2023年八年級(jí)數(shù)學(xué)全冊(cè)教案新人教版

第十一章全等三角形

11.1全等三角形

教學(xué)目的：

1了解全等形及全等三角形的的概念；

2理解全等三角形的性質(zhì)；

3在圖形變換以及實(shí)際操作的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺；

4學(xué)生通過(guò)觀測(cè)、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實(shí)際操作中獲得全等三角形的體驗(yàn)在探索

和運(yùn)用全等三角形性質(zhì)的過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

重點(diǎn)：探究全等三角形的性質(zhì)

難點(diǎn)：掌握兩個(gè)全等三角形的相應(yīng)邊，相應(yīng)角

教學(xué)過(guò)程：

觀測(cè)下列圖案，指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形

問(wèn)題：你還能舉出生活中一些實(shí)際例子嗎？

這些形狀、大小相同的圖形放在一起可以完全重合。可以完全重合的兩個(gè)圖形叫做

全等形

可以完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形

引導(dǎo)學(xué)生完畢課本P：，思考：

歸納：

一個(gè)圖形通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即

平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

“全等”用“會(huì)”表達(dá)，讀作“全等于”

兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把表達(dá)相應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在相應(yīng)的位置上，如/ABC和

/DEF全等時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是相應(yīng)頂點(diǎn)，記作/ABCg/DE

Fo把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做相應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做相

應(yīng)邊,重合的角叫做相應(yīng)角

思考:如課本P：,思考圖11.1-1中，/ABC絲/DEF,相應(yīng)邊有什么關(guān)系?相應(yīng)角呢？

歸納：

全等三角形性質(zhì)：

全等三角形的相應(yīng)邊相等；

全等三角形的相應(yīng)角相等。

思考：

(1)下面是兩個(gè)全等的三角形，按下列圖形的位置擺放，指出它們的相應(yīng)頂點(diǎn)、相應(yīng)

邊、相應(yīng)角

r->C

A.%

A.

A

B

(2)將/ABC沿直線BC平移,得到/DEF,說(shuō)出你得到的結(jié)論，說(shuō)明理由？

Ag

BECF

(3)如圖，/ABE且/ACD,AB與AC,AD與AE是相應(yīng)邊，已知：ZA=43°,

ZB=30°，求NADC的大小。

A

C

作業(yè)：P4習(xí)題11.1第1,2,3題。

課題：11.2三角形全等的鑒定（1）

教學(xué)目的

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程,體會(huì)運(yùn)用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程.

②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩(wěn)定性.

③通過(guò)對(duì)問(wèn)題的共同探討，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神.

教學(xué)難點(diǎn)

三角形全等條件的探索過(guò)程.

一、復(fù)習(xí)過(guò)程，引入新知

多媒體顯示，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的定義及其性質(zhì)，從而得出結(jié)論：全等三

角形三條邊相應(yīng)相等，三個(gè)角分別相應(yīng)相等.反之，這六個(gè)元素分別相等，這樣的兩

個(gè)三角形一定全等.

二、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

根據(jù)上面的結(jié)論,提出問(wèn)題：兩個(gè)三角形全等,是否一定需要六個(gè)條件呢?假如只

滿足上述六個(gè)條件中的一部分,是否也能保證兩個(gè)三角形全等呢？

組織學(xué)生進(jìn)行討論交流，通過(guò)學(xué)生逐步分析，各種情況逐漸明朗，進(jìn)行交流予以匯

總歸納.

三、建立模型，探索發(fā)現(xiàn)

出示探究1,先任意畫一個(gè)aABC,再畫一個(gè)aA'B'C',使aABC與△A'B'C',滿足

上述條件中的一個(gè)或兩個(gè).你畫出的aA'B'C'與aABC一定全等嗎？

讓學(xué)生按照下面給出的條件作出三角形.

(1)三角形的兩個(gè)角分別是30°、50°.

(2)三角形的兩條邊分別是4cm,6cm.

(3)三角形的一個(gè)角為30°,一條邊為3cm.

再通過(guò)畫一畫，剪一剪，比一比的方式,得出結(jié)論：只給出一個(gè)或兩個(gè)條件時(shí)，

都不能保證所畫出的三角形一定全等.

出示探究2,先任意畫出一個(gè)△A'B'CL使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,

把畫好的aA'B'C'剪下，放到aABC上,它們?nèi)葐幔?/p>

讓學(xué)生充足交流后，在教師的引導(dǎo)下作出△A'B'C',并通過(guò)比較得出結(jié)論：三邊

相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

四、應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

實(shí)物演示：由三根木條釘成的一個(gè)三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變

的.

鼓勵(lì)學(xué)生舉出生活中的實(shí)例.

給出例1,如下圖4ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC,AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的

支架，求證AABDgZ\ACD.

BDC

讓學(xué)生獨(dú)立思考后口頭表達(dá)理由，由教師板演推理過(guò)程.

例2如圖是用圓規(guī)和直尺畫已知角的平分線的示意圖，作法如下:

①以A為圓心畫弧，分別交角的兩邊于點(diǎn)B和點(diǎn)C;

②分別以點(diǎn)B、C為圓心，相同長(zhǎng)度為半徑畫兩條弧，兩弧交于點(diǎn)D;

③畫射線AD.

AD就是NBAC的平分線.你能說(shuō)明該畫法對(duì)的的理由嗎？

例3如圖四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,你能把四邊形ABCD提成兩個(gè)互

相全等的三角形嗎?你有幾種方法?你能證明你的方法嗎？試一試.

五、鞏固練習(xí)：課本P8頁(yè)的練習(xí).

六、反思小結(jié)

回顧反思本節(jié)課對(duì)知識(shí)的研究探索過(guò)程、小結(jié)方法及結(jié)論,提煉數(shù)學(xué)思想,

掌握數(shù)學(xué)規(guī)律.

七、布置作業(yè)

課本P15習(xí)題11.2第1、2題.

課題：11.2三角形全等的鑒定2）

教學(xué)目的

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)分析圖形能力、動(dòng)手能力.

②在探索三角形全等條件及其運(yùn)用的過(guò)程中，可以進(jìn)行有條理的思考并進(jìn)行簡(jiǎn)樸的

推理.

③通過(guò)對(duì)問(wèn)題的共同探討，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神.

教學(xué)難點(diǎn)

指導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，尋找鑒定三角形全等的條件.

知識(shí)重點(diǎn)

應(yīng)用“邊角邊”證明兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而得出線段或角相等.

教學(xué)過(guò)程（師生活動(dòng)）

一、情境，引入課題

多媒體出示探究3：已知任意AABC,畫△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=

AC,/A'=ZA.

教帥點(diǎn)撥，學(xué)生邊學(xué)邊畫圖，再讓學(xué)生把畫好的△A'B'C',剪下放在AABC上，觀測(cè)

這兩個(gè)三角形是否全等.

二、交流對(duì)話，探求新知

根據(jù)前面的操作,鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)總結(jié)規(guī)律：

兩邊和它們的夾角相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（SAS）

補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)：角必須是兩條相等的相應(yīng)邊的夾角，邊必須是夾相等角的兩對(duì)邊.

三、應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

出示例2,如圖，有一池塘,要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直

接到達(dá)A和B的點(diǎn)C,連接AC并延長(zhǎng)到D,使CD=CA,連接BC并延長(zhǎng)到E,使CE=C

B.連接DE,那么量出DE的長(zhǎng)就是A、B的距離，為什么？

讓學(xué)生充足思考后，書寫推理過(guò)程，并說(shuō)明每一步的依據(jù).

（若學(xué)生不能順利得到證明思緒，教師也可作如下分析:

要想證AB=DE,

只需證△ABCgADEC

△ABC與ADEC全等的條件現(xiàn)有……還需要……）

明確證明分別屬于兩個(gè)三角形的線段相等或者角相等的問(wèn)題，經(jīng)常通過(guò)證明這兩個(gè)

三角形全等來(lái)解決.

補(bǔ)充例題：

1、已知：如圖AB=AC,AD=AE,ZBAC=

求證：△ABD^^ACE

證明:???/BAC=NDAE（已知）

ZBAC+ZCAD=ZDA

ZCAD

/.ZBAD=ZCAE

在4ABD與AACE

AB=AC（已知）

ZBAD=ZCAE（已證）

AD=AE（已知）

A△ABDACE（SAS）

思考:

求證：l.BD=CE2.ZB=ZC3.ZADB=Z

AEC

變式1：已知：如圖，AB±AC,AD_LAE,AB=AC,AD=AE.A

求證：aDAC之AEAB

BE=DCZB=ZCZD=ZEBE

±CD

四、再次探究，釋解疑惑

出示探究4,我們知道,兩邊和它們的夾角相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.由“兩邊及其

中一邊的對(duì)角相應(yīng)相等”的條件能鑒定兩個(gè)三角形全等嗎？為什么？

讓學(xué)生模仿前面的探究方法，得出結(jié)論:兩邊及其中一邊的對(duì)角相應(yīng)相等的兩

個(gè)三角形不一定全等.

教師演示：方法（一）教科書10頁(yè)圖11.2-7.

方法（二）通過(guò)畫圖，讓學(xué)生更直觀地獲得結(jié)論.

五、鞏固練習(xí)

課本P1O頁(yè)，練習(xí)1、2.

六、小結(jié)提高

1.鑒定三角形全等的方法；

2.證明線段、角相等常見的方法有哪些?讓學(xué)生自由表述，其他學(xué)生補(bǔ)充，讓學(xué)生自

己將知識(shí)系統(tǒng)化，以自己的方式進(jìn)行建構(gòu).

七、布置作業(yè)

1.課本P15頁(yè)，習(xí)題11.2第3、4題.

2.選作題：

(1)小明做了一個(gè)如圖所示的風(fēng)箏，測(cè)得DE=DF,EH=FH,你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)淪？并說(shuō)

明理由.

(2)如圖，N1=N2,AB=AD,AE=AC,求證BC=DE.

課題：11.2三角形全等的鑒定(3)-

教學(xué)目的

①探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件：“ASA”“AAS”，并能應(yīng)用它們判別兩個(gè)三角

形是否全等.

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過(guò)程，提高分析、作圖、歸納、表達(dá)、邏輯推理等

能力；并通過(guò)對(duì)知識(shí)方法的總結(jié)，培養(yǎng)反思的習(xí)慣，培養(yǎng)理性思維.

③敢于面對(duì)教學(xué)活動(dòng)中的困難，能通過(guò)合作交流解決碰到的困難.

教學(xué)重點(diǎn)

理解，掌握三角形全等的條件：“ASA”“AAS”.

教學(xué)難點(diǎn)

探究出“ASA”“AAS”以及它們的應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程（師生活動(dòng)）

創(chuàng)設(shè)情境

復(fù)習(xí)：

師:我們已經(jīng)知道，三角形全等的鑒定條件有哪些？

生：“SSS”“SAS”

師:那除了這兩個(gè)條件，滿足另一些條件的兩個(gè)三角形是/否

也也許全等呢？今天我們就來(lái)探究三角形全等的另一些《條件。

探究新知：）

一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心

被撕壞了，如圖,你能制作一張與本來(lái)

同樣大小的新教具？能恢復(fù)本來(lái)三角形

的原貌嗎？

1.師：我們先來(lái)探究第一種情況.（課件出示“探究5……”）

（1）探究5

先任意畫出一個(gè)△ABC,再畫一個(gè)AA，B，C',使A'B'=AB,ZAZ=NA,Z

B'=NB（即使兩角和它們的夾邊相應(yīng)相等）.把畫好的4A'B'C'剪下,放到aABC上,

它們?nèi)葐幔?/p>

師：如何畫出△A'B'C'?先自己獨(dú)立思考，動(dòng)手畫一畫。

在畫的過(guò)程中若碰到不能解決的問(wèn)題.可小組合作交流解決.

生：獨(dú)立探究，試著畫△A'B'C',（有問(wèn)題的,可以小組內(nèi)交流解決……）……

⑵全班討論交流

我們又增長(zhǎng)了一種判別三角形全等的方法.特別應(yīng)A

注意，“邊”必須是“兩角的夾邊”./\廣

練習(xí)：已知：如圖，AB=A'C,NA=NA',ZB=ZC

0

求證：AABEg8A'CD

BC

例1.已知：點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上,BE和CD

相交于點(diǎn)0,AB=AC,ZB=ZC0求證:BD=CE

2.探究6

師：我們?cè)倏纯聪旅娴臈l件：

在AABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,AABC與4DEF全等嗎？

能運(yùn)用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？

師:看已知條什，能否用“角邊角”條件證明.

師:你是怎么證明的？

(根據(jù)學(xué)生的不同探究結(jié)果，進(jìn)行不同的引導(dǎo))

師：從這可以看出，從這些已知條件中能得出兩個(gè)三角形全等.這又反映了一個(gè)什么

規(guī)律？

師:生1很好，這條件我們可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”，又增長(zhǎng)了鑒定兩

個(gè)三角形全等的一個(gè)條件.

強(qiáng)調(diào)“AAS”中的邊是“其中一個(gè)角的對(duì)邊”.

多讓幾個(gè)學(xué)生描述，進(jìn)一步培養(yǎng)歸納、表達(dá)的能力.

例2.課本P12頁(yè)例3。

師：從這道例題中，我們又得出了證明線段相等的又一方法，先證兩線段所在

的三角形全等，這樣,相應(yīng)邊也就相等了.

探究7：

(1)三角相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？

師:想想,如何來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題？

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“畫兩個(gè)三角相應(yīng)相等的三角形”，看是否一定全等，或“用兩個(gè)同一

形狀但大小不同的三角板”等等方法來(lái)探究說(shuō)明.

師:這一規(guī)律我們可以如何表達(dá)？

(2)師：說(shuō)得非常好.現(xiàn)在我們來(lái)小結(jié)一下;鑒定兩個(gè)三角形全等我們已有了哪

些方法？

SSSSASASAAAS

小結(jié)提高

師：這節(jié)課通過(guò)對(duì)兩個(gè)三角形全等條件的進(jìn)一步探究，你有什么收獲？

鞏固練習(xí)

課本P13頁(yè),練習(xí)1、2.

布置作業(yè)

1.課本P15頁(yè)習(xí)題11.2第6、11題

2.如圖,小明不慎將一塊三角形模具打壞為兩塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到

商店去，就能配一塊與本來(lái)同樣的三角形模具呢？假如可以，帶哪塊去合適？為什

么？

課題：11.2三角形全等的鑒定(4)。

教學(xué)目的

①探索并掌握兩個(gè)直角三角形全等的條件：HL,并能應(yīng)用它判別兩個(gè)直角三角形是否

全等.

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過(guò)程，提高分析、作圖、歸納、表達(dá)、邏輯推理等能

力；并通過(guò)對(duì)知識(shí)方法的總結(jié)，培養(yǎng)反思的習(xí)慣，培養(yǎng)理性思維.

③提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)

理解，掌握三角形全等的條件：HL.

教學(xué)過(guò)程：

提問(wèn)：

1、鑒定兩個(gè)三角形全等方法有：,，，。

創(chuàng)設(shè)情境：

(顯示圖片)，舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形,工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形

是否全等，但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無(wú)法測(cè)量.

(1)你能幫他想個(gè)辦法嗎？

方法一:測(cè)量斜邊和一個(gè)相應(yīng)的銳角.(AAS)

方法二:測(cè)量沒遮住的一條直角邊和一個(gè)相應(yīng)的銳角.(ASA)或(AAS)

⑵假如他只帶了一個(gè)卷尺，能完畢這個(gè)任務(wù)嗎？

工作人員測(cè)量了每個(gè)三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別相應(yīng)相等，

于是他就肯定“兩個(gè)直角三角形是全等的”.你相信他的結(jié)論嗎？

下面讓我們一起來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。

新課：

已知線段a、c(a<c)和一個(gè)直角a,運(yùn)用尺規(guī)作一個(gè)RtaABC,使NC=Za,CB

=a,AB=c.

想一想，如何畫呢？

按照下面的環(huán)節(jié)做一做：

⑴作NMCN=Na=90°；

⑵在射線CM上截取線段CB=a

⑶以B為圓心，C為半徑畫弧,交射線CN于點(diǎn)A;

(4)連接AB.

⑴AABC就是所求作的三角形嗎？

⑵剪下這個(gè)三角形,和其他同學(xué)所作的三角形進(jìn)行比較,它們能重合嗎？

直角三角形全等的條件

斜邊和一條直角邊相應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.

想一想

你可以用幾種方法說(shuō)明兩個(gè)直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般

三角形鑒定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS,

尚有直角三角形特殊的鑒定方法一一“HL”.

練一練：

1.如圖，兩根長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在

上，

另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上，兩個(gè)木樁離旗

桿底部的距離相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由。

2.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC

與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾

斜角NABC和/DFE的大小有什么關(guān)系？

解：ZABC+ZDFE=90°.理由如下：

在RtZ\ABC和RtZiDEF中,

則

BC=EF,

AC=DF.

RtAABC^RtADEF(HL).

ZABC=ZDEF

（全等三角形相應(yīng)角相等）.

又ZDEF+ZDFE=90°,

/.ZABC+ZDFE=90°.

小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲呢?與你的同伴進(jìn)行交流

作業(yè)：課本P16頁(yè)第7、8題。

§11.3.1角的平分線的性質(zhì)（一）

教學(xué)目的

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

角平分線的畫法.

（二）能力訓(xùn)練規(guī)定

1.應(yīng)用三角形全等的知識(shí)，解釋角平分線的原理.

2.會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線.

(三)情感與價(jià)值觀規(guī)定

在運(yùn)用尺規(guī)作圖的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力與探索精神.

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用尺規(guī)作已知角的平分線.

教學(xué)難點(diǎn)：角的平分線的作圖方法的提煉.

教學(xué)過(guò)程：

提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

問(wèn)題1:三角形中有哪些重要線段.

問(wèn)題2：你能作出這些線段嗎？

假如老師手里只有直尺和圓規(guī)，你能幫我設(shè)計(jì)一個(gè)作角的平分線的操作方案嗎?

二.導(dǎo)入新課

議一議:下圖是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=

DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下,沿

AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說(shuō)明它的道理嗎？

教師活動(dòng)：h

演示角平分儀器的操作過(guò)程,使學(xué)生直觀了解得到射

線AC的方法.

AB=AD

BC=DC

AC=AC

所以△ABCgAADC(SSS).

所以NCAD=NCAB.

即射線AC就是NDAB的平分線.

老師再提出問(wèn)題：

通過(guò)上述探究，能否總結(jié)出尺規(guī)作已知角的平分線的一般方法.自己動(dòng)手做做看.

然后與同伴交流操作心得.

(分小組完畢這項(xiàng)活動(dòng)，教師可參與到學(xué)生活動(dòng)中，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，給予啟發(fā)

和指導(dǎo)，使講評(píng)更具有針對(duì)性)

討論結(jié)果展示：

作已知角的平分線的方法：

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分線.

作法：

(1)以0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、0B于M、N.

(2)分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧.兩弧在NAOB內(nèi)部交于

2

點(diǎn)C.

(3)作射線0C,射線0C即為所求.

(教師根據(jù)學(xué)生的敘述,作多媒體課件演示，使學(xué)生能更直觀地理解畫法，提

高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好).

議一議：

1.在上面作法的第二步中，去掉"大于‘MN的長(zhǎng)”這個(gè)條件行嗎？

2

2.第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在NAOB的內(nèi)部嗎？

(設(shè)計(jì)這兩個(gè)問(wèn)題的目的在于加深對(duì)角的平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性

的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣)

學(xué)生討論結(jié)果總結(jié)：

1.去掉“大于‘MN的長(zhǎng)”這個(gè)條件，所作的兩弧也許沒有交點(diǎn)，所以就找不到

2

角的平分線.

2.若分別以M、N為圓心，大于』MN的長(zhǎng)為半徑畫兩弧，兩弧的交點(diǎn)也許在N

2

AOB的內(nèi)部，也也許在NAOB的外部，而我們要找的是NAOB內(nèi)部的交點(diǎn)，否則

兩弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線得到的射線就不是/AOB的平分線了.

3?角的平分線是一條射線.它不是線段，也不是直線，所以第二步中的兩個(gè)限制

缺一不可.

4.這種作法的可行性可以通過(guò)全等三角形來(lái)證明.

練一練：任意畫一角NAOB,作它的平分線.

三.隨堂練習(xí)：課本P19練習(xí).

練后總結(jié)：

平角NAOB的平分線0C與直線AB垂直.將0C反向延長(zhǎng)得到直線CD,直線C

D與AB也垂直.

四.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課中我們運(yùn)用已學(xué)過(guò)的三角形全等的知識(shí)，探究得到了角平分線儀器的操

作原理，由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法，進(jìn)一步體會(huì)溫故而知新是一種很好的

學(xué)習(xí)方法.

五.課后作業(yè)

課本P22習(xí)題11.2第1、2題.

§11.3.2角的平分線的性質(zhì)（二）

教學(xué)目的

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)：角的平分線的性質(zhì)

（二）能力訓(xùn)練規(guī)定

1.會(huì)敘述角的平分線的性質(zhì)及“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”.

2.能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)樸的實(shí)際問(wèn)題.

（三）情感與價(jià)值觀規(guī)定

通過(guò)折紙、畫圖、文字一符號(hào)的翻譯活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、探索、概括歸納的

能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好.

教學(xué)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用兩個(gè)性質(zhì)解決問(wèn)題.

教學(xué)方法:探索、歸納的方法.

教學(xué)過(guò)程

一.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

［師］請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的折紙與剪刀，自己動(dòng)手，剪一個(gè)角，把剪好的角對(duì)

折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開，你看到了什么？把對(duì)折的紙片再任意折

一次，然后把紙片展開，又看到了什么？

二.導(dǎo)入新課

角平分線的性質(zhì)即已知角的平分線，能推出什么樣的結(jié)論.

操作：

1.折出如圖所示的折痕PD、PE.

2.你與同伴用三角板檢測(cè)你們所折的折痕是否符合圖示規(guī)定.

畫一畫：

按照折紙的順序畫出一個(gè)角的三條折痕，并度量所畫PD、PE是否等長(zhǎng)?

拿出兩名同學(xué)的畫圖，放在投影下，請(qǐng)大家評(píng)一評(píng)，以達(dá)明確概念的目的.

A

生甲

問(wèn)題1：你能用文字語(yǔ)言敘述所畫圖形的性質(zhì)嗎?

問(wèn)題2:（出示投影片）

能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話.請(qǐng)

填下表:

學(xué)生通過(guò)討論作出下列概括：

己知事項(xiàng)：OC平分NAOB,PD_LOA,PE_LOB,D、E為垂足.

由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)：PD=PE.

于是我們得角的平分線的性質(zhì)：

在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

［師］那么到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？（出示投影）

問(wèn)題3:根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng)，猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng)，并用符

號(hào)語(yǔ)言填寫下表:

由已知事

圖形已知事項(xiàng)項(xiàng)推出的

事項(xiàng)

PD_LOB9

PE1_OA,

垂足為

D、E

PD=PE

下面請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問(wèn)題.

思考：如圖所示，要在s區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等,

離公路與鐵路交叉處500m,這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例

尺為1:20230)?

1.集貿(mào)市場(chǎng)建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個(gè)性質(zhì)可以解

決這個(gè)問(wèn)題？

2.比例尺為1:20230是什么意思？

討論結(jié)果展示：

1.應(yīng)當(dāng)是用第二個(gè)性質(zhì).這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)當(dāng)建在公路與鐵路形成的角的平

分線上,并且規(guī)定離角的頂點(diǎn)500米處.

2.在紙上畫圖時(shí)，我們經(jīng)常在厘米為單位，而題中距離又是以米為單位，這就涉

及一個(gè)單位換算問(wèn)題了.lm=100cm,所以比例尺為1：20230,其實(shí)就是圖中1cm表

達(dá)實(shí)際距離200nl的意思.作圖如下：

第一步:尺規(guī)作圖法作出NA0B的平分線0P.

第二步:在射線0P上截取0C=2.5cm,擬定C點(diǎn)，C點(diǎn)就是集貿(mào)市場(chǎng)合建地了.

總結(jié)：應(yīng)用角平分線的性質(zhì)，就可以省去證明三角形全等的環(huán)節(jié)，使問(wèn)題簡(jiǎn)

樸化.所以若碰到有關(guān)角平分線，又要證線段相等的問(wèn)題，我們可以直接運(yùn)用性質(zhì)解

決問(wèn)題.

［例］如圖，AABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

［師生共析］點(diǎn)P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長(zhǎng)就是P點(diǎn)到三邊

的距離，也就是說(shuō)要證：PD=PE=PF.而BM、CN分別是NB、NC的平分線，根

據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個(gè)問(wèn)題.

證明：過(guò)點(diǎn)P作PDLAB,PE±BC,PF1AC,垂足為D、E、F.

由于BM是AABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

三.隨堂練習(xí)

1.課本P22練習(xí).

2.課本P22習(xí)題11.3第3題.

在這里要提醒學(xué)生直接運(yùn)用角平分線的性質(zhì)，無(wú)須再證三角形全等.

四.課時(shí)小結(jié)

今天，我們學(xué)習(xí)了關(guān)于角平分線的兩個(gè)性質(zhì)：①角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的

距離相等；②到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.它們具有互逆性，可以看出，

隨著研究的進(jìn)一步，解決問(wèn)題越來(lái)越簡(jiǎn)便了.像與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角

相等問(wèn)題,我們可以直接運(yùn)用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等而得出線

段相等.

五.課后作業(yè):課本P22頁(yè)習(xí)題11.3第4、5、6題.

第十二章軸對(duì)稱

§12.1軸對(duì)稱（一）

教學(xué)目的

1.在生活實(shí)例中結(jié)識(shí)軸對(duì)稱圖.

2.分析軸對(duì)稱圖形,理解軸對(duì)稱的概念.

教學(xué)重點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形的概念.

教學(xué)難點(diǎn):可以辨認(rèn)軸對(duì)稱圖形并找出它的對(duì)稱軸.

教學(xué)過(guò)程

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

我們生活在一個(gè)充滿對(duì)稱的世界中，許多建筑物都設(shè)計(jì)成對(duì)稱形，藝術(shù)作品的

創(chuàng)作往往也從對(duì)稱角度考慮，自然界的許多動(dòng)植物也按對(duì)稱形生長(zhǎng)，中國(guó)的方塊字中

些也具有對(duì)稱性……對(duì)稱給我們帶來(lái)多少美的感受!初步掌握對(duì)稱的奧秒，不僅可以

幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖形的特性，還可以使我們感受到自然界的美與和諧.

軸對(duì)稱是對(duì)稱中重要的一種,從這節(jié)課開始,我們來(lái)學(xué)習(xí)第十二章：軸對(duì)稱.今天

我們來(lái)研究第一節(jié),結(jié)識(shí)什么是軸對(duì)稱圖形，什么是對(duì)稱軸.

II.導(dǎo)入新課

出示課本的圖片，觀測(cè)它們都有些什么共同特性.

這些圖形都是對(duì)稱的.這些圖形從中間分開后,左右兩部分可以完全重合.

小結(jié)：對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，甚

至平常生活用品，人們都可以找到對(duì)稱的例子.現(xiàn)在同學(xué)們就從我們生活周邊的事物

中來(lái)找一些具有對(duì)稱特性的例子.

結(jié)論：假如一個(gè)圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分可以互相重合，這個(gè)圖形

就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí),我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直

線（成軸）對(duì)稱.

了解了軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸的概念后,我們來(lái)做一做.

取一張質(zhì)地較硬的紙，將紙對(duì)折，并用小刀在紙的中央隨意刻出一個(gè)圖案，將

紙打開后鋪平，你得到兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖案了嗎？與同伴進(jìn)行交流.

結(jié)論:位于折痕兩側(cè)的圖案是對(duì)稱的,它們可以互相重合.

由此可以得到軸對(duì)稱圖形的特性：一個(gè)圖形沿一條直線折疊后,折痕兩側(cè)的圖

形完全重合.

接下來(lái)我們來(lái)探討一個(gè)有關(guān)對(duì)稱軸的問(wèn)題.有些軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸只有一條,

但有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸卻不止一條,有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸甚至有無(wú)數(shù)條。

下列各圖，你能找出它們的對(duì)稱軸嗎？

結(jié)果：圖（1）有四條對(duì)稱軸；圖（2）有四條對(duì)稱軸；圖（3）有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸;

圖⑷有兩條對(duì)稱軸；圖（5）有七條對(duì)稱軸.

（5）展示掛圖，大家想一想，你發(fā)現(xiàn)了什么？

像這樣,把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，假如它可以與另一個(gè)圖形重合,那么

就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是相應(yīng)

點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

III.隨堂練習(xí)：課本P30練習(xí)和P31練習(xí)

IV.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們重要結(jié)識(shí)了軸對(duì)稱圖形，了解了軸對(duì)稱圖形及有關(guān)概念，進(jìn)一步探

討了軸對(duì)稱的特點(diǎn)，區(qū)分了軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱.

V.作業(yè)：課本P36習(xí)題12.1第1、2、6、7、8題.

VI.活動(dòng)與探究：課本P31思考.

成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等嗎?假如把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸提成兩個(gè)圖形，

那么這兩個(gè)圖形全等嗎?這兩個(gè)圖形對(duì)稱嗎？

過(guò)程:在硬紙板上畫兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形，再用剪刀將這兩個(gè)圖形剪下來(lái)看是

否重合.再在硬紙板上畫出一個(gè)軸對(duì)稱圖形，然后將該圖形剪下來(lái),再沿對(duì)稱軸剪開,

看兩部分是否可以完全重合.

結(jié)論:成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.假如把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸提成兩個(gè)圖

形，這兩個(gè)圖形全等，并且也是成軸對(duì)稱的.

軸對(duì)稱是說(shuō)兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，而軸對(duì)稱圖形是說(shuō)一個(gè)具有特殊形狀的圖

形.

軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形和軸對(duì)稱圖形，都要沿某一條直線折疊后重合;假如把軸對(duì)

稱圖形沿對(duì)稱軸提成兩部分，那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，假

如把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形當(dāng)作一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

板書設(shè)計(jì)

§12.1軸對(duì)稱（一）

一、軸對(duì)稱：假如一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分可以完全重合,

這個(gè)圖形就叫軸對(duì)稱圖形,這條直線叫對(duì)稱軸.

二、兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱:把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，假如它可以與另一

個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

§12.1軸對(duì)稱（二）

教學(xué)目的

1.了解兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱性的性質(zhì)，了解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).

2.探究線段垂直平分線的性質(zhì).

3.經(jīng)歷探索軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的過(guò)程,進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，發(fā)展空間觀測(cè).

教學(xué)重點(diǎn)；1.軸對(duì)稱的性質(zhì).2.線段垂直平分線的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：體驗(yàn)軸對(duì)稱的特性.

教學(xué)過(guò)程:

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

上節(jié)課我們共同探討了軸對(duì)稱圖形，知道現(xiàn)實(shí)生活中由于有軸對(duì)稱圖形,

而使得世界非常美麗.那么大家想一想，什么樣的圖形是軸對(duì)稱圖形呢？

今天繼續(xù)來(lái)研究軸對(duì)稱的性質(zhì).

II.導(dǎo)入新課：觀看投影并思考.

如圖，△ABC^AA,B'C關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A'、B'、

C'分別是點(diǎn)A、B、C的對(duì)稱點(diǎn)，線段AA'、BB'、CC'與直線MN

有什么關(guān)系？

圖中A、A'是對(duì)稱點(diǎn),AA'與MN垂直，BB'和CC'也與MN

垂直.

AA'、BB'和CC'與MN除了垂直以外尚有什么關(guān)系嗎？

△ABC與AA'B'C'關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A'、B，、C'分別是點(diǎn)A、B、C

的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)AA'交對(duì)稱軸MN于點(diǎn)P,將AABC和AA'B'C'沿MN對(duì)折后，點(diǎn)A

與A'重合,于是有AP=A'P,ZMPA=ZMPAz=90°.所以AA'、BB'和CC'

與MN除了垂直以外，MN還通過(guò)線段AA'、BB'和CC'的中點(diǎn).

對(duì)稱軸所在直線通過(guò)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段.我們把通過(guò)

線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

下面我們來(lái)探究線段垂直平分線的性質(zhì).n

如下圖.木條L與AB釘在一起，L垂直平分AB,P”P2,P3,…是

L上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)乙片2,…到A與B的距離，你有

什么發(fā)現(xiàn)?

1.用平面圖將上述問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，先作出線段AB,過(guò)AB/U

中點(diǎn)作AB的垂直平分線L,在L上取P1、P2、P3…，連結(jié)AP「AP?、BP|、BP?、C

PCP?…

2.作好圖后，用直尺量出APi、AP2、BPi、BP?、CP-CP2…討論發(fā)現(xiàn)什么樣

的規(guī)律.

探究結(jié)果：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.即APkBP、AP

[探究2]

如右圖.用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個(gè)簡(jiǎn)易的“弓”,

“箭”通過(guò)木棒中央的孔射出去,怎么才干保持出箭的方向與木棒

垂直呢?為什么？

活動(dòng)：1.用平面圖形將上述問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)

化?作線段AB,取其中點(diǎn)P,過(guò)P作L,在L上取\

點(diǎn)Pi、P2,連結(jié)APi、AP?、BP,.BP2.會(huì)有以下兩'iW

種也許.

2.討論：要使L與AB垂直，AP,,APz、BP,.BP?應(yīng)滿足什么條件？

探究過(guò)程：

1.如上圖甲，若APiWBP?那么沿L將圖形折疊后，A與B不也許重合,也就是

NAPPIWNBPPI,即L與AB不垂直.

2.如上圖乙，若AP產(chǎn)BP“那么沿L將圖形折疊后,A與B恰好重合，就有/

APPkNBPP-即L與AB重合.當(dāng)AP產(chǎn)BR時(shí)，亦然.

探究結(jié)論：

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.也就是說(shuō)在

［探究2］圖中，只要使箭端到弓兩端的端點(diǎn)的距離相等，就能保持射出箭的方向與

木棒垂直.

［師］上述兩個(gè)探究問(wèn)題的結(jié)果就給出了線段垂直平分線的性質(zhì)，即：線段垂直平

分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;反過(guò)來(lái),與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等

的點(diǎn)都在它的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以當(dāng)作是與線段兩端點(diǎn)距離

相等的所有點(diǎn)的集合.

III.隨堂練習(xí)：課本P34練習(xí)1、2.

IV.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課通過(guò)探索軸對(duì)稱圖形對(duì)稱性的過(guò)程，了解了線段的垂直平分線的有關(guān)

性質(zhì)，同學(xué)們應(yīng)靈活運(yùn)用這些性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

V.課后作業(yè)：課本P36習(xí)題12.1第3、4、9題.

板書設(shè)計(jì)

§12.1軸對(duì)稱（二）

一、復(fù)習(xí)：軸對(duì)稱圖形.

二、線段垂直平分線的定義：通過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做

線段的垂直平分線.

三、圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：假如兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是任何一

對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線.類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所

連線段的垂直平分線.

四、線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離

相等；反過(guò)來(lái)，與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在它的垂直平分線上.

§12.2.1作軸對(duì)稱圖形

教學(xué)目的

1.通過(guò)實(shí)際操作，了解什么叫做軸對(duì)稱變換.

2.如何作出一個(gè)圖形關(guān)于一條直線的軸對(duì)稱圖形.

教學(xué)重點(diǎn)

1.軸對(duì)稱變換的定義.

2.可以按規(guī)定作出簡(jiǎn)樸平面圖形通過(guò)軸對(duì)稱后的圖形.

教學(xué)難點(diǎn)

1.作出簡(jiǎn)樸平面圖形關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形.

2.運(yùn)用軸對(duì)稱進(jìn)行一些圖案設(shè)計(jì).

教學(xué)過(guò)程

[.設(shè)立情境，引入新課

在前一個(gè)章節(jié)，我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)問(wèn)

題.在上節(jié)課的作業(yè)中，我們有個(gè)規(guī)定，讓同學(xué)們自己思考一種作軸對(duì)稱圖形的方法,

現(xiàn)在來(lái)看一下同學(xué)們完畢的怎么樣.

將一張紙對(duì)折后，用針尖在紙上扎出一個(gè)圖案，將紙打開后鋪平，得到的兩個(gè)

圖案是關(guān)于折痕成軸對(duì)稱的圖形.

準(zhǔn)備一張質(zhì)地較軟,吸水性能好的紙或報(bào)紙，在紙的一側(cè)上滴上一滴墨水,將紙

迅速對(duì)折,壓平，并且手指壓出清楚的折痕.再將紙打開后鋪平，位于折痕兩側(cè)的墨

跡圖案也是對(duì)稱的.這節(jié)課我們就是來(lái)作簡(jiǎn)樸平面圖形通過(guò)軸對(duì)稱后的圖形.

II.導(dǎo)入新課

由我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)知道,連結(jié)任意一對(duì)相應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.

類似地，我們也可以由一個(gè)圖形得到與它成軸對(duì)稱的另一個(gè)圖形，反復(fù)這個(gè)過(guò)程，可

以得到美麗的圖案。對(duì)稱軸方向和位置發(fā)生變化時(shí)，得到的圖形的方向和位置也會(huì)

發(fā)生變化.大家看大屏幕,從電腦演示的圖案變化中找出對(duì)稱軸的方向和位置，體會(huì)

對(duì)稱軸方向和位置的變化在圖案設(shè)計(jì)中的奇妙用途.

下面，同學(xué)們自己動(dòng)手在一張紙上畫一個(gè)圖形，將這張紙折疊描圖，再打開看

看,得到了什么？改變折痕的位置并反復(fù)幾次，又得到了什么？同學(xué)們互相交流一下.

結(jié)論：由一個(gè)平面圖形呆以得到它關(guān)于一條直線L對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原

圖形的形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線L

的對(duì)稱點(diǎn);連結(jié)任意一對(duì)相應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.

我們把上面由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.

成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看作由另一個(gè)圖形通過(guò)軸對(duì)稱變換后

得到.一個(gè)軸對(duì)稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ),經(jīng)軸對(duì)稱變換擴(kuò)展而成的.

取一張長(zhǎng)30厘米,寬6厘米的紙條，將它每3厘米一段，一正一反像“手

風(fēng)琴”那樣折疊起來(lái)，并在折疊好的紙上畫上字母E,用小刀把畫出的字母E挖去，

拉開''手風(fēng)琴"，你就可以得到以字母E為圖案的花邊.回答下列問(wèn)題.

（1）在你所得的花邊中，相鄰兩個(gè)圖案有什么關(guān)系？相間的兩個(gè)圖案又有什么

關(guān)系？說(shuō)說(shuō)你的理由.

（2）假如以相鄰兩個(gè)圖案為一組,每一組圖案之間有什么關(guān)系？三個(gè)圖案為一

組呢？為什么？

⑶在上面的活動(dòng)中，假如先將紙條縱向?qū)φ郏僬鄢伞笆诛L(fēng)琴”，然后繼續(xù)上

面的環(huán)節(jié)，此時(shí)會(huì)得到如何的花邊？它是軸對(duì)稱圖形嗎?先猜一猜，再做一做.

注：為了保證剪開后的紙條保持連結(jié)，畫出的圖案應(yīng)與折疊線稍遠(yuǎn)一些.

（三）回顧本節(jié)課內(nèi)容，然后小結(jié).

M課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們重要學(xué)習(xí)了如何通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)作出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形,

并且運(yùn)用軸對(duì)稱變換來(lái)設(shè)計(jì)一些美麗的圖案.在運(yùn)用軸對(duì)稱變換設(shè)計(jì)圖案時(shí)，要注意

運(yùn)用對(duì)稱軸位置和方向的變化，使我們?cè)O(shè)計(jì)出更新疑獨(dú)特的美麗圖案.

V.動(dòng)手并思考

（一）如下圖所示，取一張薄的正方形紙，沿對(duì)角線對(duì)折后，得到一個(gè)等腰直角三

角形，再沿斜邊上的高線對(duì)折，將得到的角形沿黑色線剪開，去掉含90°角的部分,

拆開折疊的紙,并將其鋪平.

（1）你會(huì)得如何的圖案？先猜一猜，再做一做.

（2）你能說(shuō)明為什么會(huì)得到這樣的圖案嗎?應(yīng)用學(xué)過(guò)的軸對(duì)稱的知識(shí)試一試.

（3）假如將正方形紙按上面方式折3次，然后再沿圓弧剪開,去掉較小部分,

展開后結(jié)果又會(huì)如何？為什么？

（4）當(dāng)紙對(duì)折2次后，剪出的圖案至少有幾條對(duì)稱軸？3次呢？

答案：（1）得到一個(gè)有2條對(duì)稱軸的圖形.

（2）按照上面的做法,事實(shí)上相稱于折出了正方形的2條對(duì)稱軸；因此（1）

中的圖案一定有2條對(duì)稱軸.

（3）按題中的方式將正方形對(duì)折3次，相稱于折出了正方形的4條對(duì)稱軸,

因此得到的圖案一定有4條對(duì)稱軸.

(4)當(dāng)紙對(duì)折2次，剪出的圖案至少有2條對(duì)稱軸；當(dāng)紙對(duì)折3次，剪出的圖

案至少有4條對(duì)稱軸.

(二)自己設(shè)計(jì)并制作一個(gè)花邊.

作業(yè)：P45習(xí)題12.2第1、5題

板書設(shè)計(jì)

§12.2.1.1作軸對(duì)稱圖形

一.如何由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形.-o運(yùn)用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案

12.2.2用坐標(biāo)表達(dá)軸對(duì)稱

教學(xué)目的

1、在平面直角坐標(biāo)系中，擬定軸對(duì)稱變換前后兩個(gè)圖形中特殊點(diǎn)的位置關(guān)系，

2、2、再運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)作出成軸對(duì)稱的圖形

教學(xué)重點(diǎn)：用坐標(biāo)表達(dá)軸對(duì)稱

教學(xué)難點(diǎn):運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，擬定能代表軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵點(diǎn)

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形的有關(guān)性質(zhì)

二、新授：

1.學(xué)生探索：

點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,—y);點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

(-X,y);點(diǎn)@,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(-X,-y)

2.例3四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(—5,1)、B(-2,1)、C

(-2,5)、D(-5,4),分別作出與四邊形ABCD關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的圖形.

(1)歸納：與已知點(diǎn)關(guān)于y軸或x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律；

(2)學(xué)生畫圖

(3)對(duì)于這類問(wèn)題，只要先求出已知圖形中的一些特殊點(diǎn)的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，描出并

順次連接這些特殊點(diǎn)，就可以得到這個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形.

3、探究問(wèn)題

分別作出4PQR關(guān)于直線x=l(記為m)和直線y=-1(記為n)對(duì)稱的圖形，你能

發(fā)現(xiàn)它們的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間分別有什么關(guān)系嗎？

(1)學(xué)生畫圖，由具體的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系

(2)若aPiQiR?中P1(xlty,)關(guān)于x=l(記為m)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P2

(x2,y2)，

則項(xiàng)+/=加，y尸y2。

2

若Q|R|中P|(x關(guān)于y=T(記為n)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P2(x2,y2),

貝UX|=X2，'+=n.

三、練習(xí)：課本P44第1、2、3題

四、作業(yè)：課本P45第2、3、4、6題

§12.3.1.1等腰三角形(一)

教學(xué)目的

1.等腰三角形的概念.

2.等腰三角形的性質(zhì).

3.等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)重點(diǎn)：1.等腰三角形的概念及性質(zhì).2.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程

I.提出問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境

在前面的學(xué)習(xí)中，我們結(jié)識(shí)了軸對(duì)稱圖形，探究了軸對(duì)稱的性質(zhì)，并且可以作

出一個(gè)簡(jiǎn)樸平面圖形關(guān)于某一直線的軸對(duì)稱圖形，還可以通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)設(shè)計(jì)一

些美麗的圖案.這節(jié)課我們就是從軸對(duì)稱的角度來(lái)結(jié)識(shí)一些我們熟悉的幾何圖形.來(lái)

研究:①三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？

有的三角形是軸對(duì)稱圖形,有的三角形不是.

問(wèn)題：那什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？

滿足軸對(duì)稱的條件的三角形就是軸對(duì)稱圖形，也就是將三角形沿某一條直線對(duì)

折后兩部分可以完全重合的就是軸對(duì)稱圖形.

我們這節(jié)課就來(lái)結(jié)識(shí)一種成軸對(duì)稱圖形的三角形——等腰三角形.

II.導(dǎo)入新課：規(guī)定學(xué)生通過(guò)自己的思考來(lái)做一個(gè)等腰三角形.

A

B*

I

作一條直線L,在L上取點(diǎn)A,在L外取點(diǎn)B,作出點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)C,

連結(jié)AB、BC、CA,則可得到一個(gè)等腰三角形.

等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫

做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.同學(xué)們?cè)?/p>

自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角.

思考：

1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)找出它的對(duì)稱軸.

2.等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？

3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？

4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？底邊上的高所在的直

線呢？

結(jié)論:等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線.由于

等腰三角形的兩腰相等，所以把這兩條腰重合對(duì)折三角形便知:等腰三角形是軸對(duì)稱

圖形，它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線.

規(guī)定學(xué)生把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊，找出它的對(duì)稱軸，并看它的兩個(gè)底

角有什么關(guān)系.

沿等腰三角形的頂角的平分線對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這

個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，并且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，

也是底邊上的高.

由此可以得到等腰三角形的性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角“）.

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常

稱作“三線合一”）.

由上面折疊的過(guò)程獲得啟發(fā)，我們可以通過(guò)作出等腰三角形的對(duì)稱軸，得到兩

個(gè)全等的三角形,從而運(yùn)用三角形的全等來(lái)證明這些性質(zhì).同學(xué)們現(xiàn)在就動(dòng)手來(lái)寫出

這些證明過(guò)程）.

［例1］如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=卜

AD,/\

求：AABC各角的度數(shù)./xV

分析:根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，我們可以得到BC

ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBDC,

再由NBDC=ZA+ZABD,就可得到ZABC=ZC=ZBDC=2ZA.

再由三角形內(nèi)角和為180°,就可求出aABC的三個(gè)內(nèi)角.

把NA設(shè)為x的話，那么NABC、NC都可以用x來(lái)表達(dá)，這樣過(guò)程就更簡(jiǎn)捷.

解：由于AB=AC,BD=BC=AD,

所以NABC=NC=NBDC.

NA=NABD（等邊對(duì)等角）.

設(shè)NA=x,則ZBDC=ZA+ZABD=2x,

從而ZABC=ZC=ZBDC=2x.

于是在△ABC中，有

ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.在aABC中，NA=35°,ZABC=ZC=72°.

［師］下面我們通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固這節(jié)課所學(xué)的知識(shí).

III.隨堂練習(xí)：1.課本P51練習(xí)1、2、3.2.閱讀課本P49~P51,然后小

結(jié).

IV.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們重要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對(duì)性質(zhì)作了簡(jiǎn)樸的應(yīng)用.等腰三角

形是軸對(duì)稱圖形，它的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角），等腰三角形的對(duì)稱軸是它頂角的

平分線,并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高.

我們通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且可以靈活應(yīng)用

它們.

V.作業(yè)：課本P56習(xí)題12.3第1、2、3、4題.

板書設(shè)計(jì)

12.3.1.1~等腰三角形

一、設(shè)計(jì)方案作出一個(gè)等腰三角形

二、等腰三角形性質(zhì)：1.等邊對(duì)等角2.三線合一

§12.3.1.1等腰三角形（二）

教學(xué)目的

1、理解并掌握等腰三角形的鑒定定理及推論

2、能運(yùn)用其性質(zhì)與鑒定證明線段或角的相等關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)：等腰三角形的鑒定定理及推論的運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)的區(qū)分等腰三角形的鑒定與性質(zhì)，可以運(yùn)用等腰三角形的鑒定定理證明

線段的相等關(guān)系.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)

二、新授：

I提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境B北

出示投影片.某地質(zhì)專家為估測(cè)一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸上葉、

一棵樹（B點(diǎn)）為B標(biāo)，然后在這棵樹的正南方（南岸A點(diǎn)抽一小旗作標(biāo)志）4y

60°

沿南偏東60°方向走一段距離到C處時(shí)，測(cè)得NACB為30°,這時(shí)，地質(zhì)專家南

測(cè)得AC的長(zhǎng)度就可知河流寬度.

學(xué)生們很想知道,這樣估測(cè)河流寬度的根據(jù)是什么？帶著這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“等

腰三角形的鑒定”.

II引入新課

1.由性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論的變化，引出研究的內(nèi)容——在4ABC中，苦NB=

ZC,則AB=AC嗎？

作一個(gè)兩個(gè)角相等的三角形，然后觀測(cè)兩等角所對(duì)的邊有什么關(guān)系？

2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形，寫出已知、求證.

2、小結(jié)，通過(guò)論證，這個(gè)命題是真命題，即“等腰三角形的鑒定定理”（板書定理

名稱）.

強(qiáng)調(diào)此定理是在一個(gè)三角形中把角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的相等關(guān)系的重要依據(jù),

類似于性質(zhì)定理可簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”.

4.引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出引例中地質(zhì)專家的測(cè)量方法的根據(jù).

III例題與練習(xí)

2.①如圖3,已知AABC中,AB=AC.NA=36°,則NC____（根據(jù)什么？）.

②如圖4,已知AABC中，ZA=36°,NC=72°,△ABC是三角形（根據(jù)

什么？）.

③若已知NA=36°,ZC=72°,BD平分/ABC交AC于D,判斷圖5中檔腰三

角形有.

④若已知AD=4cm,則BCcm.

3.以問(wèn)題形式引出推論1.

4.以問(wèn)題形式引出推