自動控制原理第五章頻域分析法

第1頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日教學(xué)目的頻域分析法是經(jīng)典控制理論中針對控制系統(tǒng)頻域模型的分析方法，討論控制系統(tǒng)的頻率特性，反映正弦信號作用下，系統(tǒng)響應(yīng)的性能。通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生們掌握頻率特性的基本概念，掌握控制系統(tǒng)的頻域分析方法，頻率特性曲線的繪制方法，控制系統(tǒng)頻率穩(wěn)定判據(jù)和頻域指標的估算。第2頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日教學(xué)重點1、振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性曲線2、開環(huán)幅相曲線繪制3、開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線4、頻域穩(wěn)定判據(jù)，奈奎斯特判據(jù)，對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)5、穩(wěn)定裕度的概念第3頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日教學(xué)內(nèi)容1、頻率特性的概念2、典型環(huán)節(jié)頻率特性3、開環(huán)幅相曲線繪制方法，重點：開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線4、頻域穩(wěn)定判據(jù)，奈奎斯特判據(jù)，對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)5、穩(wěn)定裕度的概念6、閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標第4頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日要求與學(xué)時1、掌握頻域分析的基本概念，分析方法2、繪制開環(huán)頻率特性，重點是繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性3、頻率穩(wěn)定判據(jù)，重點是用對數(shù)頻率特性圖（Bode圖）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4、穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)穩(wěn)定性能的關(guān)系5、閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標6、學(xué)時：12學(xué)時第5頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章第一次課一、頻域分析的概念：掌握如下幾種曲線的繪制和意義幅頻曲線圖、相頻曲線圖、幅－相曲線圖、對數(shù)頻率特性圖（Bode圖）。二、認識典型環(huán)節(jié)及開環(huán)頻率特性曲線：幅相曲線、對數(shù)頻率特性曲線。三、重點：振蕩環(huán)節(jié)頻率特性作業(yè)題：5－2、5－4、5－5思考題：5－7第6頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章第二次課一、開環(huán)幅－相曲線繪制概略繪制開環(huán)幅相曲線的三個要素：1.ω=0+和ω＝∞；2.幅相曲線與實軸的交點；3.幅相曲線的走向二、含積分環(huán)節(jié)的幅－相曲線的繪制三、開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制作業(yè)：5－9、5－10第7頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章第三次課一、繼續(xù)講開環(huán)對數(shù)頻率特性繪制方法二、最小相位系統(tǒng)與傳遞函數(shù)關(guān)系作業(yè)：5－11（1）（3）、5－12bc第8頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章第四次課一、頻域穩(wěn)定判據(jù)1.奈奎斯特判據(jù)基礎(chǔ)2.幅角原理3.奈奎斯特判據(jù)4.正穿越、負穿越的含義作業(yè)：5－13、5－14（1）（3）（5）（7）（9）第9頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章第五次課一、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)1.對數(shù)頻率曲線與奈奎斯特曲線的對應(yīng)關(guān)系2.在Bode圖中，所謂的正穿越、負穿越的含義二、穩(wěn)定裕度1.幅值裕度h2.相角裕度γ作業(yè)題：5－17、5－19思考題：5－18第10頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章第六次課一、閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標1.尼科爾斯圖線2.閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標與時域指標的轉(zhuǎn)換二、本章小結(jié)作業(yè)：5－22、5－25第11頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章頻率頻域分析法頻率響應(yīng)法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種控制系統(tǒng)分析方法，與上一章介紹的根軌跡法一樣，它也是一種工程方法。

能根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性圖形直觀地分析系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)；還能判別某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。

可以對基于物理模型的系統(tǒng)性能進行分析；還可以對來自于實驗數(shù)據(jù)的系統(tǒng)進行有效分析。

不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。

研究的主要手段有極坐標圖(Nyquist圖)和伯德圖(Bode圖)法。

第12頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)頻率特性二由實驗方法求頻率特性

正弦信號發(fā)生器

實驗裝置（系統(tǒng)或元件）

雙蹤示波器

圖5－3求頻率特性的實驗方法

系統(tǒng)的幅頻特性：

系統(tǒng)的相頻特性：

第13頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5-2頻率特性以RC網(wǎng)絡(luò)為例，說明頻率特性的基本概念。RCUiUo取拉氏變換，求網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)如果輸入為正弦量：由電路分析，電路達到穩(wěn)態(tài)時，輸出也是以ω為角頻率的正弦量。在傳遞函數(shù)中G(s)中，只要令s=jω，則可由⑴式得到⑵式。第14頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5-2頻率特性控制系統(tǒng)的三種數(shù)學(xué)模型：微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性可以相互轉(zhuǎn)換，它們的關(guān)系見右圖。第15頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。第16頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5-2頻率特性頻率特性定義：線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對頻率關(guān)系的特性。由定義可知，只有系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，才可能測出頻率特性；對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，頻率特性是觀察不到的。由于G(s)是個復(fù)數(shù)，可分別求出其幅值和相角關(guān)系。它們都是角頻率ω的函數(shù)，分別稱為幅頻特性和相頻特性。第17頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－2頻率特性極坐標圖示法是頻率特性法分析中常采用的一種圖解法。

當輸入信號的頻率ω由0->變化時，向量G(jω)的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點在復(fù)平面上移動而形成的軌跡，稱為極坐標圖，又稱為G(jω)的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲線，簡稱奈氏圖。

實頻特性虛頻特性相頻特性幅頻特性第18頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5-2頻率特性分別畫出幅頻特性A(ω)和相頻特性Φ(ω)的曲線。ω=0A(ω)=1φ(ω)=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=－90°ω=1/TA(ω)=0.707φ(ω)=－45°A(ω)10.7071/TωΦ(ω)ω－45°－90°1/T第19頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日頻率特性頻率特性也稱頻率響應(yīng)，它是指系統(tǒng)或部件對不同頻率的正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。

一由傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)第20頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日頻率特性對應(yīng)的幅值和相角：

同理，可求得對應(yīng)于2的|G(j2)|和(j2)

。

若對取所有可能的值，則可得到一系列相應(yīng)的幅值和相位。其中幅值隨頻率變化而變化的特性稱為系統(tǒng)的幅頻特性。相角隨頻率變化而變化的特性稱為系統(tǒng)的相頻特性。

第21頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日頻率特性的幾何表示法頻率特性的幾何表示法有：

1、幅頻、相頻特性曲線；

2、幅相曲線；

3、對數(shù)頻率特性曲線（對數(shù)幅頻、對數(shù)相頻曲線）；

4、對數(shù)幅相曲線（Nichols曲線)一、幅頻、相頻特性曲線，前已介紹過，即以角頻率ω為變量，分別作出A(ω)φ(ω)曲線。第22頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日頻率特性的幾何表示法二、幅相曲線，以ω為參變量，將幅頻、相頻特性同時表示在復(fù)數(shù)平面上。實軸正方向為相角零度線。逆時針方向的角度為正角度；順時針方向的角度為負角度。對于一個確定的ω值，必定有一個確定的幅值、相角與其對應(yīng)。如：ω＝0A(ω)=1φ(ω)=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=－90°Im0ωω=01M(ω)θ(ω)Re幅相曲線反映了ω從0→∞幅值和相角變化的情況。第23頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日習(xí)題1例設(shè)一線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試繪制該系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。

解：傳遞函數(shù)零、極點的分布如圖所示。

圖5－1零、極點分布-1+j0-2+j4-2-j40j令s=j2代入不同的頻率值，重復(fù)上述的計算，就可求得對應(yīng)的一組|G(j)|和(j)值。

第24頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日習(xí)題1幅度相角G=tf(10*[1,1],[1,4,20]);X=[];Y=[];w=logspace(-1,1,100);[x,y,w]=bode(G);……

第25頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日習(xí)題2例試繪制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線：

解：該開環(huán)系統(tǒng)由三個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，它們的幅、相頻率特性分別為：

因而開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性，相頻特性：第26頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日習(xí)題2在MATLAB中，有專門的函數(shù)用于繪制開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖：Nyquist。

g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1]))Transferfunction:10-------------------0.1s^2+1.1s+1nyquist(g)

第27頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日頻率特性的幾何表示法頻率特性的另一種圖示法：對數(shù)坐標圖。它不但計算簡單，繪圖容易，而且能直觀地表明開環(huán)增益、時間常數(shù)等參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。

由對數(shù)幅頻特性圖和相頻圖兩部分組成。對數(shù)幅頻特性圖的縱坐標為20lg|G(j)|，單位是分貝，用符號dB表示，常把用符號L()表示。相頻圖的縱坐標為()，單位是弧度或()。兩張圖的縱坐標均按線性分度，橫坐標是角頻率，常用lg分度，從而形成了半對數(shù)坐標系。

3.對數(shù)頻率特性第28頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日頻率特性的幾何表示法橫坐標采用lg的對數(shù)坐標分度對于擴展頻率特性的低頻段，壓縮高頻段十分有效。在以分度的橫坐標上，1到10的距離等于10到100的距離，這個距離表示十倍頻程，用符號dec表示。對數(shù)幅頻特性的“斜率”一般用分貝/十倍頻（dB/dec）表示。對數(shù)坐標圖又稱伯德圖或Bode圖。

ω與lgω的關(guān)系：ω12345678910lgω00.30100.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541第29頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日對數(shù)坐標系對數(shù)坐標圖第30頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日對數(shù)頻率特性曲線第31頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅頻、相頻特性曲線的優(yōu)點：1、在有限的坐標區(qū)域內(nèi)表示廣闊的頻率范圍2、將幅值的乘除運算化為加減運算，如：第32頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性典型環(huán)節(jié)：一個復(fù)雜的系統(tǒng)總可以分解成幾個典型環(huán)節(jié)的組合。典型環(huán)節(jié)分為兩大類：1、最小相位環(huán)節(jié)：系統(tǒng)開環(huán)零、極點在左半s平面2、非最小相位環(huán)節(jié)：系統(tǒng)在右半s平面存在零、極點第33頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性一、比例環(huán)節(jié)KRe0Im幅相曲線是實軸上坐標k點，如右圖對數(shù)幅頻、相頻特性如右圖：第34頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性二、積分環(huán)節(jié)幅頻特性與ω成反比，相頻特性恒為－90°Imω=0對數(shù)幅頻：L(ω)=－20lgω相頻特性:φ(ω)=－90°ω=1L(ω)=0；ω=10L(ω)=－20ω=100L(ω)=－40ω=0.1L(ω)=20每當ω增加十倍，L(ω)減少20dB負20分貝十倍頻程－20dB/dec第35頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性如果傳遞函數(shù)中含有個積分環(huán)節(jié)，即，則它的對數(shù)幅頻和相頻表達式可分別寫成由此可知是一簇斜率為-20dB/dec的直線，且在=1處，L()=20lgK，如圖所示。這些不同斜率的直線通過0dB直線的頻率為。10-1100101102103020406080100-40dB/dec0型系統(tǒng)2型系統(tǒng)1型系統(tǒng)

-20dB/dec-60dB/dec3型系統(tǒng)

K＝1000

＝0，1，2，3第36頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日積分環(huán)節(jié)L(ω)①G(s)=1s②G(s)=10s1③G(s)=5s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]第37頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性三、微分環(huán)節(jié)ImRe0ω=0幅頻特性與ω成正比，相頻特性恒為90°對數(shù)幅頻：L(ω)=20lgω相頻特性:φ(ω)=90°ω=1L(ω)=0；ω=10L(ω)=20ω=100L(ω)=40ω=0.1L(ω)=－20微分環(huán)節(jié)是一條20dB/dec直線第38頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日①G(s)=s②G(s)=2s③G(s)=0.1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]微分環(huán)節(jié)L(ω)第39頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性四、慣性環(huán)節(jié)θ(ω)Im0ωω=01M(ω)Re0.5可以證明，慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線是以（0.5，j0)為圓心，0.5為半徑的半圓。分析幅相特性，當ω＝0時，幅值最大，|G(jω)|=1，因此輸入信號無衰減，Ue(jω)=Ui(jω)；當ω＝∞時，幅值最小，

|G(jω)|=0。所以，慣性環(huán)節(jié)在低頻范圍內(nèi)，信號容易通過，在高頻范圍內(nèi)信號不容易通過。因此，它又稱為“低通濾波器”，其最大滯后相角第40頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性對數(shù)幅頻特性、頻特性：精確畫出L(ω)曲線，是取ω從零到無窮時，計算出L(ω)，但工程上常用簡便方法作圖，而不急于代入數(shù)字逐點計算。先分析曲線的大致趨向：1、當ωT<<1時，即：ω<<1/T，這是一條與橫軸重合的直線。2、當ωT>>1時，即ω>>1/T，每當ω增加十倍時，L(ω)減小20分貝所以，當頻率很高時，對數(shù)幅頻特性可用斜率為－20dB/dec的直線近似表示。第41頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性3、當ωT＝1，即：ω＝1/T時，低頻漸近線高頻漸近線轉(zhuǎn)折頻率精確曲線綜上所述，慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性右用二條直線近似表示，在0＜ω≤1/T的低頻范圍內(nèi)，L(ω)是一條0分貝直線；在1/T＜ω＜∞的高頻范圍內(nèi)，L(ω)是一條－20dB/dec直線；兩條直線交于ωt＝1處，ω＝1/T稱為交接頻率。交接頻率將近似對數(shù)幅頻特性曲線分為二段：低頻段和高頻段。第42頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日慣性環(huán)節(jié)G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.45 0.37 0.24 0.05第43頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100慣性環(huán)節(jié)L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o第44頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性五、振蕩環(huán)節(jié)二階系統(tǒng)當0<ξ<1時，系統(tǒng)是衰減振蕩幅頻特性第45頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅頻特性相頻特性ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.1ω=0當ω＝0：|G(j0)|=1當ω＝∞：|G(j∞)|=0第46頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性所以，振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性在復(fù)平面中以(1，j0)為起點，當ω→∞時，A(ω)=|G(j∞)|→0當ω=ωn(無阻尼自然振蕩頻率）時，幅值：相角：幅值隨ξ減小而增大，當ξ小于某個值時，其幅值可能大于1，幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值Mr，諧振峰值對應(yīng)的頻率稱為諧振頻率ωr。第47頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性通過求幅值A(chǔ)(ω)對ω的導(dǎo)數(shù)，可求出諧振頻率和諧振峰值。諧振頻率：諧振峰值：第48頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日振蕩環(huán)節(jié)G(jω)曲線（Nyquist曲線）0j1第49頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性所以，L(ω)≈-20lg1=0因此，低頻段特性是零分貝線。每當ω增加十倍時，L(ω)減小40分貝，所以高頻段是一條斜率為－40dB/dec直線。第50頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性綜上所述，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性可以用二條直線近似表示在0<ω≤ωn的低頻段范圍內(nèi)，L(ω)是一條零分貝直線；在ω>ωn的高頻段范圍內(nèi)，L(ω)是一條－40dB/dec直線。ωnL(ω)ω-40dB/dec這二條直線可表示為：第51頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日振蕩環(huán)節(jié)L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]第52頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日振蕩環(huán)節(jié)再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5ξ=0.50.5＜ξ＜1友情提醒:φ(ωn)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w=ω=

r第53頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性六．時滯環(huán)節(jié)ImRe0ωω=01圖5－10時滯環(huán)節(jié)奈氏圖Re圖5－11時滯環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)在低頻段的等效性在低頻區(qū)，時滯環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的頻率特性很接近，因為：

Im0ωω=01ω第54頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性六．時滯環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性

第55頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性六、關(guān)于一階微分環(huán)節(jié)，二階微分環(huán)節(jié)由于一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，G1(s)=1/G2(s)

所以，一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻曲線關(guān)于0dB線對稱；相頻曲線關(guān)于0°線對稱。第56頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性七、關(guān)于最小相位環(huán)節(jié)與非最小相位環(huán)節(jié)⑴最小相位環(huán)節(jié)與非最小相位環(huán)節(jié)，它們的幅頻特性相同，相頻特性符號相反，幅相曲線關(guān)于實軸對稱。⑵它們的對數(shù)幅頻曲線相同，對數(shù)相頻曲線關(guān)于0°線對稱。大家可以按前面所講的方法求證。第57頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性八、關(guān)于對數(shù)幅頻特性近似作圖的誤差在工程中為了簡化作圖，常用低頻和高頻段的漸近線近似表示對數(shù)幅頻曲線，它們與精確曲線存在一定的誤差。如：慣性環(huán)節(jié)，近似作圖在ωT=1處，L(ω)=0，而根據(jù)精確作圖，二者存在誤差：ωT0.10.250.512410ΔL(ω)-0.04-0.32-1-3-1-0.32-0.04誤差表如下：第58頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性一階慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性能用其兩條漸近線近似表示，則將使作圖大為簡化。但這兩種表示方法會產(chǎn)生一定的誤差，最大的幅值誤差產(chǎn)生在轉(zhuǎn)折頻率處。由于漸近線易于繪制，且與精確曲線之間的誤差較小，所以在初步設(shè)計時，環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻曲線可用其漸近線表示。如果需要繪制其精確的對數(shù)幅頻曲線，可按照圖修正。

對數(shù)幅頻特性表明該環(huán)節(jié)具有低通濾波器的特性。如果系統(tǒng)的輸入信號中含有多種頻率的諧波分量，那么在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出只能復(fù)現(xiàn)輸入信號中的低頻分量，其它高頻分量的幅值將受到不同程度的衰減，頻率越高的信號，其幅值的衰減量也越大。相頻特性的繪制一般不用近似法，但也可用一些特殊點進行粗略繪制，然后逐點連接成曲線即可。第59頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特、漸近線

相角曲線

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻曲線、相頻曲線與ξ值的大小有關(guān)，所以，精確曲線與近似曲線之間的誤差比較復(fù)雜。見下圖第60頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性九、關(guān)于對數(shù)坐標系中的直線方程對于近似作圖，對數(shù)幅頻曲線是用直線近似，則直線方程為：式中，[ω1，L(ω1)]，[ω2，L(ω2)]為直線上兩點，k(dB/dec)為直線斜率。第61頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)幅相曲線繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性有三種方法繪制：1.可按開環(huán)傳遞函數(shù)的極點－零點分布圖用圖解方法計算繪制。根據(jù)零、極點分布，取不同的ω值，分別計算出幅值和相角。ReImωPABO第62頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)幅相曲線繪制2.列出開環(huán)幅頻特性、相頻特性的表達式，用解析法計算出幅值和相角各點的值，再繪圖。3.概略繪制開環(huán)幅相曲線方法（著重介紹）概略繪制開環(huán)幅相曲線有三個要素：a.確定幅相曲線的起點(ω=0)和終點(ω=∞)b.確定幅相曲線與實軸的交點，設(shè)ω=ωx時，幅相曲線與實軸相交，則有：求出ωx值后，代入實部表達式Re[G(jωx)H(jωx)]得到實軸的交點。c.判斷開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限、單調(diào)性）第63頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)幅相曲線繪制例：5－1概略繪制0型系統(tǒng)幅相曲線系統(tǒng)由一個比例環(huán)節(jié)、二個慣性環(huán)節(jié)組成。1.確定開環(huán)幅相曲線的起點和終點第64頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)幅相曲線繪制2.確定開環(huán)幅相曲線與實軸的交點0ω=∞ω=0kωReIm令虛部j(T1+T2)ωx=0求得：ωx=0

說明系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線僅在ωx=0處與實軸有交點。3.由于慣性環(huán)節(jié)單調(diào)地從0°-90°,因為該系統(tǒng)有二個慣性環(huán)節(jié)，所以曲線變化范圍為第四、第三象限(-180°)。第65頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)幅相曲線繪制綜上所述，概略繪制幅相曲線的步驟為：1.零型系統(tǒng)在ω=0時的幅值恰好是開環(huán)傳遞系統(tǒng)k。2.本例中是由兩個慣性環(huán)節(jié)組成，因為慣性環(huán)節(jié)當ω=∞時，幅相曲線趨于0∠-90°。所以本例中當ω=∞時，幅相曲線趨于0∠2×(-90°)=0∠-180°。推而廣之，若系統(tǒng)包含n個慣性環(huán)節(jié)，則ω=∞時，幅相曲線必然趨向于0∠n×(-90°)。3.如果系統(tǒng)還包含一階微分環(huán)節(jié)(TS＋1)，因為ω→∞時，一階微分環(huán)節(jié)相頻特性從0→90°，所以，總的相頻特性有如下特點：∠G(jω)=(m-n)90°,m：一階微分環(huán)節(jié)個數(shù)；n：慣性環(huán)節(jié)個數(shù)。第66頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)幅相曲線繪制例：5－2，繪制Ⅰ型系統(tǒng)幅相曲線系統(tǒng)由比例、積分和二個慣性環(huán)節(jié)組成由頻率特性第67頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)幅相曲線繪制幅相曲線在起點處的幅值與實軸的交點第68頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)幅相曲線繪制綜上所述，在ω=0處，Ⅰ型系統(tǒng)的幅相曲線從[-k(T1+T2)，∞]處起。Re[G(j0)]=-k(T1+T2)為系統(tǒng)的低頻漸近線ωωω=0ω=∞ReIm①②由于系統(tǒng)分析時不需要準確知道漸近線的位置，故一般根據(jù)取漸線為坐標軸，如曲線②Ⅰ型系統(tǒng)的幅相特性從負虛軸方向無窮處地開始。高型號的幅相特性見P199圖5－20因此，根據(jù)G(jω)的幅相曲線的起始位置可以判斷系統(tǒng)的類型。第69頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)極坐標圖1．0型系統(tǒng)

2．1型系統(tǒng)

3．2型系統(tǒng)

第70頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線因為開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以看成由若干個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。所以，其對數(shù)幅頻特性相頻特性開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖

第71頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)對數(shù)坐標圖比較開環(huán)系統(tǒng)的極坐標方法，用伯德圖表示的頻率特性有如下優(yōu)點：

（1）把幅頻特性的乘除運算轉(zhuǎn)變?yōu)榧訙p運算。（2）在對系統(tǒng)作近似分析時，一般只需要畫出對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，從而大大簡化了圖形的繪制。（3）在采用實驗方法時，可將測得系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）頻率響應(yīng)的數(shù)據(jù)畫在半對數(shù)坐標紙上。

第72頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)對數(shù)坐標圖一般繪制開環(huán)系統(tǒng)伯德圖的步驟如下：

（1）寫出開環(huán)頻率特性的表達式，將其寫成典型環(huán)節(jié)相乘的形式。

（2）將所含各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率由小到大依次排列。如果存在比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)，由于它們沒有轉(zhuǎn)折頻率，可以排在最左邊。

第73頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)對數(shù)坐標圖（3）繪制開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的漸近線。a)確定低頻段上積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)的漸近線，其低頻段的斜率為-20dB/dec，其中為積分環(huán)節(jié)數(shù)。

b)在=1處，L()=20lgK。

c)沿著頻率增大的方向，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率就改變一次分段直線的斜率。-20dB/dec＋20dB/dec-40dB/dec第74頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)對數(shù)坐標圖例5－4已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖。

解：（1）系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

該系統(tǒng)是由比例、積分、微分和慣性環(huán)節(jié)所組成。

幅頻特性相頻特性第75頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)對數(shù)坐標圖（2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻率分別為2和10。

（3）作出該系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線。

在低頻段，由于＝1，因而漸近線的斜率為－20dB/dec。在＝1處，其幅值為20lg10=20dB。當2時，由于慣性環(huán)節(jié)對信號幅值的衰減任用，使分段直線的斜率-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec。同理，當10時，由于微分環(huán)節(jié)對信號幅值的提升作用，使分段直線的斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec。（4）對幅頻特性曲線進行修正。

（5）作系統(tǒng)相頻特性曲線，可先求1～4，然后疊加。

第76頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)對數(shù)坐標圖第77頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線例：某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制近似近似對數(shù)幅頻曲線，相頻曲線。解：該系統(tǒng)由三個典型環(huán)節(jié)組成，比例環(huán)節(jié)：7；積分環(huán)節(jié)：1/S；慣性環(huán)節(jié)：1/(0.087S+1)所以對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：分析對數(shù)幅頻曲線：是一條直線是一條－20dB/dec直線，在ω=1處穿越0dB線第78頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線交接頻率：ω=1/T=1/0.087=11.5(rad/s)當ω≤11.5時，L3(ω)=0當ω≥11.5時，L3(ω)為－20dB/dec直線分別作出L1(ω)、L2(ω)、L3(ω)，然后把三條曲線疊加起來。ω＜11.5時，慣性環(huán)節(jié)為0dB值，所以只有L1(ω)和L2(ω)相加。L

(ω)＝L1(ω)＋L2(ω)＝16.9－20lgω當ω＝1時，L

(1)＝16.9(dB)，過(1，16.9)作一條-20dB/dec直線，當ω≥11.5時，再與L3(ω)疊加，得到-40dB/dec直線。第79頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)幅頻曲線①L1(s)=7②L2(s)=1s③L3(s)=10.087s+11010.2L(ω)dBω0dB2040-40-20100L1(ω)L3(ω)11.5L

(ω)L2(ω)-20dB-20dB-20dB-40dB0dB第80頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線

由上述作圖曲線，在開環(huán)對數(shù)頻率特性近似作圖時，可以以交按頻率為界，將曲線分段為：－20dB/dec直線－40dB/dec直線第81頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線近似對數(shù)幅頻曲線作圖討論：1.最左端直線的斜率為:－20dB/dec，這一斜率完全，由G(s)的積分環(huán)節(jié)數(shù)決定，Ⅰ型系統(tǒng)（一個積分環(huán)節(jié)）為－20dB/dec

Ⅱ型系統(tǒng)（二個積分環(huán)節(jié)）為－40dB/dec

ν型系統(tǒng)為－20νdB/dec

提問：0型系統(tǒng)的最左端直線的斜率是多少？2.最左端（低頻段）直線與零分貝線的交點處的頻率數(shù)值上恰好等于k，證明：第82頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線3.在ω＝1時，曲線的分貝值等于20lgk=20lg7，證明：4.在慣性環(huán)節(jié)的交接頻率ω=11.5rad/s處，曲線斜率從－20dB/dec變化為－40dB/dec。第83頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線由以上討論，可以推出，畫近似對數(shù)幅頻特性曲線有如下特點：1.對任意的開環(huán)傳遞函數(shù)，按典型環(huán)節(jié)分解成：2.將各環(huán)節(jié)的交接頻率標注在對數(shù)坐標圖的橫軸上3.記ωmin為最小交接頻率，ω<ωmin的頻率范圍為低頻段4.低頻段直線的斜率為－20νdB/dec，ν是積分環(huán)節(jié)個數(shù)，第84頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線5.為確定低頻段直線，可取ω＝1則低頻段直線或其延長線(在ω<1的頻率范圍內(nèi)有交接頻率)的分貝值是20lgk；低頻段直線或其延長線與橫坐標交點頻率數(shù)值上等于證明：傳遞函數(shù)可以寫成式中，G0(s)是G

(s)中除比例和積分兩種環(huán)節(jié)外的其余部分。當G0(s)的交接頻率ω’大于對數(shù)幅頻曲線與橫軸相交的頻率ω時，ω’>ω，則：20lg|G0(s)|≈0第85頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線當頻率為ω時，對數(shù)幅頻特性曲線穿越橫坐標時，L(ω)=0所以，低頻段的對數(shù)幅頻特性由下式?jīng)Q定：ω’ωL(s)ω第86頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線ω’ωL(s)ω如果ω’<ω，由近似對數(shù)幅頻特性的作法，則曲線經(jīng)過ω’時，其斜率要改變一次，在這種情況下，則是低頻段直線的延長線與0分貝線交點頻率滿足第87頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線6.在交接頻率處，曲線的斜率改變多少取決于典型環(huán)節(jié)種類，如：在慣性環(huán)節(jié)后，斜率減少20dB/dec，振蕩環(huán)節(jié)后減少40dB/dec。提問：在一階微分環(huán)節(jié)，二階微分環(huán)節(jié)后近似對數(shù)頻率特性的斜率如何改變？第88頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性確定傳遞函數(shù)在對數(shù)頻率特性圖上，如果最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的幅值特性相同，那么最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍比非最小相位系統(tǒng)小，而且最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線的變化趨勢和其相頻曲線的變化趨勢是一致的。即對數(shù)幅頻曲線的斜率減小時其相角變化也減小。因此，最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻、相頻特性之間有確定的關(guān)系。所以，利用對數(shù)頻率特性分析最小相位系統(tǒng)時，可以根據(jù)對數(shù)幅頻曲線來確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第89頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性確定傳遞函數(shù)如何根據(jù)對數(shù)頻率特性來判斷最小相位系統(tǒng)？設(shè)最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分子、分母的最高次冪分別是：m和n，當ω→∞時，兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性斜率都是－20(n－m)dB/dec，但相頻曲線卻不同。對于最小相位系統(tǒng)，ω→∞時，而對于非最小相位系統(tǒng)，則不滿足上關(guān)系。第90頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－4頻率穩(wěn)定判據(jù)在頻域分析中，穩(wěn)定判據(jù)有二種，Niquest判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)。Niquest判據(jù)是根據(jù)開環(huán)幅相曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準則。對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。第91頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－4頻率穩(wěn)定判據(jù)回顧幾種穩(wěn)定判據(jù)：1.勞期－霍爾維茨判據(jù)，依據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.根軌跡法，依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.頻率穩(wěn)定判據(jù)的特點：a.當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達式不知道時，就無法用勞期－霍爾維茨判據(jù)或根軌跡法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而用頻率判據(jù)就很方便，因為開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性可通過實驗求得。b.便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對穩(wěn)定性的影響。第92頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日一、Niquest判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)設(shè)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和傳遞函數(shù)為：G(s)H(s)－R(S)C(S)如果G(s)和H(s)無零、極點對消，則開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：式中:是閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項式Niquest判據(jù)是從研究閉環(huán)傳遞函數(shù)特征式與開環(huán)傳遞函數(shù)特征式之比的關(guān)系入手，尋找規(guī)律。第93頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日一、Niquest判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)設(shè)輔助函數(shù)：因為在實際系統(tǒng)中，開環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪必定小于分母的最高次冪。即：

M1(s)的最高次冪小于N1(s)的最高次冪

M2(s)的最高次冪小于N2(s)的最高次冪所以，F(xiàn)(s)的分子的最高次冪與分母的最高次冪相同(都含有N1(s)N2(s))。第94頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日一、Niquest判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如果將F(s)的分子和分母進行分解，則：式中，zi、pi分別為輔助函數(shù)F(s)的零點和極點。第95頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日一、Niquest判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)小結(jié)輔助函數(shù)F(s)的特點：1.F(s)的零點正是閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程的特征根。2.F(s)的極點正是開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的特征方程的特征根。3.F(s)的零點、極點個數(shù)相同。4.F(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)只差常數(shù)1，F(xiàn)(s)=1+G(s)H(s)第96頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)—幅角原理由復(fù)數(shù)函數(shù)映射的概念F(s)的變量s是復(fù)數(shù)：s=δ+jβ，則F(s)是復(fù)變函數(shù)。如果s平面上的點表示自變量s的值，而用另一個平面F(s)上的點表示函數(shù)F(s)的值，那么，F(xiàn)(s)在幾何上就可以視為是把s平面上的一個點集G，變到F(s)平面上的一個點集G＊的射。sF(s)GG＊所以，當s值發(fā)生變化時，F(xiàn)(s)也將發(fā)生變化，因為F(s)是復(fù)變函數(shù)，變化包括幅值和相角的變化。第97頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)—幅角原理設(shè)在s平面上任選一點，繞F(s)的某一個零點zi順時針沿閉合曲線Cs(Cs不包圍也不通過任何極點和其他零點)轉(zhuǎn)一周。平面××平面相應(yīng)地F(s)在F(s)平面上繪出一條封閉曲線CF。CF相角變化是δ∠F(s)第98頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)—幅角原理由于Cs繞zi順時針一圈，所以δ∠(s－zi)=－2π，而其他零、極點的角度變化為零。上式分析表明，當一個質(zhì)點在s平面上繞某個零點zi順時針轉(zhuǎn)一圈，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)一圈；同理，在一個質(zhì)點在s平面上繞某個極點pi順時針轉(zhuǎn)一圈，F(xiàn)(s)曲線繞原點逆時針轉(zhuǎn)一圈。第99頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)—幅角原理jωσos平面Cs曲線ImReoF(s)平面曲線

s平面上封閉曲線及其在F(s)平面上的映射線若在s平面上的閉合曲線按順時針方向運動，在平面上的有對應(yīng)的映射曲線，其運動方向取決于復(fù)變函數(shù)的相角變化。

從研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性出發(fā)，我們關(guān)心的是映射曲線的否包圍平面的坐標原點以及圍繞原點的方向和圈數(shù)，而非它的具體形狀。

第100頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)—幅角原理輻角原理

對于解析函數(shù)F(s)，如果s平面上的閉合曲線Cs不經(jīng)過F(s)的任何極點和零點，以順時針方向包圍F(s)的Z個零點和P個極點，且則其在F(s)平面上的映射曲線CF將圍繞著坐標原點旋轉(zhuǎn)N周，其中N=Z-P。當N=0，表示曲線CF不包圍坐標原點；當N>0，表示曲線CF以順時針方向包圍坐標原點；當N<0，表示曲線CF以逆時針方向包圍坐標原點。

平面××平面第101頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)二奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

C1C2σojωs平面R考慮到輻角定理中特征函數(shù)F(s)在右半s平面上的P個開環(huán)極點和Z個閉環(huán)極點，可將s平面上的閉合曲線Cs取為包圍s的整個右半平面。這一閉合曲線稱為奈奎斯特軌線。

當在虛軸上當→和s沿?zé)o窮大半圓運動時，s→，因為一般實際系統(tǒng)中的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的nm，故有或常數(shù)（n=m）F(s)平面上的映射曲線CF是否包圍坐標原點，只取決于奈氏軌線中C1部分的映射，即由軸的映射曲線來表征。

第102頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)由于輔助函數(shù)F(s)＝1＋G(s)H(s)，與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)只差常數(shù)1。j01+1F(s)j0－1G(s)H(s)如果把F(s)平面中虛軸向右移動一個單位，就變成了G(s)H(s)平面的虛軸，于是把F(s)平面轉(zhuǎn)化成為G(s)H(s)平面。F(s)平面的原點轉(zhuǎn)化成為G(s)H(s)平面的(－1，j0)點，稱為臨界點那么CF曲線在F(s)平面上繞原點轉(zhuǎn)過的圈數(shù)N，就轉(zhuǎn)化成開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)曲線在G(s)H(s)平面上繞臨界點(－1，j0)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。第103頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)ReImo-1+j0FImReo-1+j0GH奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

(1)如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P＝0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件G(j)H(j)是曲線不包圍（－1，j0）點。

(2)如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個開環(huán)極點在s的右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是G(j)H(j)曲線按逆時針方向圍繞（－1，j0）點旋轉(zhuǎn)P周。

N=P-Z第104頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的具體步驟為：

（1）作出開環(huán)系統(tǒng)的奈氏曲線G(j)H(j)。（2）計算奈氏曲線G(j)H(j)對點（－1，j0）按順時針方向的包圍圈數(shù)N。

（3）確定開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，則確定開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上的極點數(shù)P。（4）根據(jù)輻角原理確定Z是否為零。Z=P-N如果Z＝0，表示.閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，Z0，表示該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z的數(shù)值反映了閉環(huán)特征方程式的根在s右半平面上的個數(shù)。第105頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)用奈奎斯特判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)穩(wěn)定時，一般只繪制ω從0→∞時的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍臨界點圈數(shù)N（反時針方向包圍時N為正，順時針方向包圍時N為負）和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)p，根據(jù)公式Z=P－2N，確定閉環(huán)特征方程的正實部根的個數(shù)。如果Z等于零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第106頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

幅相曲線包圍（－1，j0）點，也可以根據(jù)ω從0→∞時，幅相曲線自下向上或自上向下穿越實軸（－∞，－1）的次數(shù)決定。定義：正穿越：隨ω增加，開環(huán)幅相曲線在(－∞，－1)區(qū)間自上向下穿越負實軸為正穿越。記為N＋－1＋1j半次正穿越：從實軸區(qū)間(－∞，－1)開始向下，稱為半次正穿越。－1＋1j類似地還有負穿越，半次負穿越N－，則：N=N+－N－第107頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日3、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈奎期特判據(jù)本質(zhì)相同，只不過對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是按對數(shù)幅頻、相頻曲線的相互關(guān)系來確定公式：Z=P－2N中的N值。先看看幅相曲線與對對數(shù)幅頻、相頻曲線之間的對應(yīng)關(guān)系：設(shè)幅相曲線在ω=ωc時穿越臨界點，ωc稱為截止頻率。在臨界點對應(yīng)的對數(shù)幅頻特性在幅相曲線A(ω)>>1處穿越負實軸，由于負實軸對應(yīng)的相角是-180°，則對應(yīng)于對數(shù)幅頻特性在L(ω)>0時，對數(shù)相頻特性穿越-180°線。第108頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日3、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)所以，正、負穿越數(shù)完全可以根據(jù)對數(shù)幅頻曲線在大于0dB的頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線穿越－180°線的次數(shù)確定。(1）GH平面上單位圓的圓周與對數(shù)坐標圖上的0dB線相對應(yīng)，單位圓的外部對應(yīng)于L()>0dB，單位圓的內(nèi)部對應(yīng)于L()<0dB。

(2）GH平面上的負實軸與對數(shù)坐標圖上的=-180線相對應(yīng)。

ababN-和N+的概念負穿越正穿越第109頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日3、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)如果開環(huán)系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)時，在幅相曲線上從G(j0+)H(j0+)起逆時針補作一條υ×90°圓弧。對應(yīng)的，在對數(shù)相頻圖上，從ω較小φ(ω0+)且L(ω)>0的地方，向上補作一條υ×90°的虛線。如果開環(huán)系統(tǒng)包含等幅振蕩環(huán)節(jié)，則需要從對數(shù)相頻特性曲線φ(ω0-)處向上補作一條υ×180°的虛線至φ(ω0＋)第110頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日3、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：一個反饋控制系統(tǒng)其閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面極點數(shù)p和開環(huán)幅特性為正值(L(ω)>0)的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線與－180°線的正、負穿越次數(shù)之差N＝N+－N－來確定。Z=P－2N，當Z=0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第111頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日3、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)例：一反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。L(ω)ω解：作對數(shù)幅頻和相頻曲線，如圖ωΦ(ω)0°-90°-180°由于G(s)H(s)有二個積分環(huán)節(jié)，所以在對數(shù)相頻曲線ω很小處補畫一條0°～180°的虛線作為對數(shù)相頻曲線的一部分。第112頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日3、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)由對數(shù)相頻特性：由開環(huán)傳遞函數(shù)：所以，在右半s平面無開環(huán)極點p=0所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)特征方程在右半s平面有二個根。第113頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度－幅值裕度當幅相曲線穿過(－1，j0)臨界點時，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，而幅相曲線相對于臨界點的位置，反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。曲線離臨界點越遠，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越好。穩(wěn)定裕度用二個指標衡量：相角裕度γ，幅值裕度h對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，要求閉環(huán)系統(tǒng)G(j)H(j)有一定的穩(wěn)定性，不僅要求的幅頻特性不包圍（－1，j0）點，而且應(yīng)與該點有一定的距離，即有一定的穩(wěn)定裕量。

不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定穩(wěn)定第114頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日穩(wěn)定裕度

若z=p-2N中p=0,則G(jω)過(-1,j0)點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，見下圖：G(jω)曲線過(-1,j0)點時，G(jω)=1同時成立！特點：∠

G(jω)

=-180o0j1-1G(jω)第115頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日穩(wěn)定裕度1、穩(wěn)定裕度h的定義：在幅相曲線上，相角為－180°時對應(yīng)的幅值的倒數(shù)。ω－1ωxj+1幅值裕度h的含義：對于閉環(huán)穩(wěn)定系，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大h倍，則系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。即：h×|G(jωx)H(jωx)|=1時，曲線經(jīng)過(－1，j0)點。第116頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日穩(wěn)定裕度如果開環(huán)曲線在(－1，j0)之間多次穿越負實軸，那么應(yīng)用最接近(－1，j0)點的那個穿越點計算幅值裕度|G(-1，j0)H(-1，j0)|。ω-1第117頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度－相角裕度僅有幅值裕度h還不足以表示所有系統(tǒng)和穩(wěn)定程度，如圖，曲線A、B具有相同的幅值裕度，但曲線A代表的系統(tǒng)比曲線B代表的系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度要好，引入相角裕度γ能說明這一點。AB第118頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度－相角裕度相角裕度γ的含義：使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定尚可增加的滯后相角。ωcωxj01γG(jω)∠G(jωc)-1相角裕度γ定義為：180°加上開環(huán)幅相曲線幅值為1時的相角。γ=180°+∠G(jωc)H(jωc)ωc：截止頻率相角裕度γ的確定，在幅相曲線圖上作一個單位圓，幅相曲線與單位圓交點即為幅相曲線幅值為1的點，該交點與坐標原點連線組成的角即為γ。第119頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度－相角裕度如果幅相曲線在第三象限內(nèi)與單位圓相交多次，那么應(yīng)用最接近負實軸的那個交點計算γ值。j01γ-1由相角裕度γ的定義，當開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面無極點p=0，若γ>0系統(tǒng)穩(wěn)定(說明幅相曲線不包圍臨界點)；若γ<0則系統(tǒng)不穩(wěn)定。為什么？因為γ<0說明∠G(jωc)H(jωc)小于-180°，幅相曲線以(-∞，-1)之間有一次負穿越，N-=1，則N=1，Z=P－2N=2，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第120頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度幅值裕度h和相角裕度γ也可以從對數(shù)幅頻、相頻曲線求得。開環(huán)幅相頻率特性與對數(shù)幅頻、相頻曲線有如下對應(yīng)關(guān)系：1.幅相曲線圖上以原點為圓心的單位圓，對應(yīng)于對數(shù)幅頻特性圖上的零分貝線。|G

(jωc)H(jωc)|＝1時，20lg|G

(jωc)H(jωc)|=02.幅相曲線幅值大于1，即曲線單位圓外，在Bode圖上表示正的分貝值；幅相曲線幅值小于1，即曲線單位圓內(nèi)，在Bode圖上表示負的分貝值。所以幅相曲線穿越單位圓，對應(yīng)對數(shù)幅頻曲線穿越0dB線。3.幅相曲線圖上的負實軸對應(yīng)-180°，對應(yīng)對數(shù)相頻圖上為-180°線，所以幅相曲線穿越負實軸，對應(yīng)于對數(shù)相頻特性穿越-180°線。第121頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度1.對數(shù)幅頻曲線穿越0分貝線時的相角小于-180°，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。根據(jù)以上對應(yīng)關(guān)系，可以在對數(shù)坐標圖上判別最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性和確定其穩(wěn)定裕度的方法。第122頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度2.對數(shù)幅頻曲線穿越0分貝線時，相角大于-180°，則系統(tǒng)穩(wěn)定。第123頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度3.對數(shù)相頻特性穿越-180°時，對數(shù)幅值為正L(ω)>0，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第124頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度4.相角曲線穿越-180°線時，L(ω)＜0，則系統(tǒng)穩(wěn)定，此時的對數(shù)值即為幅值裕度h的分貝值。γ20lgh(dB)第125頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度幅值裕度h，相角裕度γ在對數(shù)特性圖上和幅相曲線圖上分別表示如下圖：ωxωcj01γG(jω)H(jω)∠G(jωc)H(jωc)-1|

G(jωx)H(jωx)|=1/hγ20lgh(dB)第126頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度例：單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖(k=10,p=0,υ=1)，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時k值的范圍。解：開環(huán)幅相曲線與負實軸有三個交點，設(shè)交點處穿越頻率分別為ω1、ω2、ω3。設(shè)：開環(huán)傳遞函數(shù)為G1(s)為不含比例、積分、微分以外的其他典型環(huán)節(jié)頻率特性：－0.5－1－1.5ωj-2第127頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度當k=10時，由曲線圖設(shè)：曲線在臨界點的比例系數(shù)為ki，ω=ωi；即第128頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－5穩(wěn)定裕度比較(1)式和(2)式得：求得：k1=5；k2=20/3；k3=20－1－1－1－10＜k＜k1K1＜k＜k2K2＜k＜k3K＞k3那個系統(tǒng)穩(wěn)定？(1)、(3)、為什么？第129頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標控制系統(tǒng)中最直接的性能指標是時域指標。但頻域分析法中涉及到的一些重要特征值，如開環(huán)頻率特中的相位裕量、增益裕量；閉環(huán)頻率特性中的諧振峰值、頻帶寬度和諧振頻率等與控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差存在著間接或直接的關(guān)系。第130頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標1.控制系統(tǒng)的頻帶寬度：設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性如下圖，當閉環(huán)幅頻特性下降到頻率為0時的分貝值以下3分貝時，對應(yīng)的頻率稱為帶寬頻率，記為ωb。系統(tǒng)的頻帶寬度反映了系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的能力，具有寬的帶寬的系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)的速度快，調(diào)整的時間小。

閉環(huán)頻率特性的諧振峰值Mr與諧振頻率r

截止頻率b和頻帶寬度0

bΦ(ω)由頻帶圖看出，當ω＞ωb時，L(ω)<20lg|φ(ω)|－3。第131頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標對于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，帶寬和系統(tǒng)參數(shù)具有確定的解析關(guān)系一階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)：（如何求證？）一階系統(tǒng)的帶寬和時間常數(shù)T成反比，二階系統(tǒng)的帶寬和自然頻率ωn成正比。帶寬是頻域分析中的一項重要指標，帶寬大，表明系統(tǒng)能通過較寬的頻率信號，帶寬小，則系統(tǒng)只能通過較低的信號。帶寬大的系統(tǒng)，一方面重現(xiàn)輸入信號的能力強，而另一方面，抑制高頻噪聲的能力就弱。第132頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標系統(tǒng)的單位響應(yīng)速度和帶寬成正比。以一階系統(tǒng)的上升時間為例帶寬ωb大，則上升時間tr小，系統(tǒng)響應(yīng)速度快兩系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性

兩系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

系統(tǒng)I系統(tǒng)II試比較兩個系統(tǒng)帶寬的大小，并驗證具有較大帶寬的系統(tǒng)比具有較小帶寬的系統(tǒng)響應(yīng)速度快，對輸入信號的跟隨性能好。第133頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標2.確定閉環(huán)頻率特性的圖解方法：尼科爾斯(Nichols)圖線法是獲得閉環(huán)頻率特性和頻域指標的一種常用方法。Nichols圖線設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：則單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為：整理得：第134頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標歐拉公式展開成三角形式：整理：考慮等式右邊的虛部等于零，即：求得：兩邊取對數(shù)第135頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標討論：P225圖5－48第136頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標再由將右邊的分子、分母都除以得：用歐拉公式展開：幅值表達：求出A：取對數(shù)第137頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標上式中，M是閉環(huán)傳遞函數(shù)的幅。當取M為某一常數(shù)時，令變動M，則得到等M線簇。等M線關(guān)于線軸對稱。第138頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標3.閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標和時域指標的轉(zhuǎn)換系統(tǒng)時域指標物理意義明確、直觀，而開環(huán)頻域指標相角裕度和γ截止頻率ωc的大小在很大程度上決定了系統(tǒng)的性能，因工程上常用γ和ωc來估算系統(tǒng)時域性能指標。相角裕度γ與超調(diào)量δ%，調(diào)節(jié)時間ts存在內(nèi)在聯(lián)系。對于二階系統(tǒng)，相角裕度與時域指標有確定的關(guān)系。對于高階系統(tǒng)，相角裕度與時域指標沒有確定的函數(shù)關(guān)系，但對于大多數(shù)實際系統(tǒng)，相角裕度相同的系統(tǒng)，其時域指標差別也有限，因此可以用相角裕度來粗略估算時域指標。第139頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標由γ確定二階系統(tǒng)時域指標，設(shè)二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù):ωcωxj01γG(jω)∠G(jωc)-1作出開環(huán)幅相圖，由相角裕度的定義，開環(huán)幅相曲線與單位圓交點處的頻率稱為截止頻率ωc。所以，在ω=ωn時，開環(huán)頻率特性為第140頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標方程兩邊同時平方，解此方程得：解以為變量的一元二次方程式第141頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標再由相角裕度的定義：第142頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標從（5－120式）可知，γ與阻尼比ζ存在一一對應(yīng)的關(guān)系，見p225圖5－48，ζ越大，γ就越大，為了使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性，一般希望：30°≤γ≤70°由γ估算時域指標方法：1）根據(jù)要求的相角裕度γ，從圖5－48查出ζ；2）由ζ可求出超調(diào)量或從p89圖3－13中查出δ%值。

第143頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標如何求ωn?設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù):從近似對數(shù)幅頻圖上，ω1ω2ω3ω1=kω2=1/T曲線在ω1，ω2之間穿越0dB線。第144頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日5－6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標對于高階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標與時域指標不存在解析關(guān)系式，通過大量研究，歸納出幾個近似估算公式。第145頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日小結(jié)1、頻率分析法是在頻域內(nèi)應(yīng)用圖解法分析控制系統(tǒng)性能的一種工程方法。2、頻率特性是指線性系統(tǒng)在正弦輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比。

3、對于最小相位系統(tǒng)，由于其幅頻特性和相頻特性之間有著唯一的對應(yīng)關(guān)系，因而可僅根據(jù)其對數(shù)幅頻特性曲線寫出對應(yīng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

第146頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日4、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線圍繞點的情況和開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)來判定對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

5、開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線是控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的重要工具。

6、由于存在系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)和外界環(huán)境的變化可能對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，在設(shè)計中一般要求系統(tǒng)不僅能穩(wěn)定地工作，而且還應(yīng)有足夠的穩(wěn)定裕量。

第147頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日習(xí)題4例系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：當ω由-->變化時，G(j)H(j)曲線如圖所示。因為G(j)H(j)的開環(huán)極點為－0.5，－1，－2，在s的右半平面上沒有任何極點，即P＝0，由圖可知，由于奈氏曲線不包圍（－1，j0）這點，即N＝0，則Z＝N＋P＝0。這表示該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第148頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日習(xí)題5例反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳函數(shù)為

試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由于該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，它在坐標原點處有一個開環(huán)極點，因而在s上所取的奈氏軌線應(yīng)如圖。該圖的C2部分在GH平面上的映射曲線為一半徑為無窮大的半圓。

σojω∞

GH平面(a)I型系統(tǒng)a’b’c’由圖知N＝2，而系統(tǒng)的P＝0，因而Z＝2，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個閉環(huán)極點位于s的右半平面。

第149頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日習(xí)題6例5－7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分析時間常數(shù)T1和T2的相對大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并畫出它們所對應(yīng)的奈氏圖。

解：

T1<T2T1=T2T1>T2穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定第150頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)3．具有時滯環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析

由于時滯系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中存在的環(huán)節(jié)，其閉環(huán)特征方程為一超越方程，因而勞斯穩(wěn)定判據(jù)就不再適用。但是，奈氏穩(wěn)定判據(jù)仍能較方便地對這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行判別。

則開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為：

第151頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)由于實際的控制系統(tǒng)中，n>m，因此當時，G1(j)H1(j)的模趨于零，因而G(j)H(j)隨著由0以螺旋形趨于原點，并且與GH平面的負半軸相交無窮多點，如圖所示。因此為使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線與負實軸的第一個相交點必須位于（－1，j0）的右邊。

G1(j)H1(j)G(j)H(j)第152頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例5－7設(shè)一時滯控制系統(tǒng)如

－R(s)C(s)＋G1(s)e-s試分析滯后時間對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(-1,j0)GH平面Im()Re()不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定穩(wěn)定第153頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章相對穩(wěn)定性分析例5－10已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求：（1）K＝1時系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。（2）要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕量20lgKdB，相位裕量40。

解：（1）基于在g處的開環(huán)頻率特性的相角為

在g處的開環(huán)對數(shù)幅值為

第154頁，共187頁，2023年，2月20日，星期日第五章相對穩(wěn)定性分析則根據(jù)K＝1時的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，可知系統(tǒng)的c＝1，從而

用MATLAB直接求解

g=tf(1,conv([1,0],conv([0.2,1],[0.05,1])))；margin(g)第155頁，共187頁，2023年