小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)易方程教學(xué)微調(diào)的嘗試

小學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)易方程教學(xué)微調(diào)的嘗試

方程與學(xué)生初次會(huì)面是在小學(xué)五年級(jí)上冊(cè)，其中解方程內(nèi)容包含：簡(jiǎn)易方程與稍復(fù)雜的方程、驗(yàn)算及方程的應(yīng)用。教材中主要安排了以下幾種形式的方程：x+a=b、x-a=b、ax=b、x÷a=b、ax+b=c、ax-b=c、(a+x)×b=c、(a-a)×b=c、ax+bx=c、ax-bx=c，除此之外，還有一些變式。應(yīng)用方面，除了基本的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題外，插入了與幾倍多幾、幾倍少幾有關(guān)的相差關(guān)系稍復(fù)雜應(yīng)用題，還有相并關(guān)系的稍復(fù)雜應(yīng)用題。據(jù)前一屆實(shí)驗(yàn)教師反映，單純地按照教材進(jìn)行教學(xué)，行不通，學(xué)生成績(jī)明顯低于往屆，教材編排尚須斟酌，教學(xué)方法也須思索。鑒此，吸取其經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，教學(xué)方程時(shí)作了以下微調(diào)。一、教學(xué)內(nèi)容重排“過(guò)去，解方程的教學(xué)與列方程解應(yīng)用題的教學(xué)是分開進(jìn)行的，前者屬于計(jì)算，后者屬于應(yīng)用。現(xiàn)在恢復(fù)計(jì)算與應(yīng)用的天然聯(lián)系，體現(xiàn)在本單元中，學(xué)習(xí)稍復(fù)雜的方程時(shí)，由實(shí)際問題引入方程，在現(xiàn)實(shí)背景下求解方程并檢驗(yàn)，這樣處理有助于學(xué)生理解解方程的過(guò)程，也有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?！边@是人教版教師參考用書里的一段話，闡述了為什么要改變?cè)薪滩木幣牛呀夥匠膛c用方程解應(yīng)用題合并起來(lái)進(jìn)行教學(xué)。但在實(shí)際中，這種編排遭遇尷尬。如例1“足球上黑色的皮都是五邊形的，白色皮都是六邊形的，白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，共有多少塊黑色皮？”這既是一道求幾倍少幾的逆運(yùn)算應(yīng)用問題，又是一道要解決ax-b=c的較復(fù)雜方程式。兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)同樣都是重點(diǎn)，也同樣都是難點(diǎn)，要求在同一節(jié)課內(nèi)完成，學(xué)生學(xué)得累，教師教得煩，學(xué)習(xí)效果不盡人意。鑒此，我們思索，能否剝離應(yīng)用與方程，回歸到傳統(tǒng)教材的教法中去？抑或可以把其中的應(yīng)用類型更換成簡(jiǎn)單一點(diǎn)的，減緩坡度、降低難度？于是進(jìn)行了兩次嘗試：第一次嘗試：把解方程與應(yīng)用剝離開來(lái)，先教學(xué)解方程，再教學(xué)應(yīng)用。在前一輪教學(xué)遭遇尷尬之后，筆者有了以下思考：計(jì)算與應(yīng)用的結(jié)合難道非得在同一節(jié)課內(nèi)嗎？答案當(dāng)然是否定的，義務(wù)教育教材的編排不就是把計(jì)算與應(yīng)用分開的嗎？難道這樣的教材就完全沒有可取之處嗎？新教材中不也有計(jì)算與應(yīng)用分列的純計(jì)算教學(xué)嗎？數(shù)學(xué)是理性的學(xué)科，她具有其本身的邏輯魅力，不一定也不可能完全借助于或應(yīng)用于生活。而且“算用結(jié)合”只是一個(gè)理念，并不一定要在每一時(shí)每一處都體現(xiàn)她，我們只需要樹立起這樣的觀念，至于結(jié)合的時(shí)機(jī)卻可以靈活選擇，可以在一節(jié)課內(nèi)體現(xiàn)，也可以在一單元內(nèi)?！敖虒W(xué)得法，教無(wú)定法?！痹谶@樣的理念下，我們嘗試著把“算”與“用”剝離開來(lái)進(jìn)行教學(xué)，比如2x-20=4的教學(xué)。先讓學(xué)生練習(xí)幾道乘加與乘減的算式，如4×3+6=，感悟第二步的計(jì)算結(jié)果，就是第一步計(jì)算的結(jié)果12與第二個(gè)數(shù)6相加的結(jié)果，在計(jì)算時(shí)可以把第一步計(jì)算的式子4×3看成是一個(gè)整體。然后再看方程2x-20=4，也可以把2x當(dāng)作一個(gè)整體A，先求出A，然后再求出x。如此教學(xué)對(duì)于優(yōu)生來(lái)說(shuō)比較容易接受，但對(duì)于中差生來(lái)說(shuō)，比較抽象。因此，筆者認(rèn)為還是需要通過(guò)一定的直觀形象來(lái)幫助學(xué)生理解算理。第二次嘗試：調(diào)整應(yīng)用部分內(nèi)容，以已掌握的應(yīng)用類型幫助理解算理。在第一次并不很成功的嘗試之后，筆者在另一個(gè)班級(jí)進(jìn)行了第二次嘗試。即調(diào)整應(yīng)用部分內(nèi)容，以已掌握的應(yīng)用類型來(lái)幫助理解算理。在學(xué)習(xí)某一種解方程的方法之后也不出現(xiàn)新的應(yīng)用類型進(jìn)行應(yīng)用。首先是“以算促用”。借鑒前幾個(gè)級(jí)段“算用結(jié)合”的辦法，運(yùn)用折中的辦法，在計(jì)算教學(xué)時(shí)不出現(xiàn)新的應(yīng)用模式，結(jié)合教學(xué)進(jìn)行一些用新方法解舊問題的練習(xí)，比如進(jìn)行變式的相并關(guān)系應(yīng)用題的練習(xí)。如ax-b=c，在計(jì)算教學(xué)之后，結(jié)合練習(xí)“從5籮桔子中拿出60個(gè)桔子，還剩10個(gè)。求原來(lái)每籮有幾個(gè)？”等題。這一節(jié)課中只有解方程ax-b=c是新授內(nèi)容，而后面的應(yīng)用則為舊知，只不過(guò)現(xiàn)在要用新的解方程的方法去解決，而不是算術(shù)方法。這樣一來(lái)，學(xué)生同樣學(xué)以為用，而且在應(yīng)用解決的過(guò)程中也有提高，但這個(gè)難度卻較原來(lái)的一節(jié)課內(nèi)便要完成“解方程新知+應(yīng)用題新知”低一些，為學(xué)生所能接受。其次是“以用引算”。借助余下的班級(jí)，我們又進(jìn)行了實(shí)踐：把例1的相差關(guān)系應(yīng)用題（足球上黑色的皮都是五邊形的，白色皮都是六邊形的，白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，共有多少塊黑色皮？）改成：從2籮桔子中拿出20個(gè)桔子，還剩4個(gè)。求原來(lái)平均每籮有幾個(gè)？數(shù)據(jù)、方程均與原例題相同，但避開了新的應(yīng)用題類型。事實(shí)表明這一應(yīng)用題的選擇比原例題更能幫助學(xué)生理解算理。它可以借助于實(shí)物理解為什么可以先把2x看成一個(gè)整體，然后再進(jìn)行計(jì)算。教學(xué)中教師可以演示課件或?qū)嵨铮喊涯贸龅慕圩酉葰w還到原來(lái)的籮筐中，求出原來(lái)的2x是多少，然后再算一個(gè)x是多少。在此后一節(jié)課再來(lái)學(xué)習(xí)新的應(yīng)用題。這樣的微調(diào)效果較之上面的安排更為形象直觀，更易被學(xué)生所理解，而且也尊重了教材修訂者的意圖，充分地運(yùn)用了算用結(jié)合，又解決了解方程與應(yīng)用題。在上述解題方法與算用結(jié)合調(diào)節(jié)之后，勢(shì)必會(huì)影響計(jì)算與應(yīng)用的重排與調(diào)整。我們將解方程計(jì)算教學(xué)進(jìn)行了如下調(diào)整（見下表）。這樣的安排雖然會(huì)增加一定的課時(shí)數(shù)，但學(xué)生掌握起來(lái)輕松，而且深入。比起原來(lái)那樣粗粗淺淺地學(xué)了然后再補(bǔ)課的效果好多了。二、解題方法微調(diào)在小學(xué)安排方程教學(xué)的意圖是“讓學(xué)生初步接觸一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)，能使學(xué)生擺脫算術(shù)思維方法中的某些局限性（逆向思考，未知數(shù)不參加運(yùn)算，等于缺少一個(gè)條件，思維的步驟增加），為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)做好認(rèn)識(shí)的準(zhǔn)備和鋪墊”（實(shí)驗(yàn)教科書教師用書），因此在教材中雖不排除以算式各部分關(guān)系來(lái)解方程，卻突出了用等式基本性質(zhì)進(jìn)行解方程這一方法的教學(xué)，其原因如下：一是因?yàn)檎J(rèn)為上述求解方法“實(shí)際上是用算術(shù)的思路求未知數(shù)。到了中學(xué)又要另起爐灶，引入等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理，然后重新學(xué)習(xí)依據(jù)等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理解方程，而且小學(xué)的思路及其算法掌握得越牢固，對(duì)中學(xué)代數(shù)起步教學(xué)的負(fù)遷移就越明顯?，F(xiàn)在，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，從小學(xué)起就引入等式的基本性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出解方程的方法。這就較為徹底地避免了同一內(nèi)容兩種思路、兩種算理解釋的現(xiàn)象，有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接?！倍?，據(jù)說(shuō)在實(shí)驗(yàn)區(qū)經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)以等式的基本性質(zhì)來(lái)解方程，學(xué)生也是能夠理解的。二是因?yàn)椤皟?nèi)容調(diào)整后，利用等式基本性質(zhì)解方程的優(yōu)越性就比較容易顯現(xiàn)出來(lái)了，比如，解形如x+a=b與x-a=b的方程，都可以歸結(jié)為等式兩邊減去（加上）a，得x=b-a與x=b+a。解形如ax=b與÷a=b的方程，都可以歸結(jié)為，等式兩邊除以（乘上）a，得x=b÷a與x=ab。顯然比原來(lái)依據(jù)逆運(yùn)算關(guān)系解方程，思路更為統(tǒng)一?！钡绻玫仁交拘再|(zhì)解方程，在出現(xiàn)a-x=b與a÷x=b二種方程時(shí)，解方程會(huì)顯得十分麻煩，教材因此回避了這兩種方程式的出現(xiàn)?？稍趯W(xué)習(xí)過(guò)程中這是無(wú)法回避的，特別是在學(xué)習(xí)用方程解應(yīng)用題時(shí)，如：爸爸40歲，小明比爸爸小28歲，小明幾歲？設(shè)小明的年齡為x。則等量關(guān)系式既可以是：x+28=40、40-28=x，也可以是40-x=28。當(dāng)出現(xiàn)最后一種情況時(shí)，我們一定要回避嗎？一定要轉(zhuǎn)化為第一種題型嗎？這樣的數(shù)學(xué)是不是太過(guò)刻板？這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)是否會(huì)對(duì)學(xué)生造成思維約束？況且，仔細(xì)分析，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不屬于難題！我們且看一年級(jí)教材中是否就出現(xiàn)過(guò)8-()=3等類型的習(xí)題？一年級(jí)的學(xué)生就能用等式各部分的關(guān)系求出其中的未知數(shù)，到了五年級(jí)難道還不會(huì)嗎？顯然，這種擔(dān)憂是沒有必要的。而且教材中也在解方程的第一課時(shí)出現(xiàn)了用算術(shù)方法解方程的例子。因此，筆者認(rèn)為在提倡用等式基本性質(zhì)解方程的同時(shí)，也不妨嘗試著用等式各部分關(guān)系來(lái)解方程，這種方法從一年級(jí)起就已深入人心了。綜上所述，在解方程方法的選擇上，筆者選擇了兩種方法并側(cè)重于用等式基本性質(zhì)解方程的方法，在平行班級(jí)間展開了不同教學(xué)順序安排的對(duì)比教學(xué)。第一個(gè)班級(jí)的嘗試：先學(xué)用算式各部分關(guān)系解方程，再學(xué)等式基本性質(zhì)解方程。先用一課時(shí)學(xué)習(xí)等式基本性質(zhì)，再用一課時(shí)按照教材思路，學(xué)習(xí)“解方程”與“方程的解”等詞的意義，同時(shí)了解用等式的基本性質(zhì)與等式各部分關(guān)系解方程，再深入用算式各部分關(guān)系解方程這一種方法，然后再深入學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)解方程。因?yàn)橛星懊嫠哪甓鄷r(shí)間的基礎(chǔ)，學(xué)生用等式各部分關(guān)系解方程的方法十分自然，水到渠成。但在學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)解方程時(shí)，學(xué)習(xí)明顯受到了前一種方法的干擾，學(xué)生甚至排斥這種方法。經(jīng)過(guò)兩節(jié)課的學(xué)習(xí)與練習(xí)，對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較使用，學(xué)生終于能接受后一種方法，并懂得在什么時(shí)候選擇哪一種方法。第二個(gè)班級(jí)的嘗試：根據(jù)課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書的安排先學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)解方程，到解方程應(yīng)用題中出現(xiàn)了a-x=b、a÷x=b，再進(jìn)行用算式各部分關(guān)系解方程的教學(xué)。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，由于用等式基本性質(zhì)解題方法太深入，學(xué)生幾乎都無(wú)法想起用算式各部分關(guān)系解方程，解此類方程錯(cuò)誤率較第一位教師多得多。第三個(gè)班級(jí)的嘗試：在學(xué)習(xí)等式基本性質(zhì)后一節(jié)課進(jìn)行用算式各部分關(guān)系解方程的教學(xué)，第三節(jié)課再開始側(cè)重于前一種方法的運(yùn)用。結(jié)果表明，學(xué)生學(xué)得更為混亂，學(xué)生更喜歡用算式各部分關(guān)系來(lái)解方程一。而且在此后解方程時(shí)，包括a-x=b、a÷x=b在內(nèi)的方程時(shí)，錯(cuò)誤率均較第一位老師高。第四個(gè)班級(jí)的嘗試：僅僅學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)來(lái)解方程，對(duì)于算式各部分關(guān)系的解法只在第一課時(shí)帶過(guò)，不作深入教學(xué)。a-x=b以如下步驟進(jìn)行解決：a-x+x=b+xa=b+x，a-b=x，x=a-b教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)基本上不受算式各部分關(guān)系的解法的干擾，但在解決此類方程時(shí)確實(shí)很麻煩。部分學(xué)生“偷偷”用算式各部分關(guān)系來(lái)解決。教學(xué)之后我們以下列方程題進(jìn)行檢測(cè)：(1)x+7=21(2)x-8=22(3)3x=39(4)48÷x=6(5)36-x=15(6)3÷x=2(7)15=5y(8)c÷7=12(9)16+3x=31(10)2x-8.5=7.5(11)6x-3×9=27(12)2(x-8)=12(13)(48-x)÷0.3=50(14)9x-3x=102(15)6x=2x+100結(jié)果發(fā)現(xiàn)，第四位教師所采用的方法學(xué)生準(zhǔn)確率最高，前面三位所教學(xué)的學(xué)生常有出現(xiàn)用算式各部分關(guān)系解方程，而且在此過(guò)程中出現(xiàn)差錯(cuò)，錯(cuò)誤率又以第二、三位老師所執(zhí)教班級(jí)為多，錯(cuò)題多在(11)、(12)、(13)，學(xué)生沒有一步一步去嘗試，而是一步到位直接移項(xiàng)。但我們也發(fā)現(xiàn)第四位所執(zhí)教的學(xué)生作業(yè)速度明顯慢于其他班級(jí)學(xué)生?；诂F(xiàn)實(shí)，在沒有找到更好的解決辦法之前，我們暫且選擇了：以等式基本性質(zhì)與算式各部分關(guān)系解方程的方法并用，側(cè)重于等式基本性質(zhì)解題的方法。三、教學(xué)細(xì)節(jié)究微除了上面兩大尷尬之外，方程教學(xué)之中還遇到了一些困窘，例舉如下：一是方程的格式書寫。用等式基本性質(zhì)解方程，書寫步驟增多，顯得較為復(fù)雜冗長(zhǎng)，抄錯(cuò)數(shù)據(jù)、計(jì)算出錯(cuò)等現(xiàn)象增多，也導(dǎo)致學(xué)生對(duì)此類方法無(wú)形中的排斥。為解決這個(gè)問題，我們采用了以下應(yīng)對(duì)措施，即在解簡(jiǎn)單方程時(shí)要求學(xué)生把步驟一一書寫到位，形成習(xí)慣，然后在解較復(fù)雜的方程時(shí)，學(xué)生思維模式基本形成之后再簡(jiǎn)化書寫（不簡(jiǎn)化思維步驟），如3x-20=16，原要寫成：3x-20+20=16+20，3x=36，3x÷3=36÷3，x=12，簡(jiǎn)寫成：3x=20+16，3x=36，x=36÷3，x=12，雖然步驟沒有減少，但書寫簡(jiǎn)明了許多。也就是說(shuō)，當(dāng)學(xué)生運(yùn)用等式基本性質(zhì)解方程達(dá)到熟練程度時(shí)，我們是否可以放手，簡(jiǎn)化過(guò)程。二是方程的驗(yàn)算。新教材將方程驗(yàn)算教學(xué)安排在解方程學(xué)習(xí)起始課中，學(xué)生在這節(jié)課中既要學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)解方程，進(jìn)行知識(shí)重構(gòu)，又要學(xué)習(xí)解方程的書寫，還要學(xué)習(xí)驗(yàn)算，知識(shí)點(diǎn)過(guò)多，課堂密度太大，不合適。另外，在應(yīng)用題教學(xué)中，不能避免出現(xiàn)諸如：3x-6=2x等情況，而課本中則僅提供計(jì)算方程左邊，然后再與右邊答案直接對(duì)照的方法，致使學(xué)生在初見此題時(shí)產(chǎn)生驗(yàn)算困難。當(dāng)然我們也有辦法避開，把答案代入到應(yīng)用題，根據(jù)實(shí)際進(jìn)行驗(yàn)算。如“小李買了3盒筆，小江買了2盒筆，小李比小江多買了6支。請(qǐng)問每盒筆有幾支？”可以把數(shù)字代入題目，看看小李是否比小江多6支。但這又涉及到驗(yàn)算的多樣化，這能在一節(jié)課內(nèi)與其他內(nèi)容一并解決嗎？顯然，答案是否定的。因此，教學(xué)中，筆者建議把驗(yàn)算另列出來(lái)，置于解方程之后進(jìn)行教學(xué)，以減緩解方程起始課教學(xué)的密度。三是等量關(guān)系與假設(shè)的先后問題。在教材編排中，用方程解應(yīng)用題，都是先假設(shè)，然后再列出等量關(guān)系式進(jìn)行解答的。如：這一呈現(xiàn)形式容易導(dǎo)致學(xué)生不論碰到什么應(yīng)用題都直接把問題中的未知數(shù)設(shè)為x，不進(jìn)行深入的思考。而碰上如“媽媽今年的年齡是小明的3倍，媽媽比小明大24歲，今年媽媽和小明共幾歲？”一類的應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生便會(huì)不知所措。用方程解應(yīng)用題，根本在于等量關(guān)系的把握，至于設(shè)哪個(gè)值為x，有可資選擇的余地，不一定要設(shè)問題中的未知數(shù)為x，象上題中如果設(shè)問題中的未知數(shù)為x，則將面臨很難解答的困境，而設(shè)小明的年齡為x則容易得多，另外，我們也不是不能設(shè)媽媽的年齡為