自旋與全同粒子

自旋與全同粒子第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日Uhlenbeck和Goudsmit為了解釋這些現(xiàn)象，在1925年提出了下面的假設(shè)：每個(gè)電子具有自旋角動量S(其自旋量子數(shù)為s=1/2),它在空間任何方向上(如：z方向)的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：

每個(gè)電子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角動量的關(guān)系式：

電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率為：

第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

在量子力學(xué)中如何描述電子的自旋呢？

自旋角動量也是描述電子狀態(tài)的一個(gè)力學(xué)量，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，它與電子的坐標(biāo)和動量無關(guān)，它的取值量子化（不連續(xù)）。在量子力學(xué)中，自旋角動量用算符

表示

第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日由于

在空間任意方向上的投影只能取

，所以

為簡便起見，引入算符

，它與

的關(guān)系為

第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日滿足對易關(guān)系：和反對易關(guān)系：第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日且有

故

為單位算符

具有自旋的電子的本征函數(shù)可記為：第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日這樣，如果已知電子處于

的自旋態(tài)，則：

表示t時(shí)刻在r處發(fā)現(xiàn)電子自旋朝上的概率；

如果已知電子處于

的自旋態(tài)，則：

表示t時(shí)刻在r處發(fā)現(xiàn)電子自旋朝下的概率。

第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日波函數(shù)是2×1矩陣，則自旋算符應(yīng)為2×2矩陣，設(shè)為

解得a=1,b=0,c=0,d=-1,即：

由對易關(guān)系式可求得：

第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日相應(yīng)的，有：

Pauli矩陣波函數(shù)的歸一化：概率密度：當(dāng)電子的自旋運(yùn)動與軌道運(yùn)動相互作用可忽略時(shí)，第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)電子的自旋運(yùn)動與軌道運(yùn)動相互作用可忽略時(shí)，其中為描寫電子自旋狀態(tài)的自旋波函數(shù)，自旋算符僅對作用，而有兩個(gè)：自旋算符的任意函數(shù)亦可表示為2×2矩陣：第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日對坐標(biāo)和自旋同時(shí)求平均的結(jié)果為：對自旋求平均的結(jié)果為：第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日例題6.1設(shè)氫原子的狀態(tài)波函數(shù)是

（1）求軌道角動量z分量

和自旋角動量z分量

的平均值，

（2）求總磁矩

的z分量的平均值。解：

第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（1）

的可能值有

，概率分別為

平均值：

的可能值有

,概率分別為

平均值：

第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（2）由

有：

第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日即

和

是

的本征函數(shù)。

所以，在

態(tài)中測量可能值有：，概率分別為

平均值第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日§6.2兩個(gè)角動量的耦合

當(dāng)微觀體系涉及到的角動量不止一個(gè)時(shí)，必須討論角動量的耦合問題。如原子體系中價(jià)電子不止一個(gè)時(shí)，電子的軌道角動量與軌道角動量之間，軌道角動量與自旋角動量之間，自旋角動量與自旋角動量之間，都可以相互耦合。第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日不失一般性，可考慮兩個(gè)角動量J1和J2之間的耦合，討論如下：

已知：

設(shè)：

因?yàn)?/p>

相互對易，其共同本征矢

｜j1,m1,j2,m2>＝｜j1,m1>|j2,m2>

組成正交歸一完全系。

第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日角動量耦合：令：

可證：①

即兩個(gè)角動量相加仍為角動量②

③

④

⑤

由于

相互對易，所以它們有共同本征函數(shù)，記為

｜j1,j2,j,m>,有

第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日可按｜j1,m1,j2,m2>展開為

且有：

j=j1+j2,j1+j2-1,...,|j1-j2|m=j,j-1,...,-j+1,-jC-G系數(shù)（6.22）

第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日J(rèn)的取值討論如下：m，m1，m2的最大值為J，J1，J2，而m＝m1＋m2,所以jMAX＝j(luò)1＋j2再看jMIN＝？m1=j1,j1-1,...,-j1+1,-j1共2j1＋1個(gè)值m2=j2,j2-1,...,-j2+1,-j2共2j2＋1個(gè)值m：共有（2j1＋1）（2j2＋1）個(gè)值第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日對應(yīng)于j，m＝j(luò),j-1,...,-j+1,-j共（2j＋1）個(gè)值。如果用jMIN表示j可能的最小值，則則｜j1,j2,j,m>的數(shù)目

第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日推導(dǎo)C－G系數(shù)很復(fù)雜，有專用表可查，下面列出了j1任意,j2=1/2時(shí)的C-G系數(shù)

--第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日將上述系數(shù)代入（6.22）有：第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日§6.3光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)①類氫原子的雙線結(jié)構(gòu)討論無外場時(shí)電子自旋對類氫原子的能級和譜線的影響。不考慮核外電子的屏蔽時(shí)，Hamilton為：是不考慮電子自旋和軌道相互作用時(shí)的Hamilton，其解為

第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日有電子自旋和軌道相互作用時(shí)，以

表示電子的總角動量算符，因?yàn)?/p>

兩兩對易，

與任何算符對易，所以體系的定態(tài)也可以用

的共同本征函數(shù)

描寫。這些波函數(shù)是耦合表象中的基矢。這時(shí)電子的態(tài)由n,lj,m四個(gè)量子數(shù)確定。

第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日和

不對易。

由于

的本征值是簡并的，可用簡并情況下的微繞理論來解此方程。

令

第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日而

令

則有

從而

第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日可見，自旋軌道耦合使原來2n2重簡并的能級分裂開來，簡并部分的被消除。

（因?yàn)?/p>

中不含量子數(shù)ｍ，ｍ可取2j+1個(gè)值，所以還有2j+1度簡并保留下來。）討論：①l＝0時(shí)，

能級沒有分裂；

②l≠0時(shí)，當(dāng)ｎ和ｌ給定后，ｊ可取兩個(gè)值，ｊ＝ｌ±1/2，即具有相同量子數(shù)ｎ，ｌ的能級有兩個(gè)，它們之間的差別很小，這就是產(chǎn)生光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)—雙線結(jié)構(gòu)的原因。

第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日相應(yīng)的零級近似波函數(shù)為:

第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日如鈉原子3P→3S的精細(xì)（雙線）結(jié)構(gòu)：

第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日②簡單Zeeman效應(yīng)考慮氫原子或類氫離子在均勻外磁場中的情形。由于電子軌道磁矩和自旋磁矩受到外磁場的作用，電子有由磁場引起的附加能量。此外，電子的自旋和軌道運(yùn)動之間也有相互作用，但在外場較強(qiáng)時(shí)，此相互作用引起的附加能量與前面由外場引起的附加能量相比小得多，可以略去。第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日取外場B的方向?yàn)閦軸，則磁場引起的附加能量為：于是，體系的定態(tài)Schr?dinger方程為：

此方程左邊有自旋算符，但無自旋軌道相互作用，所以

當(dāng)外場不存在時(shí)，上面方程的解為

第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日在氫原子的情況下，V(r)是庫侖勢，

所屬的能級En僅與總量子數(shù)n有關(guān)；

在堿金屬原子的情況下，核外電子對核的庫侖場有屏蔽作用和電子的軌道貫穿，這時(shí)，

所屬的能級不僅與n有關(guān)，還與角量子數(shù)l有關(guān)：第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日仍是方程（6.32）的解。當(dāng)有外場時(shí)，由于

是

和

的本征函數(shù)，所以

記有外場時(shí)的能級為,可得到可見，由于外磁場的存在，能量與自旋有關(guān)。能級與ml有關(guān)，原來由于ml不同而能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除。第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)原子處于s態(tài)時(shí)，l＝0,ml＝0，

因而原來的能級分裂為兩個(gè)，這正是Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象。下面以2p→1s躍遷為例，討論光譜結(jié)構(gòu)第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日③復(fù)雜Zeeman效應(yīng)如果外場很弱，電子自旋與軌道相互作用不能略去，則能級的分裂更為復(fù)雜，分裂的譜線條數(shù)也可能不止三條，這就是復(fù)雜Zeeman效應(yīng)。此時(shí)

其中

（6.36）

第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日體系Hamilton中含有

兩項(xiàng)，

除了能量E是守恒量外，

但

均是守恒量，故j不是好量子數(shù)，此時(shí)的好量子數(shù)為nlsmj本征函數(shù)取為

，據(jù)此可以算出式（6.36）前兩項(xiàng)的相應(yīng)的能量值為（與①相同）

第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日為了計(jì)算式（6.36）的第三項(xiàng),利用式（6.22’），注意到j(luò)1=l,有：j=l+1/2時(shí)：j=l－1/2時(shí)第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日可求得：

從而

第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日由于外磁場很弱，自旋－軌道相互作用引起的能級分裂遠(yuǎn)大于電子軌道磁矩和自旋磁矩受到外磁場的作用所引起的能級分裂,

如鈉原子3P→3S的復(fù)雜Zeeman效應(yīng)：

,l=0,j=1/2,m=±1/2,能級一分為二；

,

,

l=1,j=l-1/2=1/2,m=±1/2,能級一分為二；

,l=1,j=l+1/2=3/2,m=±3/2,±1/2，能級一分為四。

第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日小結(jié)：光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)無外場時(shí)L-S耦合

l=0的軌道能級沒有分裂（）特例：鈉3P→3S雙線結(jié)構(gòu)l≠0的軌道能級一分為二有外場時(shí)若外場較強(qiáng)，忽略L-S耦合能級一分為三(簡單Zeeman效應(yīng))基態(tài)氫原子若外場較弱，不能忽略L-S耦合能級一分為多(復(fù)雜Zeeman效應(yīng))3P→3S第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日§6.4全同粒子的特征和波函數(shù)

Pauli原理

1．全同粒子的特征全同粒子：質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。

全同性原理：在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互交換不引起物理狀態(tài)的改變。

第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)有一由N個(gè)粒子組成的體系，以qi表示第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋，qi

=(ri,si),V(qi,t)表示第i個(gè)粒子在外場中的能量，W（qi,qj）表示第i個(gè)粒子和第j個(gè)粒子之間的相互作用能量，則體系的Hamilton算符為：

第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日可以看出，將兩個(gè)粒子（例如第i個(gè)和第j個(gè)）相互調(diào)換后，體系的Hamilton算符保持不變：

體系的Schrodinger方程為：在方程兩邊，將qi和qj相互調(diào)換，得到：

第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日這表示，如果

是體系的Schr?dinger方程的解，則這波函數(shù)中將第i個(gè)粒子和第j個(gè)粒子互換后得出的新函數(shù)也是這個(gè)方程的解。

根據(jù)全同性原理，

和

和

描述的是同一個(gè)狀態(tài)，因而它們之間只相差一常數(shù)因子：第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

再將qi和qj互換，有

由此得到，

當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)

時(shí)，

第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日全同粒子體系的波函數(shù)的這種對稱性不隨時(shí)間改變。結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對稱（反對稱）的態(tài)，則它將永遠(yuǎn)處于對稱（反對稱）的態(tài)上。第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日實(shí)驗(yàn)證明：自旋為

的粒子（如電子、質(zhì)子、中子等）和

的奇數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對稱的，這類粒子服從fermi－dirac統(tǒng)計(jì)，因而稱之為fermi子；自旋為0的粒子（如處于基態(tài)的氦原子、

粒子）、自旋為

的粒子（如光子）和其它自旋為

的整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是對稱的，這類粒子服從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)，因而稱之為Bose子。

第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日2．全同粒子體系的波函數(shù)Pauli原理先討論兩個(gè)全同粒子組成的體系。不考慮相互作用時(shí)，兩個(gè)全同粒子組成的體系的Hamilton算符為：相應(yīng)的Schrodinger方程為：

是單粒子的Hamilton算符，設(shè)其第i個(gè)本征值為，相應(yīng)的本征函數(shù)為

，有：

第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)?shù)谝粋€(gè)粒子處于i態(tài)，第二個(gè)粒子處于j態(tài)時(shí)，體系的波函數(shù)為：此時(shí)體系的能量為：

如果第一個(gè)粒子處于j態(tài)，第二個(gè)粒子處于i態(tài)時(shí)，體系的波函數(shù)為：

此時(shí)體系的能量仍為：

表明體系的能量本征值E是簡并的。由于后一波函數(shù)可由前一波函數(shù)交換q1,q2得出，故稱之為交換簡并。（6.37）

（6.38）

第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日①如果兩粒子所處的狀態(tài)相同，即i=j，則波函數(shù)（6.37）和波函數(shù)（6.38）是同一個(gè)對稱波函數(shù)；

②如果兩粒子所處的狀態(tài)不同，則波函數(shù)既不是對稱的，又不是反對稱的，因而不能滿足全同粒子體系波函數(shù)的條件。但可由這兩函數(shù)的和或差構(gòu)成對稱波函數(shù)

或反對稱波函數(shù)

第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日顯然，

和

都是

的本征函數(shù)，并且都屬于本征值

Pauli原理：兩個(gè)Fermi子組成的體系的波函數(shù)

取的形式，若i=j，則

Fermi子不能處于同一狀態(tài)。。因此，體系中兩設(shè)

是歸一化的，但上面的

和

都不是歸一化的，因而，歸一化的波函數(shù)可取為：第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日上述結(jié)論可推廣到N個(gè)全同粒子組成的體系，歸一化的波函數(shù)可取為：如果N個(gè)單粒子態(tài)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的單粒子態(tài)相同，則

。這表示不能有兩個(gè)

或兩個(gè)以上的費(fèi)密子處于同一狀態(tài)――Pauli不相容原理。第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日在不考慮粒子自旋－軌道相互作用的情況下，體系的波函數(shù)可以寫成坐標(biāo)函數(shù)與自旋函數(shù)之積。即有：第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日如果粒子是fermi子，則

這條件可由下面兩種方式實(shí)現(xiàn)：

是反對稱的，是對稱的，是反對稱的；是反對稱的，是對稱的。如果粒子是Bose子，則

是對稱的，這條件可由下面兩種方式實(shí)現(xiàn)：是對稱的，也是對稱的；是反對稱的，也是反對稱的。第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日§6.5兩個(gè)電子的自旋函數(shù)氦原子討論兩個(gè)電子的自旋函數(shù)，這在研究含有兩個(gè)電子的體系，如氦原子、氫分子時(shí)要用到。

在體系Hamilton算符不含電子自旋相互作用時(shí)，兩電子的自旋函數(shù)是每個(gè)電子的自旋函數(shù)之積：可以構(gòu)成如下對稱及反對稱波函數(shù)：

第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日體系的總自旋算符及其z分量：第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日利用單粒子自旋算符的分量對單粒子自旋波函數(shù)的作用：

可以求出兩電子系統(tǒng)總自旋算符的平方和z分量對兩電子系統(tǒng)波函數(shù)的作用：

第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日討論：

第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日應(yīng)用舉例：氦原子氦原子的核帶電2e，核外有兩個(gè)電子，相應(yīng)的Hamilton為：

其定態(tài)波函數(shù)可寫為：

其中空間波函數(shù)

滿足：

第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日下面用微擾法求氦原子的能級：算符

是Z＝2的兩個(gè)類氫離子的Hamilton算符之和，其本征