2023年吉林省吉林高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知z=i(3-2z),則z；=()

A.5B.75C.13D.V13

2.已知函數(shù)/(x)=Acos(2x+e)(0>O)的圖像向右平移J個(gè)單位長度后，得到的圖像關(guān)于)'軸對稱，/(0)=1,當(dāng)

O

9取得最小值時(shí)，函數(shù).f(x)的解析式為()

A.f(x)=V2cos(2x+—)B./(x)=cos(2x+—)

44

C./(x)=y/2cos(2x--)D./(x)=cos(2x-—)

44

v4-J

3.若點(diǎn)Gj)位于由曲線.\=8-2|+/與》=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界)，則」的取值范圍是()

x-2

A.[-3,1]B.[-3,5]C.(-00,-3]U[5,+00)D.(-00,-3]。口，+00)

4.已知函數(shù)=/一3X+5,g(x)=ox-lnx,若對Vxe(0,e),三益,々e(0,e)且菁N馬，使得

/(x)=g(xja=l,2),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

(16]「1R11『6"「6P

A.一，—B.一，/C.0,-U—，e4D.一，e4

lee)\_e)Iej)Le)

5.過圓Y+y2=4外一點(diǎn)M(4,一l)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是().

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x-y+4=0

1*227r

6.已知點(diǎn)工為雙曲線C:二一二=1(4>0)的右焦點(diǎn)，直線y=H與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，若NAF,B=—,則

a43

的面積為()

A.272B.2GC.472D.4G

1

7,已知/(%)=?/-I)

，若方程/（“一2以=?！?有唯一解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

—,0<x<l

[2

A.{-8}u(l,+00)B.U(2,+8)

C.{-8}u—,1u(2,+oo)D.{-32}u[l,2]u(4,+oo)

2

8.在平面直角坐標(biāo)系X。）中，已知A，坊是圓f+丁=上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足風(fēng).西=一土設(shè)4，4

〃〃2\/

到直線x+Gy+〃（〃+1）=0的距離之和的最大值為an,若數(shù)列，的前〃項(xiàng)和S“＜m恒成立，則實(shí)數(shù)〃?的取值

范圍是()

<3]33

A.-,+℃B.—,4-00D.一,+00

14)42

9.已知全集。=乙4={1,2,3,4},B={x|（x+l）（x-3）＞0,xeZ},則集合Ac（Q8）的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

10.陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視

B.(10+2旬兀

D.(11+4回兀

八/71\7171

11.已知函數(shù)/（x）=2cos|ox-g（。＞0）在一耳，5上單調(diào)遞增，則。的取值范圍（）

I2D.(0,2]

22

12.設(shè)6,K分別是橢圓后：鼻+斗=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過尸2的直線交橢圓于A，3兩點(diǎn)，且Ml?%E=0,

AF2=2F\B,則橢圓E的離心率為()

.3.n3c非n近

A?B?C?D?

3434

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知出=-2,53=?2+3?|,則q=.

14.已知關(guān)于x的不等式(砂-於一幻Q-4)>0的解集為4,且4中共含有"個(gè)整數(shù)，則當(dāng)〃最小時(shí)實(shí)數(shù)a的值

為.

15.已知Z，b?2是平面向量，工是單位向量.若="=2，"工=3,且〉B=0，則歸+目的取值范圍是.

7T

16.曲線y=xcosx在處的切線的斜率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)_/(%)=卜一1|+|X—<a|

(I)當(dāng)。=2時(shí)，解不等式/a)24.

(II)若不等式/(x)N2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

18.(12分)某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大

市民對全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的

部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身，設(shè)甲、

III7

乙健身時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別為一，一，健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別為一，且兩人健

4623

身時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).

(1)設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量g(單位：元)，求J的分布列與數(shù)學(xué)期望E(J);

(2)此促銷活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來參與健身活動(dòng)，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)

測此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營業(yè)額.

19.(12分)函數(shù)/(x)=ar-ln(x+l),g(x)=sinx,且.f(x)..0恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的集合

(2)當(dāng)aeM時(shí)，判斷圖象與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

X.

(參考數(shù)據(jù)：In2。0.69,碎儀1.77)

20.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識，高二年級準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保

護(hù)興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理

科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護(hù)興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4

人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.

（1）設(shè)事件A為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有”，求事件A發(fā)

生的概率；

（2）用X表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.（12分）（1）求曲線y=f和曲線y=?圍成圖形的面積；

cos20

（2）化簡求值:

cos35°J1一sin20

TT

22.（10分）已知AABC是等腰直角三角形,NACB=],AC=2.E分別為AC,AB的中點(diǎn)，沿將聞）￡折起,

得到如圖所示的四棱錐A-BCDE.

（I）求證：平面平面ABC.

（n）當(dāng)三棱錐c-ABE的體積取最大值時(shí),求平面\CD與平面A.BE所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

先化簡復(fù)數(shù)z=i（3—2z）,再求三，最后求z：即可.

【詳解】

解：z=z（3-2z）=2+3z,Z=2-3Z

z-z=2"+3~=13.

故選：C

【點(diǎn)睛】

考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合圖像的對稱性和/(O)=1得到A和。.

【詳解】

71=Acos(2x—?+關(guān)于丁軸對稱，所以+e=Z乃(keZ),所以

因?yàn)?(x)=Acos2X——+(P

(p=^+k7v,°的最小值是:"(0)=Acos/H，則A=0，所以/(x)=J^cos(2x+?).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時(shí)需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.

3.D

【解析】

y4-J

畫出曲線x=ly-21+/與.V=3圍成的封閉區(qū)域，匕一表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)笈田和定點(diǎn)(2,-〃連線的斜率，然后結(jié)合圖形

x-2

求解可得所求范圍.

【詳解】

y+/

設(shè)肚=<—,結(jié)合圖形可得A2%或/：<kpB，

x-2

由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為』不,0，,8〃,刀,

.12-(-1)

,,kpA=U=l，kpB=F~=_3,

??kN1或k￡3,

y+/

**----的取值范圍為(?oo,?3]^[1,+oo).

x?2

故選D.

【點(diǎn)睛】

解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題，即把士看作兩點(diǎn)間連線的斜率；二是要正確畫出兩曲

x-2

線所圍成的封閉區(qū)域.考查轉(zhuǎn)化能力和屬性結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

先求出/(力的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(O,e)上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因?yàn)間(x)="一袱,故g'(x)="~,

當(dāng)aWO時(shí),g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(o,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a2g時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令g'(x)=O,解得x=：,

故g(%)在區(qū)間(o,B單調(diào)遞減，在區(qū)間(5,j上單調(diào)遞增.

又g(：)=l+/〃a,g(e)=?-l,且當(dāng)x趨近于零時(shí)，g(x)趨近于正無窮；

對函數(shù)/(x),當(dāng)xe(O,e)時(shí)，/(x)e^-,5^；

根據(jù)題意，對Vxe(O,e),肛,％2G(O,e)且無尸妻，使得穴0=8(%)&=1，2)成立,

只需?，g(e)25,

即可得1+勿。<口,烏一125,

4e

6-

解得ae-,e4.

Le）

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜

合困難題.

5.A

【解析】

過圓x2+y2=，外一點(diǎn)（加,n）,

引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為，加+盯--=0,故選A.

6.D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳，連接A耳,8月，由對稱性可知四邊形A耳8工是平行四邊形，

設(shè)同耳|=、|傷|=4，得4c2=Y+]—2柏cos。，求出皿的值，即得解.

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為A,連接A片,8耳，

由對稱性可知四邊形AFtBF2是平行四邊形，

所以S，MF2=S.gB，A6=2.

設(shè)|M一|網(wǎng)”則4cf+片一如喈量+仁帕

又卜一回=2/3.故弓弓=4〃=16,

所以山柩,=:｛弓sinJ=?

23

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平.

7.B

【解析】

求出.f(x)的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布，求出。的范圍即可.

【詳解】

解:令貝|JO<X+1<1,

貝IIf(x+l)=--,

---1,-1<%<0

V1

故/。)=,如圖示：

；,0,,X<1

12

由f(x)-2ax=a-l,

得f(x)=a(2x+l)-l,

函數(shù)y=a(2x+l)—l恒過A(-；,-1),

由8(1,；),C(O,1),

-+11+1

可得配=—=1，％=2,%=丁4，

若方程/(X)-2以=a-1有唯一解，

貝!11<2《,2或2a>4,即,<a,,1或a>2；

2

2

當(dāng)2ax+a-1=--1即圖象相切時(shí)，

x+1

根據(jù)A=0,9/-8a(a-2)=0,

解得“=76(0舍去)，

則。的范圍是{—16}u(g,l0(2,+00),

故選：B.

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

8.B

【解析】

由于4,紇到直線x+Gy+〃(〃+1)=0的距離和等于4,紇中點(diǎn)到此直線距離的二倍，所以只需求A”紇中點(diǎn)到此

直線距離的最大值即可。再得到兒,從中點(diǎn)的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和4,B“中點(diǎn)到此直線

距離的最大值的關(guān)系可以求出凡。再通過裂項(xiàng)的方法求的前〃項(xiàng)和，即可通過不等式來求解憶的取值范圍.

【詳解】

22

由砥?西=一工，得〃?“?cosNA“Og,=—二，.?./4。紇=120.設(shè)線段紇的中點(diǎn)C“，則

222

2

在圓犬+y2=：_上，4紇到直線X++=0的距離之和等于點(diǎn)C,,到該直線的距離的兩倍，點(diǎn)C,,到直

線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓X2+y2=今的圓心(0,0)到直線X+Gy+〃(“+1)=0

卜(〃+1)|[〃(〃+])

〃]2c11If11

的距離為向可一2一.y=2廠2屋--n-+2n,=2c=c1J，

2Jann'+2/12(〃n+2)

D(11Yl”,11113

+…+=1+<

4。2%43；124J135)\nn+2jj212n+ln+2)4

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積，點(diǎn)到直線的距離，數(shù)列求和等知識，是一道不錯(cuò)的綜合題.

9.C

【解析】

先求B.再求加8,求得A則子集個(gè)數(shù)可求

【詳解】

由題Q8={x[(x+l)(x—3)W0,xeZ}={x[—l<x<3,xeZ}=={—l,0,l,2,3},則集合Ac(Q8)={l,2,3},故

其子集個(gè)數(shù)為23=8

故選C

【點(diǎn)睛】

此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個(gè)數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

10.C

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，

【詳解】

由題意可知幾何體的直觀圖如圖：

上部是底面半徑為1,高為3的圓柱，下部是底面半徑為2,高為2的圓錐，

幾何體的表面積為：4^-+—x4^-x2\/2+2^,x3=(10+4>/2)^,

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

11.B

【解析】

ITTTTT7TTFJTTT

由——WXW一,可得一一(0——<a)x一一<-ty一一，結(jié)合y=cosx在[-^,01上單調(diào)遞增，易得

3233323

兀717171

一30一8'20一3—[一私"，即可求出”的范圍.

【詳解】

,n兀兀兀兀兀兀

由——WxW—,可得——0)——<a)x——<—(0——,

3233323

,,7171

%=0時(shí),/(0)=2儂，而0e-y,-

3J

7T-

又y=cosX在L-TC,O]上單調(diào)遞增，且G[-71,0],

兀兀

—co—N-兀

33a)<2

~兀兀兀兀兀兀」八22

所以一;0_二,不刃一;C[-K,O]，則<—co——<0，即一，故0<<y?—.

33232333

a>>0(y>0

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

根據(jù)Ag=2可表示出線段長度，由勾股定理，解出每條線段的長度，再由勾股定理構(gòu)造出“，c關(guān)系，求出離心率.

【詳解】

-.-AF2=2F?B

設(shè)BF、=x,則AF2—2x

由橢圓的定義，可以得到=2。-2尤,8耳=2。一%

-.■AFX-AF2=0,，AFt±AF2

在放AA耳8中，有（2a—2x）2+（3x）2=（2a—x『，解得彳=三

…2。-4a

和=5,然=5

2

2a丫

在RtZVIEK中，有+(2c)2

3J

整理得捺得當(dāng)

故選C項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法，通過幾何關(guān)系，構(gòu)造出a，C關(guān)系，得到離心率.屬于

中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.——

2

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為《，將已知條件等式轉(zhuǎn)化為%應(yīng)關(guān)系式，求解即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

Sy—a,+3q,。鼻=2q,..q~=2,

4

a5=atq—4a,=—2,a1——.

故答案為：-.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.-1

【解析】

討論。<0,。=0,。>0三種情況，a<0時(shí),根據(jù)均值不等式得到。+3=-(-a--)<-1=-4,計(jì)算

aa\a)

等號成立的條件得到答案.

【詳解】

已知關(guān)于x的不等式(ar-/-4)(X-4)>0,

44

①aVO時(shí)，[x-(Q+-)](x-4)<0,其中〃+-V0,

aa

,4

故解集為(。循—4),

a9

?44

由于a+—=-(-a----)<-1

aa

4

當(dāng)且僅當(dāng)-a二--,即。=-1時(shí)取等號,

44

，a+一的最大值為-4,當(dāng)且僅當(dāng)〃+—=-4時(shí)，A中共含有最少個(gè)整數(shù)，此時(shí)實(shí)數(shù)〃的值為-1；

aa

②。=0時(shí)，-4(x-4)>0,解集為(-8,4),整數(shù)解有無窮多，故。=0不符合條件；

44

③0>0時(shí)，［x-(a+—)］(x-4)>0,其中0+—24,

aa

4

二故解集為(-8,4)U(a+—，+00),整數(shù)解有無窮多，故。>0不符合條件；

a

綜上所述，a=-l.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

15.［5,+oo)

【解析】

先由題意設(shè)向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解.

【詳解】

由2是單位向量.若球=2,5痣=3,

設(shè)。=(1,0),

則a=(2,M,6=(3,〃)，

又a石=0,

則mn=-6,

貝!|d+b=(5,,〃+")>

貝!I5+61=y)25+(m+n)2,

又(,〃+〃)，.0,

所以|&+b|..5,(當(dāng)加=娓,〃=-y/6或m=-#,〃=A/6時(shí)取等)

即|,+5］的取值范圍是［5,+oo),

故答案為：15,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

IA1任

10.--------------

26

【解析】

TT

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令x=§,即可求出切線斜率.

【詳解】

,/y=/(%)=xcosx,

/r(x)=cosx-xsinx,

即曲線^=%85%在％=三處的切線的斜率％=_1—叵

326

故答案為：_L一叵

26

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)x<--,;(II)(-00」.

I22jI3」

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對值解不等式；(2)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)得了(%)引4-1|,因此將問

題轉(zhuǎn)化為-1122a恒成立，借此不等式即可.

試題解析:

/、^<11<%<2x>2

⑴由小)“得,\一2x“或*或

1>42x-3>4

i、7

解得：x<—>—

22

17

所以原不等式的解集為xxW—工，.

22

(II)由不等式的性質(zhì)得：/(%)>|?-1|,

要使不等式/(x)N2a恒成立，貝!|卜一1歸2a

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立;

當(dāng)〃>()時(shí)，解不等式|。一1|22〃得

綜上aW—.

3

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為卜叫g(shù).

18.(1)見解析，40元(2)6000元

【解析】

(1)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情

況，分情況計(jì)算即可

(2)根據(jù)(1)結(jié)果求均值.

【詳解】

解：(1)由題設(shè)知&可能取值為0,20,40,60,80,則

1121

P偌=60）—x——|——X—=—

26434

11I

P（J=80）=-x—=—.

4624

故J的分布列為:

4020406080

P151

244n424

所以數(shù)學(xué)期望E(4)=0x(+20x；+40xV+60x；+80x(=40(元)

(2)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營業(yè)額預(yù)計(jì)為：40x300x1=6000(元)

2

【點(diǎn)睛】

考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.

19.(1){1}；(2)2個(gè),證明見解析

【解析】

(1)要/(x)-0恒成立，只要f(x)的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看f(x)是否有最小值；

(2)將/(x)圖像與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程f\x)=g(x)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)

0(x)=/(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)/(X)的定義域?yàn)?-1,+8),因?yàn)?'(幻=。一——,

X+1

1°當(dāng)6,0時(shí)，/‘。)<0,/。)在3%€(0,+00)上單調(diào)遞減，3xe(0,+oo)時(shí)，使得/(x)</(0)=0,與條件矛盾；

2。當(dāng)。>0時(shí)，由/?'(幻<0,得—由/'(x)>0,得x>L-l,所以.f(x)在1-1,,一1］上單調(diào)遞減，

在1,+gj上單調(diào)遞增，即有7mM(x)=/(［-l］=l-a+lna,由/(x)..O恒成立，所以1一a+lna.0恒成立,

令h(a)=l-?+lna(a>0),h\d)=-l+—=-,

aa

若0<a<1,0,〃(a)<〃⑴=0；

若a>1,“(a)<0,〃(a)<“(1)=0；而a=l時(shí)，/?(a)=0,要使1-a+lna.O恒成立，

故ae{l}.

(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=g(x)實(shí)根個(gè)數(shù)問題，

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)圖象與g(x)圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，理由如下：

由/(x)=g(x),即x-ln(x+l)-sinx=0,令e(x)=x-ln(x+l)—sinx,

因?yàn)椤?0)=0,所以％=0是0(x)=0的一根；e'(x)=l——-——cosx,

x+1

1。當(dāng)-l<x<0時(shí)，1---^(0,cosx)0,

所以”(x)<0,8(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，°(x)>e(0)=0,即e(x)=0在(-1,0)上無實(shí)根；

2°當(dāng)0<x<3時(shí)，e"(x)=,1+sin光>0,

(x+1/

則°(x)在(0,3)上單調(diào)遞遞增，又夕'仔］=1一一二>0,夕'(0)=-1<0,

所以e(x)=0在(0,3)上有唯一實(shí)根毛,/d0,彳］，且滿足1-=cos玉)，

\2/玉)+1

①當(dāng)0<工,X。時(shí)，9'(九)"O,9(x)在(0,%］上單調(diào)遞減，此時(shí)0(%)<°(。)=0,0(尤)=0在(0,/］上無實(shí)根；

(乃、］(乃、g2

②當(dāng)X。<X<3時(shí)，<p'(x)>0,(p(x)在(尤0,3)上單調(diào)遞增，9(而)<。⑸=萬TTn［5+1尸n--

2+1

2,、

<ln-----(in1=0,^(3)=3-sin3-21n2=2(1-In2)+1-sin3)0、仆力/NL■士做士用

?！?，故奴x)=O在(％,3)上有唯一實(shí)根.

----r1

2

3。當(dāng)x23時(shí)，由(1)知，x—ln(l+x)—1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以x—ln(l+x)—L.2—2山2=2山芻>0,

2

故°(x)=x-ln(l+%)—sinx=%—ln(l+x)—1+(1—sinJV)>0,所以0(x)=0在［3,+8)上無實(shí)根.

綜合1。，2。，3。，故0(x)=0有兩個(gè)實(shí)根，即/(x)圖象與g(x)圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，屬于較難題.

4

20.(1)'：(2)見解析

【解析】

(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可(2)由超

幾何分布求解即可

【詳解】

(1)因?yàn)閷W(xué)生總數(shù)為1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人,

文科男生1人，女生3人.

所以在工C.C—40一4

所以()一品一前一

(2)X的可能取值為0,