高一必修4平面向量的概念及線性運(yùn)算

平面向的概念及線運(yùn)算一目認(rèn)學(xué)目：1．了解向量的實(shí)際背.2．理解平面向量和向量相等的含.3．理解向量的幾何表.4．掌握向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意.5．理解兩個(gè)向量共線的含.6．了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意.重：解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向.難：平行向量、相等向量和共線量的區(qū)別和聯(lián).二知要梳知點(diǎn)：量概1．向量既大小又有方向的量叫做向.2的表示方法(1)字母表示:如(3)向量的有關(guān)概念

等(2)幾何表示法:用一條有向段表示向.如

等向量的模向量的大小叫向量的(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng))零向量長(zhǎng)為零的向量叫零向.單位向:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的量.相等向:長(zhǎng)度相等且方向相同的向.相反向:長(zhǎng)度等且方向相反的向.共線向:方向相同或相反的非零向量，叫共線向共線向量又稱為平行向)規(guī):與一量線要詮：1．量與向量的區(qū)別：數(shù)量只大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有向，大小，雙重性，不能比較大小.2．零向量的方向是任意的，注與含義與書(shū)寫區(qū).3．平行向量可以在同一直線上要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān).知點(diǎn)：量加減法算1．運(yùn)算法則：三角形法則、平四邊形法則2．運(yùn)算律：①交換律：；②結(jié)合律：要詮：1．兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)2．.探討該式中號(hào)成立的條件，可以解決許多相關(guān)的問(wèn).知點(diǎn)：乘量1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與量的積是一個(gè)向量，記作：(1)；(2)①當(dāng)時(shí)的向與的向相同當(dāng)2．運(yùn)算律：設(shè)為實(shí)數(shù)結(jié)合律：；分律：，

時(shí)的向與的向相反；③當(dāng)

時(shí)，.3線向量基本定理非零向與向量共的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)非零實(shí)數(shù).要詮：是判定兩個(gè)向量線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng).三規(guī)方指

1.向量的線性運(yùn)算(1)在正確掌握向量加法減法運(yùn)法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個(gè)向量可合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問(wèn)題，減法的三角形法則應(yīng)記住:連接兩端(兩向量的終)指向被(箭頭指向被減)記清法則是靈活運(yùn)用的前.2.共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題向量共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的通常來(lái)斷三點(diǎn)在同一條直線上或兩直線平行.該定理主要用于證明點(diǎn)共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問(wèn).經(jīng)例透類一向的本念例1．判斷下列各命題是否正確(1)若，；(2)若A、、、是共線的四點(diǎn)，則(3)若，(4)兩向量相的充要條件是且.

是四邊形

為平行四邊形的充要條件；思路點(diǎn)撥：相等向量即為長(zhǎng)度相等且方向相同的向.解析：(1)不正確，兩個(gè)向量的度相等，但它們的方向不一定相同，因此由推出.(2)正確且.又A、B、D是不共線的四點(diǎn)，四邊形是行四邊形，且與方向相同因此.(3)正確，同故.

的長(zhǎng)度相等且方向相同；又的度相等且方向相同，的長(zhǎng)度相等且方向相(4)不正確，當(dāng)

但方向相反時(shí)，即使，不能得到，

不是

的充要條件總結(jié)升華：我們應(yīng)該清醒的認(rèn)識(shí)到，兩個(gè)非零向量相等的充要條件應(yīng)是長(zhǎng)度相等且方向相同，量相等是可傳遞.復(fù)習(xí)向量時(shí)，要注意將向量與實(shí)數(shù)、向量與線段、向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算區(qū)別開(kāi).舉一反三：【變式】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)①向量，直線直②兩個(gè)向量當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)才相等；③向量既有向線段；④在平行四邊形中一定有【答案】類二向的性算例2．如圖所示，

的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，且

用

表示思路點(diǎn)撥：利用三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算，用向量法討論幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)幕蛄勘砥渌蛄?，本題的基底就是，它以“生”成.解析：在

中總結(jié)升華：用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量加、減法、數(shù)向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解，既充分用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系，運(yùn)用加法三角形、平行四邊形法則，運(yùn)用減法三角形法則充分利

用三角形的中位線，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向有直接關(guān)系的向量來(lái)求.舉一反三：【變式1如圖eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)中點(diǎn)是的中點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)求的值.【答案】解(如圖)設(shè)，和分別共線，∴存在使∴由基本定理得類三共向與點(diǎn)線題例3．設(shè)兩非零向量和不線，

故，即(1)如果

求證

三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)，

和

共線.思路點(diǎn)撥：要證明

三點(diǎn)共線，須證存在

使

即可.而

和

共線，則一定存在，使.解析：(1)證

共線，又有公共點(diǎn)

，∴

三點(diǎn)共線.(2)解∵

和

共線，∴存在，，則

由于

和不線，只能有則.總結(jié)升華：本題充分地運(yùn)用了向量共線的充要條件，即共線

存在

使

(正用與逆用)舉一反三：【變式1】設(shè)

和

是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量

，試證明：、、三點(diǎn)共線證明：∴又∴∴與共，∴A、三點(diǎn)共線類四綜應(yīng)例4．在中，分為三邊上的動(dòng)點(diǎn)，且在時(shí)，分別從A，，出，各以一定速度沿各邊向B，C，移動(dòng)，當(dāng)t=1，分別到達(dá)B，，A，證：在的何一時(shí)刻，的心為G.解析：設(shè)

的重心為G.由已知點(diǎn)D，E，邊ABBC，CA上的度分別是在任意時(shí)刻時(shí)，有又為一確定向量.總結(jié)升華：熟練地進(jìn)行向量的線性運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵，另外記憶并靈活運(yùn)用.舉一反三：

的重心不變中設(shè)重心為G，

應(yīng)該熟練【變式】如圖，已知點(diǎn)

分別是

三邊

的中點(diǎn)，求證：.

【答案】證明：連結(jié).因?yàn)榉质侨闹悬c(diǎn)，所以四邊形由向量加法的平行四邊形法則，得(1)同理在平行四邊形中(2)平四邊形在，將1)(2)(3)相，得

為平行四邊.(3).基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1.下面的幾個(gè)命題：①若；②長(zhǎng)度不等且方向相反的兩向量不一定是共線向量；③若滿且與同向，；④由于方向不定，故不與任何向量平行；⑤對(duì)于任意向量必其中正確命題的序號(hào)是：()A.①③B.C.③⑤D.①⑤2.在正六邊形ABCDEF中，為中心，則A.B.C.D.3.如圖所示，、、分是的邊ABBC、的中，則=()A.B.C.D.4.若

是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的(A.B.C.D.5.如圖，在平行四邊形ABCD中N分別DCBC中點(diǎn)已知

，用

表示

=___________，___________.6.設(shè)是個(gè)不共線向量，則向量與向量共的充要條件_______________.7.一條漁船距對(duì)岸，2km/h速度向垂直于對(duì)岸的方向劃去，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速8.如圖，、是ABC中AB、的點(diǎn)、N別是DEBC的點(diǎn)已知，試用分別表示.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)答案與解析：1.B【路分析】向量的概念.2.B【路分析】3.D【路分析】∵4.B【路分析】向量的加、減法法.5.

，故選B.，由三角形中位線定理，選D.【思路分析】設(shè)在△ABN中ADM中6.【路分析】由

，、為DC、中點(diǎn)，①②解①②：不共線，必有

，，故

.7.解：

【思路分析】如圖，設(shè)

表示船垂直于對(duì)岸的速度，表水流的速度，則由，就漁船實(shí)際航行的速度，航行的時(shí)間為在中，8.【思路分析】向量的加、減法則解：由三角形中位線定理知：DE//BC且DE=BC故能提：

.1.已知向量，

則一定共線的三點(diǎn)是()A.A、、B.A、B、C.BC、D.AC、2.已知?jiǎng)t

是A、、三點(diǎn)構(gòu)成三角形()A.充分不必要條件B.必要充分條件C.要條件D既充分也不必要條件3.已知向量A.B.4.若

則

C.

若與共，則()D.或(用表示)5.已知在△ABC中DEF分是BCCAAB的點(diǎn)，求證(1)

(2)；(3).6.已知△OAB中點(diǎn)C是A為心的B的稱點(diǎn)D將

分成2：1的個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，與OA交E設(shè).(1)用與表；(2)若，求實(shí)數(shù)的值能力提升答案與解析：1.A【路分析】A、、點(diǎn)共線2.B【思路分析非向量與共線的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)非零實(shí)數(shù)使=；與一向量共線4.5.(1)

【思路分析】，整理得(2)略

.(3)

兩式相加得：

同理，6.解(1)∵是BC中，∴2

，而

，(2)設(shè)

∵

共線∴存在實(shí)數(shù)k，，，綜探：1.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(A.0B.1C.2D.3①③

方向相同②有相等的模④

方向相反方向相同2.在

中，已知

是

邊上一點(diǎn)，

則

()A.

B.C.

D.

3.設(shè)

是兩個(gè)不共線的向量，則向量

與向量

共線的充要條件是()A.k=0B.k=1C.k=2D.k=4.已知正方形邊為1，，的模等于)A.0B.3C.D.5.兩個(gè)非零向量相等是兩個(gè)向量等___________條6.如圖所示，已知一點(diǎn)O到平四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)、、C的量為，=________.7.若非零向量、滿｜-｜｜｜，則(A.｜｜｜-2｜B.｜2｜＜｜-2｜2｜＞｜-｜D.｜2｜＜｜-｜綜合探究答案與解析：1.C【路分析】①②對(duì)③錯(cuò)2.A【路分析△ABC中已知邊上點(diǎn)

=2，則，∴選