離散型隨機(jī)變量的均值

離散型隨機(jī)變量的均值演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日離散型隨機(jī)變量的均值現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)其中0＜p＜1,p+q=1,k=0,1,2,...,nP(X＝k)＝pkqn－kCkn則稱(chēng)X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n，p)

一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)互相獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即A與，每次試驗(yàn)中P(A)＝p＞0。稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱(chēng)伯努利試驗(yàn)。n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征為：1）每次試驗(yàn)是在同樣的條件下進(jìn)行的；

2）各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；

3）每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果:發(fā)生與不發(fā)生；

4）每次試驗(yàn),某事件發(fā)生的概率是相同的.2.二項(xiàng)分布復(fù)習(xí)回顧現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日

一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為

x1，x2，……，xi，…，

ξ取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，則稱(chēng)下表為隨機(jī)變量ξ的概率分布.由概率的性質(zhì)可知,任一離散型隨機(jī)變量的分布都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：3.離散型隨機(jī)變量的概率分布ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…（1）pi≥0，i＝1，2，…，n（2）p1＋p2＋…＋pi＋…+pn＝1現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日復(fù)習(xí)引入

對(duì)于離散型隨機(jī)變量,可以由它的概率分布確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.但在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征.例如:要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平,很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差。我們還常常希望直接通過(guò)數(shù)字來(lái)反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征,最常用的有期望與方差?，F(xiàn)在是5頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的質(zhì)量都相等.如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理定價(jià)為混合糖果的平均價(jià)格才合理問(wèn)題情景18元/kg24元/kg36元/kg現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日m千克混合糖果的總價(jià)格為18元/kg24元/kg36元/kg情景探究按3：2：1混合以下糖果平均價(jià)格為362418PX權(quán)數(shù)加權(quán)平均現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日一.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望

一般地,若離散型隨機(jī)變量X

的概率分布為X1.定義2.性質(zhì)

已知隨機(jī)變量X,其均值為E(X).若Y＝aX＋b,其中a,b為常數(shù),則Y也是隨機(jī)變量.并且隨機(jī)變量Y的均值為：E(Y)=E(aX＋b)＝aE(X)＋b．現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日pnxn……pkxk……p2x2p1x1PXpnaxn+b……pkaxk+b……p2ax2+bp1ax1+bPY隨機(jī)變量X的分布列為：隨機(jī)變量Y=aX+b的分布列為：隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望是：現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日例1.在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分。如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是多少？X10P0.70.3解:據(jù)題意,X的分布列為故他罰球1次的得分X的均值是0.7一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=？X01P1－

pp現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p.二.兩點(diǎn)分布的均值?如果X~B(n，p)，那么E(X)=？三.二項(xiàng)分布的均值若X~B(n，p),則E(X)=np.注:(1).隨機(jī)變量的均值是常數(shù),而樣本的平均值是隨著樣本的不同而變化的.因此,樣本的平均值是隨機(jī)變量;現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日2.隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ47910P0.3ab0.2E(ξ)=7.5,則a=______,b=________;0.40.13.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球,從中有放回地取5次,則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是

.3練習(xí):1.隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1).則E(ξ)=____________;

2.4(2).若η=2ξ+1,則E(η)=____________;

5.8現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日例2.一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案,每題選擇正確答案得5分,不作出選擇或選錯(cuò)不得分,滿分100分,學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望。解:設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中選對(duì)的題數(shù)分別是∴E()＝20×0.9＝18，E()＝20×0.25＝5．

由于答對(duì)每題得5分,所以學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5和5.這樣,他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是E(5

)＝5E()＝5×18＝90，E(5)＝5E()＝5×5＝25．現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日課堂小結(jié)1）離散型隨機(jī)變量取值的平均值數(shù)學(xué)期望············2）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布X10Pp1－p則4）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X～B（n,p）,則現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日?如果X~B(n，p)，那么E(X)=？若X~B(n，p)，則E(X)=np.現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日則E(X)＝p若X~H(N，M

，n)則E(X)＝若X~B(n，p)則E(X)＝np若X~B(1，p)各種不同概率模型下的數(shù)學(xué)期望現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日例1

甲、乙兩名射手射擊的環(huán)數(shù)為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y，且X

，Y的分布列為：?jiǎn)枺杭?、乙兩名射手誰(shuí)的射擊水平高?X123P0.30.10.6Y123P0.30.40.3所以，甲射手比乙射手的射擊水平高.解：例題講解現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日設(shè)在一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均值是：叫做這組數(shù)據(jù)的方差.

方差說(shuō)明了這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.離散型隨機(jī)變量的方差定義現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日對(duì)于離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表：(其中pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1)Xx1x2…xnPp1p2…pn(xi－E(X))2描述了xi(i=1，2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度，故(x1－E(X))2

p1＋(x2－E(X))2

p2＋...＋(xn－E(X))2pn稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的方差，記為D(X).其算術(shù)平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差：記為隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與分散的程度.離散型隨機(jī)變量的方差定義現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日定義深析隨機(jī)變量的方差和樣本的方差有何聯(lián)系和區(qū)別？012P0.40.20.4012P0.10.80.1甲工人：乙工人：例1甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件相等，所得次品數(shù)分別是、

，分布列如下：試求隨機(jī)變量、的期望和方差.現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日解：從上可知，.所以，在射擊之前，可以預(yù)測(cè)甲、乙兩名射手所得環(huán)數(shù)的平均值很接近，均在9環(huán)左右，但射手甲所得的環(huán)數(shù)比較集中，得9環(huán)較多，而射手乙所得環(huán)數(shù)比較分散，得8環(huán)和10環(huán)的次數(shù)要多些.例題講解例2

甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下表：射手甲射手乙用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平.0.4100.290.48概率p擊中環(huán)數(shù)20.2100.690.28概率p擊中環(huán)數(shù)1現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日重要結(jié)論：公式推廣現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日例2

一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分.學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè).分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值.例題講解可設(shè)甲、乙兩學(xué)生做對(duì)題的個(gè)數(shù)分別為X1、

X2.現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日例2

一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分.學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè).分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值.解：設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是X1和

X2，則X1~B(20，0.9)，X2~B(20，0.25)，所以E(X1)＝20×0.9＝18，E(X2)

＝20×0.25＝5．由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X1和5X2．所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是E(5X1)＝5E(X1)＝5×18＝90，E(5X2)＝5E(X2)＝5×5＝25．答:甲、乙同學(xué)得分的期望分別是90分和25分.現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量可能的取值；②寫(xiě)出分布列，并檢查分布列的正確與否；③求出均值.方法與步驟現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日例題講解例3

一年中一輛車(chē)受損的概率為0.03.現(xiàn)保險(xiǎn)公司擬開(kāi)設(shè)一年期租車(chē)保險(xiǎn)，假定一輛車(chē)一年的保費(fèi)為1000元，若在一年內(nèi)該車(chē)受損，則保險(xiǎn)公司需賠償3000元.一年內(nèi)，一輛車(chē)保險(xiǎn)公司平均收益多少？分析：設(shè)保險(xiǎn)公司平均收益為X.則X的分布列為：X-20001000P0.030.97答：一輛車(chē)保險(xiǎn)公司平均收益910元.現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日1.現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.問(wèn)1張彩票可能中獎(jiǎng)的均值是多少元？2.在只需回答“是”與“不是”的知識(shí)競(jìng)賽時(shí)，每個(gè)選手回答兩個(gè)不同問(wèn)題，都回答失敗，輸1分，否則贏0.3分.用X表示甲的得分，如果甲隨機(jī)猜測(cè)“是”與“不是”，計(jì)算X

的數(shù)學(xué)均值.小試身手現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)2000元，但圍墻只能防小洪水；試比較哪一種方案好？遇大洪水損失60000元遇小洪水損失10000元有小洪水的概率為0.25有大洪水的概率為0.01大型設(shè)備方案3：不采取措施.方案1：運(yùn)走設(shè)備運(yùn)費(fèi)為3800；能力展現(xiàn)現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日離散型隨機(jī)變量的方差現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日例1

甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件相等，所得次品數(shù)分別是、

，分布列如下：

012P0.40.20.4012P0.10.80.1甲工人：乙工人：E()

=E()

=1那么甲、乙兩人的技術(shù)水平相同嗎？情景引例現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日設(shè)在一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均值是：叫做這組數(shù)據(jù)的方差.

方差說(shuō)明了這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.離散型隨機(jī)變量的方差定義現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日對(duì)于離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表：(其中pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1)Xx1x2…xnPp1p2…pn(xi－E(X))2描述了xi(i=1，2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度，故(x1－E(X))2

p1＋(x2－E(X)