便是相應(yīng)的功量．

方法C從能量變化反觀功第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六如圖所示,一質(zhì)量分布均勻的粗繩長2a，質(zhì)量為2m，兩端懸于水平天花板上相距為a的兩點而懸垂靜止，其重心位于天花板下方b處.現(xiàn)施一力于繩之最低點C并將繩拉直至D點，求拉力所做的功．D由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花

重力勢能增加了由功能原理，拉力功為

解：專題8-例5由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量．Chh第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

一質(zhì)量為m的皮球，從高為h處自由下落（不計空氣阻力），反彈起來的高度為原來的3/4，要皮球反彈回h高處，求每次拍球需對球做的功

專題8-例6解:

在球與地面接觸期間，地面對球的彈力對球做負功，使球的動能減少．地面對球的彈力功是變力功!牛頓碰撞定律：若兩球碰撞前速度依次為v10、v20，碰撞后速度為v1、v2，則碰撞后兩者的分離速度v2－v1與碰撞前兩者的接近速度v20－v10成正比，比值e稱恢復(fù)系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即從h高度自由下落再反彈的全過程,地面彈力功W1:從h高度拍下再反彈原高的全過程,地面彈力功W2:續(xù)解第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六從h高下落未速度即與地接近速度:從地面反彈的起跳速度即與地分離速度:同一球與同一地面碰撞,恢復(fù)系數(shù)相同:第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

如圖所示，有兩個薄壁圓筒．半徑為R的圓筒繞自己的軸以角速度ω轉(zhuǎn)動，而另一個圓筒靜止．使兩圓筒相接觸并且它們的轉(zhuǎn)軸平行，過一會兒，由于摩擦兩圓筒開始做無滑動的轉(zhuǎn)動．問有多少機械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能？（兩圓筒的質(zhì)量分別為m1、m2）小試身手題9解:m1Rm2ω根據(jù)題意，一段時間內(nèi)m1線速度從ωR→ω1R,而m2線速度從0→ω2r=ω1R

這種變化是因為兩者間有大小相等的一對力作用，這對力做功使系統(tǒng)機械能(動能)轉(zhuǎn)換成內(nèi)能!對系統(tǒng),由動能定理:又,由牛頓第二、三定律,一對力大小相等:第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六功能關(guān)系面面觀

功是力的空間積累作用，能是對物體運動的一種量度．功的作用效應(yīng)是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化，做功的過程就是物體能量轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化了的能量都可以由做功的多少來量度，這是我們對功與能之間關(guān)系的基本認識，是我們從能量角度解決運動問題的依據(jù)．

功能關(guān)系基本認識

功能關(guān)系的具體認識

功能對應(yīng)規(guī)律借助功與能的具體對應(yīng)關(guān)系，對運動的功的量度問題作出正確的操作.⑵確定有哪些力對研究對象做了正功或負功，以代數(shù)和的形式完成定理中等號左邊對合外力的功的表述；⑶分析所研究過程的初、未兩狀態(tài)的動能，完成等號右邊對動能變化的表述；動能定理的應(yīng)用⑴選定研究的對象與過程;

示例第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六一定的能量變化由相應(yīng)的功來量度

※重力功量度重力勢能的變化：※外力（可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其它力）做的總功量度動能的變化：※彈力功量度彈性勢能的變化：

動能定理※引力功量度引力勢能的變化：

※非重力彈力功量度機械能的變化：

勢能定理功能原理※電場力功量度電勢能的變化：

（W非可以是摩擦力功、電場力功、安培力功或其它非重力、彈簧彈力的功）

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如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度H0=20m，其橫斷面是半徑R=2m的圓．儲水深h=1m，如果用裝在高H1=5m處、截面積為2cm2的水龍頭放水，問需要多久才能將水放完？

專題8-例7解:根據(jù)題意，水箱中的水從底部截面積為s的小孔流出，若流速為vi，則時間ti內(nèi)的水流量Qi=vitiS；總儲水全部流盡的時間應(yīng)為每層水放出時間的通項式為

全部水箱儲水放盡的總需時為小孔流速續(xù)解1i2n第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六一個常用近似示例第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六P0+P水P0設(shè)小孔處一小片厚Δx、面積S的液片,在內(nèi)外壓力之合力作用下獲得速度v而離開小孔，由動能定理:小孔流速模型P0返回PP+P水第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

質(zhì)量為m的小球以某一初速度豎直上拋，若運動中所受阻力Ff=kv2，最大阻力為重力的0.44倍，試求小球上升的最大高度H及落回拋出點時的速度vt．專題8-例8解:本題通過元過程的動能定理,用微元法求得終解!本題研究過程中有重力功與阻力功,其中阻力功為耗散功,且為一按指數(shù)規(guī)律變化的力!一個重要極限取上升過程中的某一元過程：該過程小球上升了高度H/n(n→∞)，速度從vi減少為vi+1，各元過程中的阻力可視為不變?yōu)楹贤饬Ω鶕?jù)動能定理，對該元過程有即對該式變形有

續(xù)解第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六在各相同的上升高度H/n微元中，合外力大小成等比數(shù)列遞減、因而動能的增量是成等比數(shù)列遞減的，其公比為對上式兩邊取極限:同理,對下落過程由對此式兩邊取n次方當n→∞極限:續(xù)解第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六由題給條件小球落回拋出點時的速度是拋出時速度的六分之五查閱第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六R

一質(zhì)點在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點離開球面，求PQ兩點的高度差h．

專題8-例9解:本題除重力外無非保守力的功,機械能守恒!設(shè)球半徑為RPQHmgv由機械能守恒:Q點動力學方程為:由幾何關(guān)系:若質(zhì)點從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短．這是一個有趣又有用的模型．

第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六xy

如圖甲所示，把質(zhì)量均為m的兩個小鋼球用長為2L的線連接，放在光滑的水平面上．在線的中央O作用一個恒定的拉力，其大小為F，其方向沿水平方向且與開始時連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質(zhì)量可忽略不計．試求：⑴當兩連線的張角為2θ時，如圖乙所示，在與力Ｆ垂直的方向上鋼球所受的作用力是多少？⑵鋼球第一次碰撞時，在與力Ｆ垂直的方向上，鋼球的對地速度為多少？⑶經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運動，試求由于碰撞而失去的總能量為多少？小試身手題3OFO甲Fθθ乙解:⑴在如示坐標中分解力FF在與F垂直方向上線對鋼球的力大小為⑵設(shè)鋼球第一次碰撞時沿F方向速度為vx，垂直于F方向速度為vy，設(shè)力F的位移為x，由動能定理

在x方向上:⑶達到終態(tài)時，兩球vy=0，F(xiàn)總位移X，有

第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

軍訓中，戰(zhàn)士距墻S0以速度v0起跳，如圖所示，再用腳蹬墻面一次使身體變?yōu)樨Q直向上的運動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為μ．求能使人體重心有最大總升高Hmax的起跳角θ．

小試身手題6解:S0v0θ設(shè)抵達墻時戰(zhàn)士速度為v，蹬墻后速度為v′,各矢量間關(guān)系如示，

矢量圖示vgtv0θv從起跳至上升至最高H處，由機械能守恒:

由矢量圖所示關(guān)系:

第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

質(zhì)量為M、長為l的板放在冰面上，在板的一端坐著質(zhì)量為m的小貓它要跳到板的另一端，問小貓對冰面的最小速度v0min應(yīng)為多少？小貓為使跳到板的另一端所消耗的能量最少，問它的初速度v0應(yīng)該與水平面成多大角α？

小試身手題7解:貓消耗能量E，使貓及木板獲得初動能：

起跳時間Δt內(nèi)m與M間水平方向相互作用力大小相等，故有貓從跳離板一端到落至板另一端歷時由豎直方向分運動得這段時間內(nèi)貓對板的位移應(yīng)滿足

利用基本不等式性質(zhì)

：

第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

如圖所示，厚度不計的圓環(huán)套在粗細均勻、長度為L的棒的上端，兩者質(zhì)量均為m，圓環(huán)與棒間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為一常數(shù)，為kmg（k＞1）．棒能沿光滑的豎直細桿AB上下滑動，棒與地碰撞時觸地時間極短，且無動能損失．設(shè)棒從其下端距地高度為H處由靜止自由下落，與地經(jīng)n次碰撞后圓環(huán)從棒上脫落⑴分析棒第二次碰地以前的過程中，環(huán)與棒的運動情況，求出棒與環(huán)剛達到相對靜止時，棒下端距地高度h；⑵求出n、k、L、H四個量應(yīng)滿足的關(guān)系．

小試身手題10解:⑴由機械能守恒，棒第一次碰地以前速度ABLH棒與地相碰后瞬時速度大小不變、方向向上，加速度為環(huán)速度

環(huán)加速度棒與環(huán)相對初速度

相對加速度

棒與環(huán)相對靜止時

環(huán)與棒的共同速度

從棒從地面向上到與環(huán)相對靜止的過程中，一對摩擦力做負功，重力分別對環(huán)、棒做負功，由動能定理：

續(xù)解第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

⑵棒與環(huán)一起以V1自由下落h至第二次落地時速度仍由機械能守恒此后棒與環(huán)相對滑動則若在碰n次后環(huán)脫離棒，n、k、L、H四個量應(yīng)滿足的關(guān)系：

查閱第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

鋼球沿著光滑的長梯彈跳，在每一級臺階上僅跳一次，如圖所示．每次與臺階碰撞時，球要損失η＝50％的機械能．試求小球拋出時的初速度v及其與豎直線的夾角φ．（梯子臺階的高度h＝10cm，寬l＝20cm）

小試身手題11解:lhφ根據(jù)題意，第一次與平臺碰撞前后有

vvv落v起vv每次跳起到落到下一臺階的過程中,有

v起v起v落由水平方向的勻速運動得鋼球每一次飛行時間

代入數(shù)據(jù)整理后得說明起跳速度變?yōu)樗?，除鋼球落在拐點情況外，應(yīng)舍去此解第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六元功法

取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求得一類物理問題解答的方法，我們稱之為“元功法”.這種解法所循基本原理是分析力學中的“虛功原理”，由伯努利首先提出的．用元功法可以處理某些平衡問題，且頗為簡單．

元功法

元功法處理平衡問題基本思路

取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從而虛設(shè)一個元過程，此過程中所有元功之和為零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過極限處理，求得終解．第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六

如圖所示，質(zhì)量為m、長度為l的均勻柔軟粗繩，穿過半徑R的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個釘子上，兩鉤間距離為2R，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為M，且相互間無摩擦，求繩上最低點C處的張力．

專題8-例10解:本題用元功法求解!分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況AOCRBTA(M+m)g分析繩之一半的受力情況TC設(shè)想在A處以力TA將ABC段繩豎直向上拉過一極小距離Δx由功能原理Δx第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六ab

如圖示，一輕三足支架每邊長度均為l,每邊與豎直線成同一角度，三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，現(xiàn)用一繩圈套在三足支架的三足上,使其不能改變與豎直線間的夾角，設(shè)三