2023年高等數(shù)學(xué)考試核說明及模擬試卷

《高等數(shù)學(xué)(1)》考試(核)說明及模擬試卷

東海電大陳曉文

《高等數(shù)學(xué)(1)》課程是江蘇電大開放?？乒た聘鲗I(yè)的一門必修課,課程的內(nèi)容有

一元函數(shù)微積分、級數(shù)和微分方程，所有教學(xué)內(nèi)容為8章。下面逐章提出具體的復(fù)習(xí)規(guī)定，

并指出教材的重點內(nèi)容。希望同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中動手多做些習(xí)題，必要時結(jié)合例題來理

解課程的內(nèi)容。

第一章函數(shù)

本章教學(xué)規(guī)定:

一、理解函數(shù)的概念，了解擬定函數(shù)的要素是定義域和相應(yīng)關(guān)系，能根據(jù)這兩要素判別

兩個函數(shù)是否相等。能純熟地求出函數(shù)的定義域。

二、了解函數(shù)的重要性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性)，會判斷函數(shù)的奇偶性

及奇偶函數(shù)的圖形特點。

三、掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、重要性質(zhì)及其圖形。

四、了解復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的概念，會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。能把一個復(fù)合函數(shù)

分解成簡樸函數(shù)。

五、對一些較簡樸的實際問題，會列出函數(shù)關(guān)系式。

本章重點函數(shù)的概念,基本初等函數(shù)。

綜合舉例:

例1：下列函數(shù)對中，哪些表達同一個函數(shù)？

A/(x)=21nx,g(x)=Inx2;

1—Y

B.f(x)=In----,g(x)=ln(l-x)-ln(x+3);

x+3

C.f(x)=4j?,g(x)=\x\;

x2-l

D.f(x)=——-,g(x)=x-l;

x+1

1-y[x

E.f(x)=

1-x

解:A。石定義域分別不同，故不是同一個函數(shù)

而瓦。的定義域分別相同,對應(yīng)關(guān)系也分別相

同，故是同一個函數(shù).

Y—11

例2:求函數(shù)y=arcsin-------1----------的定義域.

3A/x+1

解：定義域為

x-l

----?11/4

<3,=>-1<x<4

x+1>0

例3:已知函數(shù)/(1—1)=1—1,求/(%)

XX

解:令工一1=.，=>?!=.+1,代入得

XX

f(t)=(t+l)2-l=t2+2t

/(x)=x2+2x

例4:討論函數(shù)y=ln(x+V1+x2)+2sin/的奇偶性,

并指出其圖形特點

解：?.?/(—%)=-7(x),

該函數(shù)為奇函數(shù)，其圖形關(guān)于原點對稱.

第二章極限與連續(xù)

本章教學(xué)規(guī)定:

一、了解極限的概念，知道左右極限的概念，知道在X。點極限存在的充要條件是f（x）

在X。的左、右極限存在且相等。

二、理解無窮小的概念，了解無窮小量的運算性質(zhì)，知道無窮小量之間的比較（高階無

窮小、低階無窮小、同階無窮小、等價無窮?。?。

三、純熟掌握極限的四則運算法則,注意法則的條件是各部分極限都存在，且分母的

極限不為零。

四、知道極限存在的兩個準則：夾逼定理及單調(diào)數(shù)列極限存在定理。純熟掌握兩個

重要極

11

limSmX=1,lim（l+—）v=e（lim（l+x）x=e）

限：xfOXx-8Xx->0

五、能純熟地運用初等方法（極限的四則運算、無窮小的運算性質(zhì)、兩個重要極限、

函數(shù)的連續(xù)性）及洛必塔法則計算函數(shù)的極限。

六、理解函數(shù)在一點連續(xù)的定義，它涉及三部分內(nèi)容：1）f（X）在X。的一個鄰域內(nèi)有

定義；2）在X。存在極限；3）極限值等于X。點的函數(shù)值，這三點缺一不可。了解函數(shù)在區(qū)間

上連續(xù)的概念，在閉區(qū)間上端點是單側(cè)連續(xù)?由函數(shù)在一點X。處連續(xù)的定義，會討論分段函

數(shù)的連續(xù)性。

七、會求函數(shù)的間斷點,x0不是函數(shù)的連續(xù)點，就稱X。為函數(shù)的間斷點。會判斷函數(shù)

間斷點的類型。

八、知道連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍是連續(xù)函數(shù)。兩個連續(xù)函數(shù)的

復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最

大最小值存在定理、零點定理、介值定理）。

本章重點?.求函數(shù)的極限,函數(shù)在一點X。的連續(xù)性。

綜合舉例:

例1:求極限Iim/：7+1T

Ix2+x-2

右刀由TJ廠—X+1—1)-QX1—X+1+1)

角牛：原式二lim--------------------/,-------

—(X2+X-2)-(A/X2-X+1+1)

x(x-l)

=lim

X->1(x+2)(x-1)?(G—x+1+1)

6

例2:求極限lim(土2)

a00x+2

i+y

解:原式=lim(―0)-1

/x

x

Xf8(1+c冷/—2

_e3

e2

=e

例3:求極限limx(ln(九+1)-Inx)

x—>+co

Y+]

解:原式=limxln------

X—>+oox

=limln(l+-)x

x—>-KX)X

=1

例4:求極限lim(VTW+/工)

解：原式=lim((l-3x)；+：吁

xf。(JX+1—1)?(JX+1+1)

sin2x-(Vx+1+1)

=hm((l-3x)-3x+-------------------------

x->0X

=0-^+4

1-cosx

求人為多少時

例5:設(shè)函數(shù)y=<xsinxX0°,

kx=0

函數(shù)y在x=。處連續(xù).

解:由lim/(x)=/(O)

x->0

1-cosX,

/.hm-----------=k

iox-sinx

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

本章教學(xué)規(guī)定:

一、理解導(dǎo)數(shù)與微分的定義。導(dǎo)數(shù)/（*）

與微分dy這兩個概念是等價的。了解導(dǎo)數(shù)

的幾何意義及物理意義,會求曲線的切線方程和法線方程。了解函數(shù)在X。點連續(xù)是可導(dǎo)的必

要條件，但不是充足條件，即f(x)在X。處可導(dǎo)，則f(x)在X。處必連續(xù)，反之不然。

二、牢記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式，純熟掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運算法則。

三、純熟掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。并會推廣到多個中間變量的情形。

四、掌握隱函數(shù)的微分法，對的地求出隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。

五、了解一階微分形式的不變性。

六、在掌握基本導(dǎo)數(shù)公式、求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上,純熟地求出初等函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和微分,

并會求導(dǎo)數(shù)值。

七、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

八、對于幕指函數(shù)、多個函數(shù)相乘除或較復(fù)雜的無理函數(shù)，會用取對數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)

數(shù)或微分。

九、會求用參數(shù)方程表達的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。

本章重點?.導(dǎo)數(shù)與微分的概念及計算。

綜合舉例:

x=Z-sinZ

例1:曲線在/=工處的切線方程.

y=1—cost2

解:切點為(^—1

sin/

斜率為人=—

7t1---------支=]

dx>=-1-cos.--

切線方程為—1=1,——+1)

即y=x--+2

2

例2:設(shè)y=e~xln(2+x)+A/1+3x2,求辦

16x

解：y=-ln(2+x)+ex

2+x2A/1+3x2

3x

dy=(—e-vln(2+x)+----+

2+xA/1+3x2

例3:設(shè)隱函數(shù)y=y(x)由方程sin(x+y2)=x+y

確定，求學(xué)

ax

解:兩邊對x求導(dǎo)得

cos(x+j2)-(1+2)7-yr)=1+y'

dy,1-cos(x+y2)

=y=2

dx2ycos(x+y)-1

例4:已知函數(shù)y=Insinx,求y"

AJJfCOSX

解：y=-一

sinx

〃-si-n2x-cos2x

y:

sinx

=-esc2x

例5:設(shè)y=arcsir^^求y'

%

—-%-Inx

e,In%1x_________

解：y=2arcsm(---)?=

x2

2(1-Inx).Inx

=------1二?arcsin

x-Vx2-In2xX

例6:設(shè)y=(sin%)—求力

解：兩邊取對數(shù)得lny=Xlnsin尤

兩邊對x求導(dǎo)得—?y=Insinx+x?-cosx

ysinx

,//I?xcosx、,

沖=(sin%)?(Insmxd------)dx

sinx

例7：若方程y-盯2=1確定函數(shù)y=y(X),

求(yo)

解:兩邊柝求導(dǎo)得

6—2—22=0

,e'+y-y2

y=---------

2孫-產(chǎn)

當尤=0時,y=0

y(o)=-i

例8:設(shè)y=—J+2，Ct8x,求力

1+x

21

解1+x7?2/2叫「n2?一L_—1

(1+')21十八2X2

1-x2In2arctg-

dy=[2X]dx

(1+x2)21+x2

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

本章教學(xué)規(guī)定:

一、了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論,會用拉格朗日中值定理證明簡樸的不等式。

知道羅爾定理、柯西定理的條件和結(jié)論。

?0??00（）

二、掌握洛必塔法則，能用該法則求000型不定式的極限以及較簡樸的

00-00,0-OO型不定式的極限。

三、知道函數(shù)在一點處的泰勒公式和麥克勞林公式。記住e*、ln（l+x）、sinx、

COSX的麥克勞林公式。

四、掌握用一階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)增減性的方法,會求函數(shù)的增減區(qū)間。

五、理解函數(shù)極值點及極值的概念和極值點的必要條件，純熟掌握求函數(shù)極值的方法（極

值的充足條件）。知道駐點和極值點的區(qū)別和聯(lián)系。

六、了解曲線凹凸的概念，掌握用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線凹凸的方法，會求曲線的拐點。

七、會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線,能用微分法描繪簡樸的函數(shù)圖形。

八、了解最大值、最小值的概念，會求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值。

九、純熟掌握求解一些較簡樸的實際問題中的最大值和最小值的方法。這些實際問題

以幾何問題為主。

十、了解曲率的概念。

叁孽點」用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性及曲線的凹凸性;求函數(shù)的極值點及極值；求幾何問題

中的最大值和最小值。

綜合舉例:

例1：設(shè)函數(shù)/（X）在（々,。）內(nèi)連續(xù)em,b）,

-S/U）=r（x0）=o,則函數(shù)了。）在七處（）.

A取得極小值A(chǔ)取得極大值

C一定有拐點D可能取得極值，也可能有拐點

解:。

例2:下列函數(shù)中滿足羅爾定理的有().

x

C.y=sinx,[O,^]D.y=ln(x+l),[O,l]

解：。

例3:求函數(shù)〉=x-/的單調(diào)遞增區(qū)間.

解y=1-ex

由y>0=>x￡(-8,0)為單調(diào)遞增區(qū)間.

22

例4:設(shè)矩形內(nèi)接于橢圓工+斗=1,求使其面積為最大

46

的矩形邊長

解:設(shè)矩形與橢圓在第一象限的交點為(x,y),則

矩形面積為S=4孫

22

而x,y滿足—+—=1

46

...s=4yj(l-1)

一4力

由S，=41（1_：）+4y6

令S'=0y=V3,x=V2

因此矩形邊長為20,26

例5:求內(nèi)接于拋物線y=1-/與陽由內(nèi)的最大矩形的

面積

解:設(shè)內(nèi)接矩形與拋物線在第一象限的交點為(x,y)

則所求面積為

S=2xy

rftl-x,w兩—1—x

S-2x(1-x2)

由5r=2(l-x2)+2x-(-2x)

Ae八62

令S=Onx=——,y=—

33

、

.??最大矩形面積5=2孫=4竽C

例6:做一個容積為V的無蓋圓柱形容器,底的單位面積造價為a元，側(cè)面的單位面積造價為b

元,試問如何設(shè)計底半徑和高,才干使總造價最小.

解:設(shè)圓柱形容器底半徑為r,則由題意高為

用，

71?r

則總造價為C=7ir~-a+-r'?b

n?r~

,2V

由C=2兀ra----『b

r

因此當?shù)装霃絩=N二'高為力:丁時總造價最小.

例7:設(shè)％>0,試證x>ln(l+x)

證法一:利用拉格朗日中值定理

設(shè)/'(%)=%—ln(l+幻,則在［0,劃上滿足拉格朗日中值

定理條件，存在一點,0<J<x,使

%—0

x-ln(l+x)

即,(0<^<x)

x

由x〉0,上〉0,即x—m(l+x)〉0,即％>ln(1+x)

1+Jx

證法二:利用函數(shù)的單調(diào)性

1Y

???f\x)=1———=」一>0,(當無>。時)

1+X1+X

/(幻單升，當X>0B寸有/(X)>/(0)

而/(0)=0,所以/(九)>0,即x>ln(l+x)

第五章不定積分

本章教學(xué)規(guī)定:

一、理解原函數(shù)與不定積分的概念及關(guān)系，了解不定積分的性質(zhì)。了解不定積分的幾

何意義。

二、熟記基本枳分公式。

三、純熟掌握第一換元積分法和分部積分法，掌握第二換元積分法。會運用不定積

分性質(zhì)、基本積分公式、第一換元積分法、第二換元積分法和分部積分法計算各種不定積分。

四、會求簡樸的有理分式函數(shù)積分，方法是用待定系數(shù)法化成部分分式后再積分。

和重方；原函數(shù)與不定積分的概念,不定積分的計算。

綜合舉例:

x

例1:計算不定積分J\edx

解:原式=_J-deX

XxX

1

+Iexd-

XX

1

+ex+c

X

解：原式=%

x=t2+\Jt

23c

=—t+2t+c

3

23z____

=—(x-1)2+2Vx-l+c

例3:計算不定積分----------r^(1X

J%v2-lnx

角星:原式=[r1dInx

JV2-lnx

=-j(2-lnx)2d(2-lnx)

1

=-2(2-In%)2+c

sinxcosx

dx

(1+sinx)2

解:原式=f——S^n%dsinx

J(1+sinx)2

I—d(l+sinx)-[--------------d(\+sinx)

Jl+sinxJ(l+sinx)2

=ln(l+sinx)d-------------Fc

1+sinx

例5:計算不定積分

__pex?dx

解：原式-Ji+(77

rdex

-J1+(77

=arctanex+c

第六章定積分及其應(yīng)用

本章教學(xué)規(guī)定:

一、理解定積分的概念（涉及定義、幾何意義等）。了解定積分的重要性質(zhì)。

二、了解變上限定積分，了解原函數(shù)存在定理。

三、純熟掌握牛頓一一萊布尼茲公式:

即，/(九)小=Fix)"=F(b)~F(a)

四、純熟掌握定積分的換元積分法：

即公=⑺]9,⑺力

注意作變量替換時，積分上、下限要作相應(yīng)的改變。

五、純熟掌握定積分的分部積分法：

b

即廣〃(x)dv(x)=〃(x)v(x)—[v(x)du(x)

Jaaa

注意每一部分都帶有積分上、下限。

六、了解廣義積分(無窮積分和瑕積分)的概念，會判別一些無窮積分的斂散性，會

計算較簡樸的無窮積分。

七、純熟掌握用定積分計算平面曲線圍成的平面區(qū)域的面積。

八、純熟掌握用定積分計算平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積。

本章重點:定積分的概念,牛頓一一萊布尼茲公式,定積分的計算，計算平面區(qū)域的面積和繞

坐標軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。

綜合舉例:

h

例1:若/食)=，ln面，則/'(%)=().

X

AxlnxB.-x\nx

C.l+lnxD.lnx

解

例2:設(shè)/*(x),g(x)分別是連續(xù)的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則

a

J"'(x)+g'(x)3=().

A/(〃)B.g(a)

C.2g(a)D.2/(a)

解：。

0

例3:Jexdx=().

AOBA

C.-lD發(fā)散

解：3

汽

例4:計算定積分H公

角軍:原式=1....-dsinx

J04-sin-x

=p--(1—+—1—)dsinx

Jo42-sinx2+sinx

Il2+sinx7L

=—In----；——2

42-sinx0

=-ln3

4

例5:計算定積分（xcos-dx

解：原式=21x-dsin^

71C71x

-2x-sin--2|sin—t/x

20b2

71

=2"+4cos—

20

=2萬一4

例6:計算定積分Ra+eL,sinMx

~2

7C

解：原式=2[2xsinx6k

Jo

7C

-2(-xcosx+sinx)2

0

=2

例7:計算定積分j(2x-

角軍:原式=-^e-x2^]d(-x2+x-l)

-x2+X-\2

=—e

0

=e~1—I

例8:求曲線〉=4x-V與直線y=無所圍圖形的面積.

解:所圍圖形的面積為s1

S=[(4x—f-x)dx

9

~2

冗

例9:求由y=〃\y=sinxRx=0所圍成的圖形繞￥軸

旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的例積.

解:旋轉(zhuǎn)體的體積為V

7T兀

V=7if2((e2)2~(sinx)~)dx

1211—

=兀1——e"”——^:+―sin2x)2

224n

第七章級數(shù)

本章教學(xué)規(guī)定:

一、了解無窮級數(shù)的概念：級數(shù)收斂與發(fā)散的定義及收斂級數(shù)的性質(zhì)，了解級數(shù)收斂

的必要條件（級數(shù)發(fā)散的充足條件）。

二、掌握正項級數(shù)的比值判別法，了解正項級數(shù)的比較判別法。

三、記住兒何級數(shù)與P級數(shù)的收斂性：

00當國<1時收斂

(aw0)

n=0當21時發(fā)散

001J當p〉1時收斂

%1當p<1時發(fā)散

四、了解交錯級數(shù)的判別法。

五、理解基級數(shù)的概念:涉及收斂點，發(fā)散點，收斂半徑，收斂域等。

六、掌握求基級數(shù)收斂半徑的方法：

8n

Za,Xaw0）夕=lim3

〃=o?

則收斂半徑為R=!當夕=00寸,R為+oo;夕為+oo時,R=0

P

七、記住函數(shù)e*In（l+x）,sinx,cosx的泰勒級數(shù)（麥克勞林級數(shù)）及這些級數(shù)的收

斂域,會運用這些級數(shù)將簡樸的初等函數(shù)展開成嘉級數(shù)。

八、知道幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)。

本章重點?.無窮級數(shù)的概念,幾何級數(shù)和P級數(shù)的收斂性,正項級數(shù)的比值判別法,基級數(shù)的

收斂半徑。

綜合舉例:

例1：以下級數(shù)收斂的是（）.

0011001

A￡（-+r）5s（一十i）

n=l"〃n=\九

_0°_11產(chǎn)1

苞（牙+/）。三（2〃+二）

72=1乙?guī)譶=\V幾

解:C

+0011

例2:判斷級數(shù)之（-^——，）的斂散性.

〃=in+n7n

解???收斂，而發(fā)散

〃=in+n

.??￡（，一-；潑散

Mn+n7n

例3:求暴級數(shù)才白〃的收斂半徑.

n=02

解:p-lim%

/?—>4-00冊

「n+\1

=lim-----

"TRIn2

.??收斂半徑為R=-=2

P

例4:求幕級數(shù)”t的收斂半徑.

n=\〃?5"

解：*/p=lim

n—>+oon

(T嚴

5+1)5向

=vlim---------------------

—(-1)"2n-l

*/v

,2

-y

...當夕<i時，即w<6時累級數(shù)收斂，

因此收斂半徑為火=6

第八章常微分方程

本章教學(xué)規(guī)定:

一、了解微分方程的基本概念:微分方程，微分方程的階、解、特解、通解、初始條件

和初值問題，線性微分方程。

二、純熟掌握一階可分離變量微分方程的解法。

三、純熟掌握一階線性非齊次微分方程：

了+p（%）y=久％）的解法--常數(shù)變易法和公式法。

四、理解線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。

五、純熟掌握二階線性常系數(shù)齊次微分方程：

y"+py'+qy=O的解法—特性根法。

會根據(jù)特性根的三種情況，純熟地寫出方程的通解,并根據(jù)定解的條件寫出方程特

解。

六、純熟掌握二階線性常系數(shù)非齊次微分方程：

y"+Py，+9〉=/（%）,當自由項f（X）為某些特殊情況時的解法一一待定系數(shù)

法。

所謂f（X）為某些特殊情況是指f（X）為多項式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)

6咒三角函數(shù)cos像,sin小:或它們的和或乘積形式

關(guān)鍵是依據(jù)f（x）的形式及特性根的情況，設(shè)出特解y*，代入原方程，定出y*的系數(shù)。

本章重點?:一階可分離變量微分方程、一階線性微分方程、二階線性常系數(shù)微分方程的解法。

綜合舉例:

例1:微分方程y〃+(y')2-y="的階數(shù)是().

AlB.2

C.3DA

解：B

例2:微分方程V—39+2y=x+"的特解形式是(

A.(ax+b)exB.{ax+b)xex

C.(ax+b)+cxexD.(ax+Z?)+cex

解:c

例3:下列方程中,()是一階線性微分方程.

n1,?2

Ay'=B.—y+ysin-x=cosx

x

x

C.y"+3+y=0Dn.y，=—

y

解:B

例4:求解初值問題

解油變量可分離法得f—磔一=-[-

Jy(i+y)」x

y.?

In—=-Inx+Inc

i+y1

i

由y⑴=l=>lnc=ln—代入上式得通解為

2

y1

1+y2x

例5:求解微分方程y'-y=2比2、滿足火。)=i的特解.

解:由公式法得

-f-1公「2ri-\dx

y=eJ[I2xe~dx+c]

=ex[j2xe~x-e~xdx+c]

=ex(2xex-2ex+c)

由y(0)=1=>c=3

所求特解為y=2(x-l)e2x+3，

例6:求微分方程y"+4y=0的通解.

解:特征方程為無+4=。

特征根為42=±2，

，通解為y=Gcos2x+c2sin2x

例7:求y〃—5y'+6y=2/滿足_/(0)=0,y(0)=1的特解.

解:特征方程是矛—54+6=0,特征根為4=2,4=3

2x3x

/.對應(yīng)齊次方程的通解為5=qe+c2e

設(shè)原方程的一個特解為y*=A/

由待定系數(shù)法得4=1

2x3xx

二.原方程的通解為y=y+y*=c]e+c2e+e

由y'(。)=。,y(。)=1得q=i,c2=-i

所以所求特角星為y=e2x-e3x+e'

高等數(shù)學(xué)（1）模擬試題

一、填空題(每小題2分，共12分)

/W=--IJIJ/C/W=_________

1.若3

2.1

廠sin

lim------=.

2.10sinx

3.函數(shù)f(x)=xe、在點處取得極小值.

4若J/⑴公="幻+G貝吐/(2x-3)dx=

dx

jfx(lnx)2

00

6.是級數(shù)i收斂的必要條件.

二、單選題（每小題2分，共12分）

x（x+l）

y--------

1.1—1在（）時為無窮小量.

A..X->1B.x-0C,x-,-1D,x->oo

2.若f(x)在x=x。處連續(xù)，則有().

Alimf(x)=AH/QO)8./(x)在x=x(,處可微

XT%

C.lim/(x)=/(Xo)D/(x)在=/點可導(dǎo)

3,曲線y=，0-6）在區(qū)間（4,+<x>）內(nèi)是（）.

A.單調(diào)增長且凸的B.單調(diào)增長且凹的

C.單調(diào)減少且凸的D.單調(diào)減少且凹的

4,設(shè)g（x）=fcosa則g，（x）=（）.

A.3x2cosx3B.cosxC.cosx3D.3x2cosx

5.以下命題對的的是（）.

A.liman=0=>Van

…n=l收斂

2a"s?=Xa*

B.收斂級數(shù)"=1部分和k=l有極限

B1

X-T

C.p級數(shù)"=i當P<1時收斂

Z0%00Za0Za+2）

D.級數(shù)，i與級數(shù)，i發(fā)散廁級數(shù)，i發(fā)散

6.下列微分方程中，(）是可分離變量的微分方程.

A.y'=1+x+y2+xy2B.y'+y=e~x

C.y'=l+lnx+lnyD.ydx=（九一y2）dy

三、計算題（本題6分）

82〃

求幕級數(shù)，1〃+1的收斂區(qū)間。

四、計算題(每小題6分，共18分)

lim(―---------)

1.?x—1Inx

2y=0-*ln(3-x),求y'

exy+x-y2=0確定y=y(x),求心

3.由方程dx

五、計算題（每小題6分，共18分）

]Jsin

2-3'-5-2t

f-------aJx

2,J3”

3i

3￡r（x+2）e2dx

六、計算題（每小題8分，共16分）

1.求V=/r滿足y（0）=1的特解.

2.求、+2y-3y=2"的通解

七、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）

?.求內(nèi)接于拋物線y=2-九與x軸所圍區(qū)域內(nèi)的矩形的最大面積.

2.求由曲線y=-一與x=V所圍成平面圖形的面積.

高等數(shù)學(xué)（1）模擬試題答案

一、填空題（每小題2分，共12分）

4x21

1.27

2.0

3.x=-1

-F（2x-3）+c

4.2

5.1

lim<2.=0

6.

二、單選題（每小題2分，共12分）

1.B2.C3.B4.A5.B6.A

三、計算題（每小題6分，共18分）

lnx-x2

原式=lrim----------------

1.I(x-l)lnx

——2x+l

=1山1工--------

XTIX—1

Inx+—

x

—4x+l

lim-------------

—Inx+1+1

=-3/2

yr=a~x?(-1)?InQ?ln(3-x)-^a~x---(―1)

2.