2023中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)相似綜合題壓軸題題匯編及答案

公眾號：中考數(shù)學(xué)壓軸題相似形綜合題三．相似形綜合題（共16小題）10．（2020?濟(jì)南）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE=12∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接（1）當(dāng)∠CAB＝45°時．①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是∠EAB＝∠CBA．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是CF=12BE②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解快問題．（2）當(dāng)∠CAB＝30°時，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．首先證明BD＝BE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可．②解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．證明△CMF≌△BMN（SAS）可得結(jié)論．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，GT，BG．證明四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，可得結(jié)論．（2）結(jié)論：BE＝23CF．如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．證明△BAE∽△CTF可得結(jié)論．【解答】解：（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE=12∠ACB＝45°，∠DAE＝∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∵∠DAT＝∠EAT＝45°，∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF=12∴CF=12∵∠CBA＝45°，∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ABC．故答案為：∠EAB＝∠ABC，CF=12②結(jié)論不變．解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，設(shè)AD＝AE＝y(tǒng)．FM＝x，DM＝a，則DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴△CMF≌△BMN（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF=12解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，GT，BG．∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，∵∠ACB＝∠CBT＝90°，∴AC∥BT∥DE，∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，∴BD與GT互相平分，∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴BD與GT交于點(diǎn)F，∴GF＝FT，∵△GCT是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝FT，∴CF=12（2）結(jié)論：BE＝23CF．理由：如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，∵AT＝TB，∴CT⊥AB，∴AT=3CT∴AB＝23CT，∵DF＝FB，AT＝TB，∴TF∥AD，AD＝2FT，∴∠FTB＝∠CAB＝30°，∵∠CTB＝∠DAE＝90°，∴∠CTF＝∠BAE＝60°，∵∠ADE=12∠ACB＝∴AE=3AD＝23FT∴ABCT=AE∴△BAE∽△CTF，∴BECF=BA∴BE＝23CF．【點(diǎn)評】本題屬于相似形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．11．（2020?宿遷）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB＝90°，求證：AEEB【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長線上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且EFEG=AEEB，連接BG交求證：BH＝GH．【拓展】如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB十∠DEC＝180°，且AEEB=DEEC，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA＝∠AEB，延長FE交BC于點(diǎn)G．求證：【分析】【感知】證得∠BEC＝∠EAD，證明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性質(zhì)得出AEEB【探究】過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）可知EFEG=DEGM，證得BC＝GM，證明△BCH≌△【拓展】在EG上取點(diǎn)M，使∠BME＝∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長線于點(diǎn)N，則∠N＝∠BMG，證明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性質(zhì)得出AEBE=EFBM，證明△DEF∽△ECN，則DEEC=EFCN，得出EFBM=EF【解答】【感知】證明：∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°，∴∠BEC+∠AED＝∠AED+∠EAD＝90°，∴∠BEC＝∠EAD，∴Rt△AED∽Rt△EBC，∴AEEB【探究】證明：如圖1，過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）可知EFEG∵EFEG∴DEGM∴BC＝GM，又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH＝GH，【拓展】證明：如圖2，在EG上取點(diǎn)M，使∠BME＝∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長線于點(diǎn)N，則∠N＝∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠AEB+∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB，∴∠EAF＝∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴AEBE∵∠AEB+∠DEC＝180°，∠EFA+∠DFE＝180°，而∠EFA＝∠AEB，∴∠CED＝∠EFD，∵∠BMG+∠BME＝180°，∴∠N＝∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED＝∠FED+∠DEC+∠CEN＝180°，∴∠EDF＝∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴DEEC又∵AEEB∴EFBM∴BM＝CN，又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG＝CG．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2020?雅安）如圖，已知邊長為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長線上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點(diǎn)F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）請直接寫出EC為何值時，△CEF的面積最大．【分析】（1）利用同角的余角相等，判斷出∠BAE＝∠FEG，進(jìn)而得出△ABE∽△EGF，即可得出結(jié)論；（2）先求出BE＝8，進(jìn)而表示出EG＝2+FG，由△BAE∽△GEF，得出ABEG=BE（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=-12（x﹣5）【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵∠B＝∠G＝90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8，∴FG＝CG，∴EG＝CE+CG＝2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴ABEG∴102+FG∴FG＝8，∴S△ECF=12CE?FG=12×2（3）設(shè)CE＝x，則BE＝10﹣x，∴EG＝CE+CG＝x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴ABEG∴10x+FG∴FG＝10﹣x，∴S△ECF=12×CE×FG=12×x?（10﹣x）=-12（x2﹣10x）當(dāng)x＝5時，S△ECF最大=25【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，角平分線，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，判斷出△BAE∽△GEF是解本題的關(guān)鍵．13．（2020?營口）如圖，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），點(diǎn)E是線段CB延長線上的一個動點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交射線DC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若k＝1，則AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系是AF＝AE；（2）如圖2，若k≠1，試判斷AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，連接BD交AF于點(diǎn)G，連接EG，當(dāng)CF＝1時，求EG的長．【分析】（1）證明△EAB≌△FAD（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AF＝AE；（2）證明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)得出ABAD（3）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時，證得△GDF∽△GBA，得出GFGA=DFBA=12，求出AG=23AF=②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段DC的延長線上時，同理可求出EG的長．【解答】解：（1）AE＝AF．∵AD＝AB，四邊形ABCD矩形，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，∴△EAB≌△FAD（ASA），∴AF＝AE；故答案為：AF＝AE．（2）AF＝kAE．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，∴∠FAD+∠FAB＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB+∠FAB＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠ADF．∴△ABE∽△ADF，∴ABAD∵AD＝kAB，∴ABAD∴AEAF∴AF＝kAE．（3）解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AD＝2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF=A∵DF∥AB，∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，∴△GDF∽△GBA，∴GFGA∵AF＝GF+AG，∴AG=2∵△ABE∽△ADF，∴AEAF∴AE=1在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，∴EG=A②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段DC的延長線上時，DF＝CD+CF＝2+1＝3，在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF=AD∵DF∥AB，∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，∴△AGB∽△FGD，∴AGFG∵GF+AG＝AF＝5，∴AG＝2，∵△ABE∽△ADF，∴AEAF∴AE=1在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，∴EG=A綜上所述，EG的長為5176或【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2020?深圳）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE＝DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到BE＝DG嗎？若能，請給出證明；若不能，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論BE＝DG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE＝4，AB＝8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，證明△AEB≌△AGD（SAS），則可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出AE＝AG，AB＝AD，證明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）方法一：過點(diǎn)E作EM⊥DA，交DA的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥AB交AB于點(diǎn)N，求出AG＝6，AD＝12，證明△AME∽△ANG，設(shè)EM＝2a，AM＝2b，則GN＝3a，AN＝3b，則BN＝8﹣3b，可得出答案；方法二：證明△EAB∽△GAD，得出∠BEA＝∠AGD，則A，E，G，Q四點(diǎn)共圓，得出∠GQP＝∠PAE＝90°，連接EG，BD，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形AEFG為正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°，又∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（2）當(dāng)∠EAG＝∠BAD時，BE＝DG，理由如下：∵∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，又∵四邊形AEFG和四邊形ABCD為菱形，∴AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（3）解：方法一：過點(diǎn)E作EM⊥DA，交DA的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥AB交AB于點(diǎn)N，由題意知，AE＝4，AB＝8，∵AEAG∴AG＝6，AD＝12，∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，∴△AME∽△ANG，設(shè)EM＝2a，AM＝2b，則GN＝3a，AN＝3b，則BN＝8﹣3b，∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．方法二：如圖2，設(shè)BE與DG交于Q，BE與AG交于點(diǎn)P，∵AEAG=ABAD=23，∴AG＝6，AD＝12．∵四邊形AEFG和四邊形ABCD為矩形，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，∵EAAG∴△EAB∽△GAD，∴∠BEA＝∠AGD，∴A，E，G，Q四點(diǎn)共圓，∴∠GQP＝∠PAE＝90°，∴GD⊥EB，連接EG，BD，∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2020?徐州）我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果BCAB=ABAC，那么稱點(diǎn)B為線段（1）在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長為（105-10）cm（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．【分析】（1）由黃金分割點(diǎn)的概定義可得出答案；（2）延長EA，CG交于點(diǎn)M，由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，則EM＝EC，根據(jù)勾股定理求出CE的長，由銳角三角函數(shù)的定義可出tan∠BCG=5-12（3）證明△ABE≌△BCF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出BF＝AE，證明△AEF∽△BPF，得出AEBP【解答】解：（1）∵點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC＝20cm，∴AB=5-12×20＝（105故答案為：（105-10（2）延長EA，CG交于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD為正方形，∴DM∥BC，∴∠EMC＝∠BCG，由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，∴∠EMC＝∠ECM，∴EM＝EC，∵DE＝10，DC＝20，∴EC=DE2∴EM＝105，∴DM＝105+10∴tan∠DMC=DC∴tan∠BCG=5即BGBC∵AB＝BC，∴BGAB∴G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）當(dāng)BP＝BC時，滿足題意．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，∵BE⊥CF，∴∠ABE+∠CFB＝90°，又∵∠BCF+∠BFC＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE，∵AD∥CP，∴△AEF∽△BPF，∴AEBP當(dāng)E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)時，∵AE＞DE，∴AFBF∵BF＝AE，AB＝BC，∴AFBF∴AEBP∴BP＝BC．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的定義，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2020?湘潭）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點(diǎn)O，求△OBC與△ABC的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點(diǎn)O，請判斷ODOA、S（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對角線AC于點(diǎn)M．①若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面積．【分析】（1）連接DE，利用相似三角形證明ODAO=1（2）根據(jù)（1）的證明可求解；（3）①連接BD，可知點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，從而可以得到點(diǎn)M是△BCD的重心，然后即可得到EM和BE的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理求出BE的長即可解決問題；②分別求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面積．【解答】解：（1）連接DE，如圖一，∵點(diǎn)O是△ABC的重心，∴AD，BE是BC，AC邊上的中線，∴D，E為BC，AC邊上的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE=12∴△ODE∽△OAB，∴ODOA∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，∴AD=3，OD=∴S△OBC=BC?OD（2）由（1）同理可得，ODOA點(diǎn)O到BC的距離和點(diǎn)A到BC的距離之比為1：3，則△OBC和△ABC的面積之比等于點(diǎn)O到BC的距離和點(diǎn)A到BC的距離之比，故S△OBC（3）①連接BD交AC于點(diǎn)O，∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M是△BCD的重心，∴EMBE∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=1∴BE=B即EM=2②∵S△CME＝1，且MEBM∴S△BMC＝2，∵M(jìn)EBM∴S△CME∴S△AMB＝4，∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，又S△ADC＝S△ABC，∴S△ADC＝6，∴正方形ABCD的面積為：6+6＝12．【點(diǎn)評】本題是一道相似形綜合題目，主要考查的是三角形重心的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．17．（2020?荊州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝20，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，將△ABE沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上點(diǎn)G處；點(diǎn)F在DG上，將△ADF沿著AF折疊，點(diǎn)D剛好落在AG上點(diǎn)H處，此時S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求證：△EGC∽△GFH；（2）求AD的長；（3）求tan∠GFH的值．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折疊的性質(zhì)得出∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，證得∠EGC＝∠GFH，則可得出結(jié)論；（2）由面積關(guān)系可得出GH：AH＝2：3，由折疊的性質(zhì)得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH＝8，AH＝12，則可得出答案；（3）由勾股定理求出DG＝16，設(shè)DF＝FH＝x，則GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折疊對稱知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵將△ABE沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上點(diǎn)G處，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG=AG由折疊的對稱性可設(shè)DF＝FH＝x，則GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH=GH【點(diǎn)評】本題屬于相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．18．（2020?長沙）在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的長；（3）若AE﹣DE＝2EC，記∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可．（2）設(shè)EC＝x，證明△ABF∽△FCE，可得ABCF（3）首先證明tanα+tanβ=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，設(shè)AB＝CD【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）設(shè)EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴ABCF∴23∴x=2∴EC=2（3）∵△ABF∽△FCE，∴AFEF∴tanα+tanβ=BF設(shè)AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2-a∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b∵△ABF∽△FCE，∴ABCF∴ax∴a2﹣ax=b2-∴14b2=b2整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴ba∴tanα+tanβ=BC【點(diǎn)評】本題屬于相似三角形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．19．（2020?福建）如圖，△ADE由△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，且點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點(diǎn)P．（1）求∠BDE的度數(shù)；（2）F是EC延長線上的點(diǎn)，且∠CDF＝∠DAC．①判斷DF和PF的數(shù)量關(guān)系，并證明；②求證：EPPF【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度數(shù)；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝AE，∠CAE＝90°，證得∠FPD＝∠FDP，由等腰三角形的判定得出結(jié)論；②過點(diǎn)P作PH∥ED交DF于點(diǎn)H，得出∠HPF＝∠DEP，EPPF=DHHF，證明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②證明：過點(diǎn)P作PH∥ED交DF于點(diǎn)H，∴∠HPF＝∠DEP，EPPF∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵EPPF∴EPPF【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2020?菏澤）如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）過點(diǎn)A作AE∥DC交BD于點(diǎn)E，求證：AE＝BE；（2）如圖2，將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求證：BD'∥CD；②若AD'∥BC，求證：CD2＝2OD?BD．【分析】（1）證明△AOE≌△COD（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CD＝AE，OD＝OE，則可得出結(jié)論；（2）①過點(diǎn)A作AE∥DC交BD于點(diǎn)E，由（1）得出∠ABE＝∠AEB，由折疊的性質(zhì)可得出∠ABD'＝∠BAE，則BD'∥AE，可得出結(jié)論；②過點(diǎn)A作AE∥DC交BD于點(diǎn)E，延長AE交BC于點(diǎn)F，證明△ADE∽△BCD，得出AEBD=DECD，根據(jù)AE＝CD，DE【解答】（1）證明：∵AE∥DC，∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，又∵OA＝OC，∴△AOE≌△COD（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，∴BE＝CD，∴AE＝BE；（2）①證明：如圖1，過點(diǎn)A作AE∥DC交BD于點(diǎn)E，由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD'，∴∠ABD'＝∠ABD，∴∠ABD'＝∠BAE，∴BD'∥AE，又∵AE∥CD∴BD'∥CD．②證明：如圖2，過點(diǎn)A作AE∥DC交BD于點(diǎn)E，延長AE交BC于點(diǎn)F，∵AD'∥BC，∴∠D'AB＝∠ABC，由翻折可知∠D'AB＝∠DAB，∴∠ABC＝∠DAB，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABD，∴∠ABC﹣∠EAB＝∠DAB﹣∠ABD，∴∠DBC＝∠DAE，∵AE∥DC，∴∠AED＝∠CDB，∴△ADE∽△BCD，∴AEBD由①知AE＝CD，OD＝EO，∴DE＝2OD，∴CD2＝2OD?BD．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2020?武漢）問題背景如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應(yīng)用如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，ADBD=3拓展創(chuàng)新如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝23，直接寫出AD的長．【分析】問題背景由題意得出ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，則∠嘗試應(yīng)用連接EC，證明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性質(zhì)得出AEEC=ADBD=3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可證明△ADF拓展創(chuàng)新過點(diǎn)A作AB的垂線，過點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，證明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性質(zhì)得出BDMD=DCDA，證明△BDM∽△CDA，得出BMCA=DMAD=【解答】問題背景證明：∵△ABC∽△ADE，∴ABAD=ACAE，∠∴∠BAD＝∠CAE，ABAC∴△ABD∽△ACE；嘗試應(yīng)用解：如圖1，連接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴AEEC=ADBD=3，∠在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴ADAE∴ADEC=∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴DFCF=拓展創(chuàng)新解：如圖2，過點(diǎn)A作AB的垂線，過點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴BDMD又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA∵AC＝23，∴BM＝23×3∴AM=BM2∴AD=1【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2020?達(dá)州）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P為線段BC上的一動點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過點(diǎn)P作PE⊥PA交射線CD于點(diǎn)E．聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對這個問題進(jìn)行了研究：（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)△ABP∽△PCE，請你幫他完成證明．（2）利用幾何畫板，他改變BC的長度，運(yùn)動點(diǎn)P，得到不同位置時，CE、BP的長度的對應(yīng)值：當(dāng)BC＝6cm時，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.831.331.501.330.83…當(dāng)BC＝8cm時，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…這說明，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時，要保證點(diǎn)E總在線段CD上，BC的長度應(yīng)有一定的限制．①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在BP和CE的長度這兩個變量中，BP的長度為自變量，EC的長度為因變量；②設(shè)BC＝mcm，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似證明即可．（2）①根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．②設(shè)BP＝xcm，CE＝y(tǒng)cm．利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠EPC+∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE．（2）解：①根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在BP和CE的長度這兩個變量中，BP的長度為自變量，EC的長度為因變量，故答案為：BP，EC．②設(shè)BP＝xcm，CE＝y(tǒng)cm．∵△ABP∽△PCE，∴ABPC∴6m-x∴y=-16x2+16mx=-16∵-16∴x=12m時，y有最大值∵點(diǎn)E在線段CD上，CD＝2cm，∴m224∴m≤43，∴0＜m≤43．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形梯形，二次函數(shù)最值等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．23．（2020?棗莊）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中線，AC＝BC，一個以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．（1）如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF；（2）如圖2，在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，試證明CD2＝CE?CF恒成立；（3）若CD＝2，CF=2，求DN【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠BCD＝45°，證明△DCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明結(jié)論；（2）證明△FCD∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，整理即可證明結(jié)論；（3）作DG⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DG，由（2）的結(jié)論求出CE，證明△ENC∽△DNG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出NG，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，∴∠DCF＝∠DCE＝135°，在△DCF和△DCE中，CF=CE∠DCF=∠DCE∴△DCF≌△DCE（SAS）∴DE＝DF；（2）證明：∵∠DCF＝135°，∴∠F+∠CDF＝45°，∵∠FDE＝45°，∴∠CDE+∠CDF＝45°，∴∠F＝∠CDE，∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，∴△FCD∽△DCE，∴CFCD∴CD2＝CE?CF；（3）解：過點(diǎn)D作DG⊥BC于G，∵∠DCB＝45°，∴GC＝GD=22CD由（2）可知，CD2＝CE?CF，∴CE=CD2∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△ENC∽△DNG，∴CNNG=CE解得，NG=2由勾股定理得，DN=D【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24．（2020?金華）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，分別過OB，OC的中點(diǎn)D，E作AE，AD的平行線，相交于點(diǎn)F，已知OB＝8．（1）求證：四邊形AEFD為菱形．（2）求四邊形AEFD的面積．（3）若點(diǎn)P在x軸正半軸上（異于點(diǎn)D），點(diǎn)Q在y軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A，P，Q，G為頂點(diǎn)的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等的四邊形是菱形證明即可．（2）連接DE，求出△ADE的面積即可解決問題．（3）首先證明AK＝3DK，①當(dāng)AP為菱形的一邊，點(diǎn)Q在x軸的上方，有圖2，圖3兩種情形．②當(dāng)AP為菱形的邊，點(diǎn)Q在x軸的下方時，有圖4，圖5兩種情形．③如圖6中，當(dāng)AP為菱形的對角線時，有圖6一種情形．分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：如圖1中，∵AE∥DF，AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵四邊形ABOC是正方形，∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，∵E，D分別是OC，OB的中點(diǎn)，∴CE＝BD，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴平行四邊形AEFD是菱形．（2）解：如圖1中，連接DE．∵S△ADB＝S△ACE=12×8×4S△EOD=12×4×4∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．（3）解：如圖1中，連接AF，設(shè)AF交DE于K，∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴KE＝KD，∴OK＝KE＝KD＝22，∵AO＝82，∴AK＝62，∴AK＝3DK，①當(dāng)AP為菱形的一邊，點(diǎn)Q在x軸的上方，有圖2，圖3兩種情形：如圖2中，設(shè)AG交PQ于H，過點(diǎn)H作HN⊥x軸于N，交AC于M，設(shè)AM＝t．∵菱形PAQG∽菱形ADFE，∴PH＝3AH，∵HN∥OQ，QH＝HP，∴ON＝NP，∴HN是△PQO的中位線，∴ON＝PN＝8﹣t，∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，∴△HMA∽△PNH，∴AMNH∴HN＝3AM＝3t，∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，∵PN＝3MH，∴8﹣t＝3（8﹣3t），∴t＝2，∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，∴P（12，0