高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型訓(xùn)練第5章 第5節(jié) 數(shù)列的綜合問題

1－1－1－1－1－1－1－第五節(jié)

數(shù)列的綜合問題考點(diǎn)一

等差、等比數(shù)列的綜合問題[例1]在列a}中，a＝，＝，且a＝(1)a－qa(≥2，≠0)n(1)設(shè)＝a－a(∈N)，證明：是比數(shù)列；nn(2)求數(shù)列}的通項公式；(3)若a是a與a的差中項，求q的，并證明：此時對任意的n∈N，與na的等差中項．[自主解答(1)證設(shè)a＝(1＋)aqa(n≥2)a－＝(－)，n即b＝qb，≥2.又＝－＝，q，所以{是首項為1公比為的比數(shù)列．(2)由(1)，得a－＝，－＝q，?－＝q(≥2)n將以上各式相加，得a＝＋＋＋?≥2)．＝，所以當(dāng)n≥2時，＝1－1＋，≠1.1－q上式對n＝1也成立，＝，所以數(shù)列{a的通項公式為a＝1q1＋，≠1.1－q(3)由(2)，得當(dāng)q＝時顯然是與a的等差中項，故q≠1.由是a與a的差中項，即2＝＋a，可得2＝q＋，由≠0得＋2＝，整理，得(q)＋－＝，解得＝2＝1(舍去．3于是＝－2.1－1－1q而＝＋，a＝＋，＝＋，1－1－1－q1q－所以＋a＝n

2－－＝2＋＝2＋2－×－×2－2－－q－1－＝2＋＝＋＝21－1－q1－q

＝2.

所以對任意的n∈N，是a與a的差中項．【法律解決等差、等比數(shù)列的綜合問題的方法對于等差等數(shù)列的綜合問題應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項n和以及等

1－3221－322差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．已知等差數(shù){的項a＝1，公差>0，且第2項第5項第14項別是等比數(shù)列}的第2項、第項、第4項．(1)求數(shù)列}與的通項公式；nc(2)設(shè)數(shù)列}對n∈均＋＋?＝成，求c＋＋＋?.解：(1)由已知有a＝1＋，＝＋，a＝113，∴(1＋d)＝＋)(113d)，得＝2(∵>0)．∴＝＋－1)·2＝－1.又＝＝，9，∴數(shù)列}的公為3，＝3·3＝3.nc(2)由＋＋?＝，bbncc當(dāng)≥2時，＋＋?＝bbnc兩式相減得≥2時＝－＝2.bn∴＝＝2·3(．nc又當(dāng)＝1時，＝a，c＝3.b∴＝6－2×∴＋＋＋?＝＋＝＋－＋)3.考點(diǎn)二

數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用[例2]某業(yè)城市按照“十二五”(2011年2015年期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求，進(jìn)行減排治污．現(xiàn)以降低SO的排放量為例，原計劃“十二五”期間每年的排放量都比上一年減少0.3萬，已知該城市2011年SO的排放量約為9.3萬噸(1)按原計劃，“十二五”期間城市共排放SO約少萬噸？(2)該城市為響應(yīng)“十八大”提的建設(shè)“美麗中國”的號召，決定加大減排力度．在2012年好按原計劃完成減排務(wù)的條件下，自2013年起，SO的排放量每年比上一年減少的百分率為年這一年SO的年排放量控制在6萬以內(nèi)的值范圍．

89參考數(shù)據(jù)：≈0.9505，≈0.95533[自主解答設(shè)十二五”期間，該城市共排放SO約y噸，依題意，年2015年SO的年排放量構(gòu)成首項為9.3，公差為－0.3的差數(shù)列，5×5－所以＝5×9.3＋×(－＝43.5(萬)．2所以按原計劃“十二五”期間該城市共排放SO約萬噸．(2)由已知得，2012年的SO年放量為9.30.39(萬噸，所以2012年至2020年SO的排放量構(gòu)成首項為，公比為1－p的等比數(shù)列．由題意得9×(1－)＜，由于p<1，所以1－<

8

2，3

2233m2233mm所以1－<0.950，解得>4.95%.所以SO的排放量每年減少的百分率p的取范圍(4.95%,1)．【方法規(guī)律】解決數(shù)列應(yīng)用題應(yīng)注意的問題解決數(shù)列應(yīng)用問題明確問題屬于哪一種類型明是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，是求還，特別是要弄清項數(shù)．n某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)當(dāng)年年底資金增長了50%.計以后每年資金年增長率與第一年的相同司要求企業(yè)從第一年開始底上繳資金d萬元剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)第n年年企業(yè)上繳資金后的剩資金為萬元．(1)用表，，并寫出a與的系式；n(2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示．解：(1)由題意得a＝2000(1＋－d＝000－，35a(1＋－＝－＝4500－d223a＝(1＋－＝a－.nn3(2)由(1)得aa－＝－23＝－d－2?＝d＋?＋33整理得a＝－d)－3＝

(3－)＋d.由題意，a＝4000，3即000－d)＋d4000.10003－解得＝＝.33－1000－m故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時，經(jīng)過m(≥3)年企業(yè)的剩余資金3－2為4000萬元.高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)三

數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題1．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等的綜合題是每年高考的重點(diǎn)，多為解答題，難度偏大，屬中高檔題．2．高考對數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的考查常有以下兩個命題角度：

＋2n＋＋16＋2n＋＋1616b(1)以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立問題；(2)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等的證明問題．[例3](2013·江西高考)正項數(shù){}的前n和滿－n＋－1)－(＋nnnn)＝0.(1)求數(shù)列}的通項公式a；nn＋5(2)令＝數(shù)列的前n項為T.證于任意的都有T<＋64[自主解答由－n＋－1)－＋)0，n得－n＋)](S＋＝n由于{是正項數(shù)列，所以>0，＝＋.n于是＝＝，n≥2時，a＝－S＝＋－－1)(n－＝.綜上，數(shù)列a}的通項公式為a＝.n(2)證明：由于a＝n，故n＋n＋11b＝＝－＋a4＋16111111111T1＋－＋－＋?－＋－1632435－n＋n＋1111＝－－16<

115.16264數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的常見類型及解題策略(1)數(shù)列與不等式的恒成立問題類問題常構(gòu)造函數(shù)過函數(shù)的單調(diào)性等解決問題．(2)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問．解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等．71．已知數(shù){a為等比數(shù)列，其前項和為S，知＋＝，對于任意的n∈，有S，，成差數(shù)列．(1)求數(shù)列}的通項公式；bbb(2)已知b＝(∈)，記T＝?n－≤(－－1)nn對于n≥2恒成立，求實數(shù)m的取范圍．解：(1)設(shè)數(shù)列}的公比為q∵，，成差數(shù)列，∴＝，1∴(1＋＋)＝a(2＋)解得q＝－，27又＋＝＋)＝－，11∴＝，a＝＝22

.1(2)∵＝，＝2∴，∴＝1·2＋3·2＋?，

2＝1·2＋2·2＋3·2＋?－1)·2＋·2，②①－②，得＝22＋?n·2，2－2∴＝－－·2＋－若n－≤(－－1)對于n恒立，則n－≤[(－1)·2＋2－－1](－1)≤m(n－，n－∴≥，2－x－令()＝，2－可判斷fx在∈，＋∞)是減函數(shù)．n－1則()＝的大值為f(2)，2－71∴≥71故實數(shù)m的值范圍，＋

.——————————[課堂歸——通法領(lǐng)]———————————————2種想——函數(shù)思想