2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)創(chuàng)新設(shè)計(jì)版教案第五章平面向量、復(fù)數(shù)

平面向量、復(fù)數(shù)

第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

考試要求1.了解向量的實(shí)際背景2理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的

含義3理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義5

掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義6了解向量線性運(yùn)

算的性質(zhì)及其幾何意義.

［知識(shí)診斷,基礎(chǔ)夯實(shí)

知識(shí)梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示，此時(shí)有向線段的

方向就是向量的方向.向量箱的大小就是向量的限度(或稱模)，記作曲.

⑵零向量：長(zhǎng)度為0的向量,記作0.

⑶單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a,8平行，記作a〃仇

規(guī)定：0與任一向量平行.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

C

(1)交換律：

AB

求兩個(gè)向量和，a'a+1=〃+a.

加法三角形法則

的運(yùn)算(2)結(jié)合律：

BaQ

柒(a+〃)+c=a+(b+c)

OA

平行四邊形法則

求兩個(gè)向量差

減法個(gè)a—〃=Q+(一

的運(yùn)算

三角形法則

規(guī)定實(shí)數(shù)2與

(lW=Ulla|；

向量a的積是

(2)當(dāng)＞＞0時(shí),弱的方向；

一個(gè)向量，這

數(shù)乘與a的方向相同;當(dāng)2Vo(A+//)?=；

種運(yùn)算叫做向

時(shí)，加的方向與a的方向

量的數(shù)乘，記

相反;當(dāng)2=0時(shí)，

作Aa

3.共線向量定理

向量a(aWO)與。共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使力=腦.

常用結(jié)論

1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則。＞=/醇

十兩

2.OA=XOB+fiOC(X,〃為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A,B,C共線，則2+〃=1.

3.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考

慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”)

(1)⑷與網(wǎng)是否相等和。，8的方向無(wú)關(guān).()

(2)若a〃力，b//c9則a〃c.()

(3)向量B與向量前是共線向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上.()

(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,力共線時(shí)，一定有反之成立.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

解析(2)若方=0,則。與c不一定平行.

(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A,B,C,D四點(diǎn)不一定在

一條直線上.

2.(多選)(2022.威海月考)下列說(shuō)法正確的是()

A.非零向量a與5同向是。=分的必要不充分條件

B.若油與反:共線，則A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上

C.a與6是非零向量，若a與8同向，則。與一方反向

D.設(shè)九〃為實(shí)數(shù)，若/。=曲,則a與力共線

答案ABC

解析根據(jù)向量的有關(guān)概念可知ABC正確，對(duì)于D,當(dāng)2=〃=（）時(shí)，a與b不

一定共線，故D錯(cuò)誤.

3.（2021?長(zhǎng)沙調(diào)研）已知點(diǎn)。為△ABC的外接圓的圓心，且dX+為+前=0,則

△A3C的內(nèi)角A等于（）

A.30°B.450C.60°D.900

答案A

解析由萬(wàn)4+為+劭=0,得/+為=比，又。為△A3C的外接圓的圓心，

根據(jù)加法的幾何意義，四邊形OACB為菱形，且NC4O=60。，因此NCAB=30。.

4.（易錯(cuò)題）下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.若a〃6,WJa=b

B.若⑷=|加，則a=b

C.若⑷=網(wǎng)，則a〃上

D.若a=Z>,則同=網(wǎng)

答案D

解析A中，a//b,則。=勸，故A不正確；

B、C中，由于向量a,5的大小相等，但其方向不確定，故B、C都不正確；D

顯然正確.

5.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則旗=（）

3f1-1-3f

A..-^AB—^ACB.^AB—^AC

答案A

rttiririirA

解析法一如圖所示，旗=成）+麗=5屐>+5奇=5X5（屈

BDC

4-AC）+|（AB-AC）=|AB-|AC,故選A.

法二EB=AB-AE=AB-^AD=A^-^X^AB+AC）=^AB-^AC,故選A.

6.設(shè)a與力是兩個(gè)不共線向量，且向量a+/.b與一出一2@）共線，則2=.

答案

解析由已知2a—bWO,依題意知向量a+勸與2a—力共線，設(shè)。+乃=Z（2a—

b）,則有（1—2%）〃+（攵+2）方=0,因?yàn)樵L力是兩個(gè)不共線向量，故a與8均不為

1—2k=0,11

零向量，所以?I,.解得攵=5，%=—不

火十2=0,乙乙

」考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一平面向量的概念

1.（多選）下列命題中正確的有（）

A.平行向量就是共線向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.a與b同向，且|0>|例，則。>萬(wàn)

D.兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件

答案AD

解析由平行向量和共線向量可知，A正確；

因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量，所以B是錯(cuò)誤的；

因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任何兩個(gè)向量都不能比較大小，所以C

是錯(cuò)誤的；

因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行不能推出兩個(gè)向量相等，而兩個(gè)向量相等，則這兩個(gè)向量平行，

因此兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件，所以D是正確.

2.設(shè)a,8都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使凸=條成立的充分條件是（）

A..a=—bB.a//b

C.a=2bD.a〃）且|。|=網(wǎng)

答案C

解析因?yàn)橄蛄坑岬姆较蚺c向量。方向相同，向量卷的方向與向量b方向相同，

且言=白，所以向量。與向量方方向相同，故可排除A，B,D.

當(dāng)a=25時(shí)，言=]|旨=總故a=25是含=條成立的充分條件.

3.(多選)下列命題正確的有()

A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線

B.單位向量都相等

C.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

D.“若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，且箱=比"="四邊形48co是平行四

邊形”

答案AD

解析方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共

線，故A正確；

單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；

兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相

同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

A,B,C,。是不共線的點(diǎn)，AB=DC,即模相等且方向相同，即平行四邊形ABC。

對(duì)邊平行且相等，反之也成立，故D正確.

感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函

數(shù)圖象的平移混淆.

(4)非零向量a與含的關(guān)系：言是與。同方向的單位向量.

考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算

角度1平面向量的加、減運(yùn)算的幾何意義

例1(1)已知兩個(gè)非零向量a,8滿足|a+Z>|=|a—團(tuán)，則下列結(jié)論正確的是()

\.a〃bB.aA-b

C.\a\=\b\D.a+b=a—b

答案B

解析由已知a,方不共線，在口A8CO中，設(shè)才方=a,AD=b,由|a+b|=|a—勿,

^P|AC|=|DB|,從而口ABC。為矩形，KPABLAD,故

⑵若|成尸位]=|油~AC\=2,則|油+撫尸.

答案2事

解析因?yàn)閨荏|=|苑=|筋一慶）=2,

所以△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以|命+碼為△A8C的邊上的高的2倍，

所以|油+屐：|=2小.

角度2向量的線性運(yùn)算

例2（1）（多選）如圖所示，在△ABC中，。是4?的中點(diǎn)，下列入

關(guān)于向量⑦表示正確的是（）

BC

\.CD=CA+DB

B.CD=BC+DA

.1——

C.CD=^AB+AC

—?1—?1—?

D.CO=]CA+1C8

答案AD

解析對(duì)于A,因?yàn)?。是AB的中點(diǎn)，所以屐）=訪，因?yàn)樵?點(diǎn)+疝，所以前

=CA+DB,所以A正確；

對(duì)于B,由三角形法則得，CD=CB+BD=CB+DA=-BC+DA,所以B不正

確；

對(duì)于C,CD=CA+AD=^AB-AC,所以C不正確；

對(duì)于D,因?yàn)椤Ｊ?3的中點(diǎn)，所以詼=g畫(huà)所以D正確.

（2）如圖，在直角梯形ABC。中，前=；油，BE=2EC,且能=

rAB+sAD,貝U2r+3s=()

A.lB.2C.3D.4

答案C

解析法一由題圖可得

AE=AB+BE=AB+^BC

2

=AB+^BA+AD+DC)

=+|(AD+DC)

?2

因?yàn)殄靦；=癡&+$屐)，所以r=],s=1，

貝i]2r+3s=1+2=3.

法二因?yàn)槠?2比,

所以前一箱=2（屐:一扃,

整理，得靠=!■麴+弓屐7=；筋+弓（屐）+前）=；麴+,屐）,

以下同法一.

法三如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy,

依題意可設(shè)點(diǎn)8（4〃?，0）,D（3m,3/z）,E（4〃z,2h）,其中m>0,

/?>0.

由港'=癡&+$疝,

得(4〃z,2/z)=r(4/?j,0)+s(3〃z,3/?),

1

4m=4mr+3ms,2,

所以解得彳

2/z=3hs,2

所以2r+3s=1+2=3.

感悟提升1.（1）解決平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相

等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、

三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，

把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.

2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角

形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

訓(xùn)練1(1)(2021.昆明二模)已知點(diǎn)尸是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且預(yù)+而+元=

0,則()

A.^=—

B.M=|BA+|BC

C.M=

-2f1一

D.FA=2BA—^BC

答案D

解析由題意，PA-BA=PB,PA+AC=PC,而成+而+亞=0,

：.3^~BA+AC=0,又危=比一放，即3成一2麗+心=0,

(2)在正六邊形A8C0"中，對(duì)角線8D,CF相交于點(diǎn)P.若力=1+)，力，則x

+y=()

57

A.2B，2C.3D，2

答案B

解析如圖，記正六邊形ABCQEF的中心為點(diǎn)O,連接08,P-----弋

OD,易證四邊形QBC。為菱形，且P恰為其中心，/\。\

AD

于是崩=泣=朝,vX/

3BC

因此力=?>+戶>=5油+后

因?yàn)楸?果通+汨

35

所以x=］且y=l,故龍+y=,

考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用

例3設(shè)兩向量“與》不共線.

(1)若屈=4+》，BC=2a+8b,金=3(。-6).求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

⑵試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.

(1)證明'：AB=a+b,BC=2a+Sb,CD=3(a-b).

：.Bb=BC+CD=2a+Sb+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.

：.AB,防共線，又它們有公共點(diǎn)8,

...A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)解；①+)與a+心共線，

.?.存在實(shí)數(shù)L

使ka+b=X(a+kb),即ka+b=Xa-\-Xkb,

(k—X)a=(Ak—l)b.

".'a,8是不共線的兩個(gè)向量，

.,.攵一丸=崩一1=0,/.A?—1=0,,'.k=±1.

感悟提升利用共線向量定理解題的策略

(1)。〃6=。=肪()/0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思

想的運(yùn)用.

(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A,B,C三點(diǎn)共線=＞油,

危共線.

⑶若a與萬(wàn)不共線且癡=〃方，則％=〃=0.

(4)QA=zdB4-//OC(A,〃為實(shí)數(shù))，若A,B,。三點(diǎn)共線，則2+〃=1.

訓(xùn)練2⑴已知a,力是不共線的向量，AB=Xa+b,AC=a+fib^,R),若A,

B,。三點(diǎn)共線，則九〃的關(guān)系一定成立的是()

A."=lB.A//=-1

C.A—〃=—1D.2+//=2

答案A

解析?.?翁與危有公共點(diǎn)A,...若A,B,。三點(diǎn)共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)/使麴

->[A=r,

=tAC,即以+5=伍+〃必，則"消去參數(shù)/得〃/=1；

反之，當(dāng)"=1時(shí)，AB=ya+b,此時(shí)存在實(shí)數(shù)9吏卷=:危，故屈和危共線.

?.?拔與啟有公共點(diǎn)A,.'A,B,。三點(diǎn)共線.故選A.

(2)(2022?石家莊模擬)設(shè)ei與62是兩個(gè)不共線向量，烈=3ei+2e2,CB=ke\+ei，

詼=3ei—2氏2，若A,B,。三點(diǎn)共線，則％的值為.

9

答案F

解析由題意，A,B,。三點(diǎn)共線，故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)人使得油=7筋.

又A3=3ei+2e2,CB—ke\+e2,CD=3e\—2ke*

所以BD=CD—CB=3e\—2ke?—{key+e2)

=(3—A)ei—(2k+l)e2,

所以3ei+2e2=%(3—Z)ei—A(2Z+l)e2,

又ei與C2不共線，

3—A(3—k),9

所以解得仁十

、2=—2(2&+1),

(3)如圖所示，在△A3C中，點(diǎn)。是3C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線

分別交AB,AC所在直線于不同的兩點(diǎn)M,N,^AB=mAM,AC

=nAN,則m+n的值為.

答案2

解析連接AO,則劭=/卷+流)

=^AM+^AN,

因?yàn)镸,O,N三點(diǎn)共線，

ITIYI

所以菱+/=1?所以m+n=2.

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

|]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.已知a,8是兩個(gè)非零向量，月.|。+）|=|。|+|加，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a+Z>=0

B.a=b

C.a與方共線反向

D.存在正實(shí)數(shù)九使a=%

答案D

解析因?yàn)閍,8是兩個(gè)非零向量，且|a+加=|a|十協(xié)所以。與b共線同向，故

D正確.

2.已知屈=a+5）,BC=~3a+6b,CD=4a-b,則（）

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

答案A

解析由題意得筋=就+前=a+5）=筋，又如,魂有公共點(diǎn)8,所以A,B,

D三點(diǎn)共線.

3.如圖所示，在正六邊形ABCDEF,BA+CD+EF^(

A.OB.BE

C.ADD.CF

答案D

解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì),

易得，BA+CD+EF=BA+AF+EF=BF+CB=&.

4.矩形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,E為A。的中點(diǎn)，若無(wú)=詬+〃廈）（九"為

實(shí)數(shù)），則萬(wàn)+〃2=（）

A

-|B-4C1D噌

答案A

解析DE=AE-AD=^AC-Ab

1一，一—1一3f

=^AB+AD）-AD=^AB~^AD,

,,13..,1,95

??4=不"=一不一）2+"22=而+而=7

5.（2022.廣州一模）在△ABC中，點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且篇花，若施=1葩+

面,則見(jiàn)一〃的值是（）

112

A.lB，2C.2D.1

答案C

解析由血=2疝7,得贏=1危，

——?——>1——1——2—Iff—

所以由=又因?yàn)榘費(fèi)=2放

—211

+/.IBC,所以2=],〃=Q，故人一"=’

6.（多選）設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若贏=抑+荻?，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)

B.若/防=2筋一元，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上

C.若瓶=一麗/一&譏則點(diǎn)M是△ABC的重心

D.^AM=xAB+yAC,且x+y=g,則△M8C的面積是△ABC面積的;

答案ACD

解析若巍=專務(wù)+3危，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；

若林=2命一危，即有贏一油=油一位?，即麗/=麗，則點(diǎn)M在邊CB的延

長(zhǎng)線上，故B錯(cuò)誤；

若屐;=一麗f—&譏即而+詼+。而=0,則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C正確；

如圖，M4=xAB-\-yAC,且無(wú)+y=g,A

可得2贏=2港+2y布，設(shè)病=2加，則M為AN的中點(diǎn)，

BNC

則△MBC的面積是△ABC面積的g,故D正確.

7.設(shè)向量a,b不平行，向量癡+。與。+25平行，則實(shí)數(shù)4=.

答案2

解析???向量a,8不平行，.?.a+26W0,又向量九/+)與a+2〃平行，則存在

唯一的實(shí)數(shù)〃，使2a+Z>=〃(a+2Z>)成立，即2a+b=〃a+2〃Z>,則得解

U=2//,

得2=〃=].

8.在銳角△ABC中，CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,yGR),則：=.

答案3

解析由題設(shè)可得

CA+AM=3(AB-AM),

31

即4AM=3AB+AC,即前=押+裨.

f—f31

又屐f=xW7+y危，則x=a，丫=不

故*=3.

y

9.已知。，E,F分別為△ABC的邊8C,CA,A3的中點(diǎn)，且於=a,CA=b,

給出下列命題：@AD=^a—bi②詼=a+f；③次=—%+/；@AD+BE+CF

=0.其中正確命題有.

答案②③④

解析BC=a,CA=b,AD=^AB+^AC=^(AC+CB)+^AC=^CB+AC=~\a

—。，故①錯(cuò)；

BE=BC+^CA=a+^b,故②正確；

CF=^(CB+CA')=^—a+b)=—^a+^b,故③正確；

Ab-\-BE+CF=—6—^a+a+^Z>+^6—^a=0,故④正確.

10.已知a,8不共線，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)/《R,如

果3a=c,2b^d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)f使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上？

若存在，求出實(shí)數(shù)/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解由題設(shè)知，CD=d—c—2b—3a,CE=e—c=(t—3)a+法,

C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)使得走=%詼,

即Q—3)。+力=—3ka+2kb,

整理得?—3+3拄i=(2攵一。4

因?yàn)閍,方不共線，

t―3+3%=0,解得r=|.

所以有

2m,

故存在實(shí)數(shù)使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上.

11.如圖，在△ABC中，。為的四等分點(diǎn)，且靠近8點(diǎn)，E,

戶分別為AC,A。的三等分點(diǎn)，且分別靠近A,。兩點(diǎn)，設(shè)后

=a,AC=b.

(1)試用a,b表示由J,AD,BE；

(2)證明：B,E,尸三點(diǎn)共線.

(1)解在△ABC中，因?yàn)橛?a,AC=b,

所以比=流―油=A_a,

AD=AB+BD=AB+^BC

,13,1

=。+加一4)=于+不>,

BE=BA+AE=—AB+^AC=~a+^b.

⑵證明因?yàn)殁?—a+；。，

2

BF=BA+AF=-AB+^Ab

21\11

-4-^--

Q+-3+-472+a-6

士。+抑

所以際=3曲,即與翁共線,

且有公共點(diǎn)B,

所以3,E,尸三點(diǎn)共線.

|1B級(jí)能力提升

12.（多選）（2022.武漢模擬）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》

一書(shū)中有這樣一個(gè)定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心

和重心間的距離是垂心和重心間的距離之半.這個(gè)定理就是著名的歐拉線定理.設(shè)

△ABC中，點(diǎn)。，H,G分別是其外心、垂心、重心，則下列四個(gè)選項(xiàng)中結(jié)論正

確的是（）

K.GH=2OG

B.GA+GB+GC=0

C.設(shè)8C邊的中點(diǎn)為0,則有存=3而

D.OA=OB=OC

答案AB

解析由題意作圖，如圖所示，易知8C的中點(diǎn)。與A,G共珠

縹

對(duì)于A,由題意得，AG=2GD,ODLBC,AHLBC,所以D

OD//AH,所以麗=2%,所以A正確；

對(duì)于B,由題意得，GB+GC=2GD=~GA,所以放+強(qiáng)+反7=0,所以B正

確；

對(duì)于C,由題意知AG=2GD,又GH=2OG,/AGH=/DGO,所以

△AGH^ADGO,所以初=2礪，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,向量宓，OB,灰■的模相等，方向不同，故D錯(cuò)誤.故選AB.

2

13.如圖，在△ABC中，AN=^NC,P是BN上一點(diǎn)、,若辦=同

+|AC,則實(shí)數(shù)，的值為

答案I

解析法一因?yàn)橛?/7,

所以危=|俞，

所以由（=同+]危=tAB+yAN,

3o

因?yàn)?,P,N三點(diǎn)、共線,

所以什1=1,所以￡=[.

OO

2—?f2f

法二因?yàn)橛醨=§危，所以病=5比,

設(shè)沛=刀誦，則辦=俞+沛

=7AC+XNB

2

=水+，麗+隔

=Z4B+|(1-2)AC.

―一―

又AP=MB+qAC,

I2

所以tAB+^AC=AAB+^\-2)AC,

得《2/,、1解得t=/=4.

7(1-2)=T,6

14.經(jīng)過(guò)△0A8的重心G的直線與OA,0B分別交于點(diǎn)P,Q,^OP=mOA,0Q

=nOB,tn,.

(1)證明：5+:為定值；

(2)求m+n的最小值.

⑴證明設(shè)蘇=a,OB=b.

由題意知%/+彷)

=1(a+6),

PQ=OQ—OP=nb—ma,

PG=OG—0P=[^—iv^a+^b,

由P,G,。三點(diǎn)共線得，

存在實(shí)數(shù)人使得的=2歷，

即nb-ma=—wz'ja+,

消去見(jiàn)得3+3=3.

nm

(2)解由(1)知，5+[=3,

于是〃2+〃=:(\+0(〃Z+〃)

.n.mA1,4

=d2+—+—^T(2+2)=T.

3\mnJ3V73

24

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=§時(shí)，機(jī)+〃取得最小值，最小值為I.

第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

考試要求1.理解平面向量基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其

坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算4.理解用坐標(biāo)表示的

平面向量共線的條件.

□知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

知識(shí)梳理

1.平面向量的基本定理

條件ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量

對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)為，石，使。=這約

結(jié)論

+22g2

若ei,e2不共線,我們把｛ei,及｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

基底

基底

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模

設(shè)。=(尤1，yi),)=(X2,m)，則

a+』=(x]+必yi+y2)，a~~Z>=(xi—X2，vi—V2)，^a=(2xi>zyi),

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi，y),B(x2,y2)>則成=(兀2—為，丫2-yi)，I麗汨)？+(丫2-y”.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)4=(汨，V),8=(無(wú)2，”)，向量a,Z>(Z>WO)共線的充要條件是XIV2—X2V1=0.

常用結(jié)論

1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.

2.若a與b不共線,Aa+/tb=0,則丸=〃=0.

3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的

向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”)

(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()

(2)設(shè)G,力是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)九,義2,〃2滿足丸1。+〃1方=%2。+〃2方，

貝！〃1=〃2.()

(3)若a=(xi，y\),b=(X2,yi),則的充要條件可以表示成%=%.()

(4)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)V

解析(1)共線向量不可以作為基底.

(3)若6=(0,0),則普=號(hào)無(wú)意義.

2.(2022?合肥質(zhì)檢)設(shè)向量。=(一3,4),向量b與向量。方向相反，且向=10,則

向量6的坐標(biāo)為()

A.(一弓，B.(—6,8)

(68、

C.g一yD.(6,-8)

答案D

解析因?yàn)橄蛄縝與a方向相反，則可設(shè)b=Aa=(—3A,4A),衣0,則步|=

、9產(chǎn)+161=5囚=10,.?./1=—2,6=(6,-8).

3.(多選)已知向量醇=(1,一3),OB=(2,-1),OC=(m+l,m-2),若A,B,

C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)機(jī)可以是()

1

A.-2B，2C.lD.-1

答案ABD

解析各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，若A,B,C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形.因?yàn)榍?為一

OA=(2,-1)—(1,—3)=(1,2),AC=OC-04=(機(jī)+1,m—2)—(1,—3)=(m,

m+1).假設(shè)A,B,。三點(diǎn)共線，則1X(加+1)—2相=0,即機(jī)=1.所以只要加W1,

A,B,C三點(diǎn)就可構(gòu)成三角形，故選ABD.

4.(2021.濟(jì)南模擬)如圖，在平行四邊形A8CO中，尸是BC的中點(diǎn)，CE=~2DE,

若前=■+)疝，則x+y=()

A.lB.6

答案C

解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,

所以荏=曲，AD=BC,

因?yàn)樽?—2崩，所以比=抻，

—?—?—?2—?1—?2—?1—?

EF=EC+CF=^AB-^BC=^AB-^AD,

又因?yàn)闈?jì)=X/葩+y彷，

211

所以x=g,y=~-2,故x+y=d

5.已知A(—5,8),8(7,3),則與向量協(xié)反向的單位向量為.

(-12,5、

口案11313；

解析由已知得屈=(12,-5),所以日酉=13,

因此與防反向的單位向量為一上通=(一||,日.

6.給出下列三個(gè)向量：。=(—2,3),8=[1,一3，c=(-1,1),在這三個(gè)向量

中任意取兩個(gè)作為一組，能構(gòu)成基底的組數(shù)為.

答案2

解析易知?！?，。與c不共線，8與c不共線，所以能構(gòu)成基底的組數(shù)為2.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用

例1(1)在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，且坑)=25t,CE=3EA,

若麗=a,AC=b,則應(yīng)等于()

D.—1a+否。

答案c

解析DE=DC+CE

=1(Ac—A6)—

If5f1

~M=—乎

2?

(2)在△ABC中，點(diǎn)P是A3上一點(diǎn)，旦麗=］曰+1奇，。是3C的中點(diǎn)，AQ

與CP的交點(diǎn)為M,又瓜l=t百,則/的值為.

答案i3

解析如圖所示.

BQC

VA,M,。三點(diǎn)共線，

Z.CM=xCQ+(l~x)CA

X-?.-?

=]CB+(1—x)CA,

又，.Q=|五+Q,CM=t&,

(x1

感悟提升(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或

三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，

利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.

(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基

底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.注意同一個(gè)向量

在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.

訓(xùn)練1(1)在梯形A3CO中，AB//CD,AB=2CD,M,N分別為CD,的中點(diǎn).

^AB=AAM+^IAN,則2+〃等于()

1234

A.§B.gC.§D.g

答案D

解析因?yàn)榻?前十柿=俞+函=俞+(五+勵(lì)=2俞+說(shuō)+拓1=2病一

所以屈=|■京一?拓所以2=—,,〃=,，所以%+〃=,.

(2)在平行四邊形ABCD中，AC與80交于點(diǎn)。，尸是線段。C上的點(diǎn).若OC=

3DF,^AC=a,BD=b,則油=()

1,12,1

A4"士]力B.^a+^b

答案B

解析如圖所示，平行四邊形ABC。中，AC與BO交于點(diǎn)O,D_F___^C

廠是線段0c上的點(diǎn)，且。。=3。尸，

AB

：.DF=^DC=^(OC-OD)=|(AC-BD)9Ab=dD-OA

1->

+]AC.

則赤=疝+而=(g前>+g對(duì)+/0正一勃)=演)+|危等+*,故選B.

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.在平行四邊形A8CO中，AD=(3,7),AB=(-2,3),對(duì)角線AC與8。交于

點(diǎn)。，則前的坐標(biāo)為()

A(T5)B.&5)

c1-/-5)D.&-5)

答案C

解析因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛8CD中，疝=(3,7),AB=(-2,3),對(duì)角線AC與

BD交于點(diǎn)、0,所以《5二一劭二一暴力+彳方尸卜/一5).

2.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=〃+〃b(九〃WR),則(=

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析以向量。和萬(wàn)的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正

方形邊長(zhǎng)為1),

則A(l,-1),B(6,2),

.,.a=AO=(—1,1),b=0B=(6,2),c=BC=(—l,—3).

?:c=兀a+/ib,

A(-l,-3)=2(-1,l)+〃(6,2),

T+6〃=—1,

則4解得4=—2,//=-I，

，+2〃=-3,

2

3.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且41，1)，C(2,3),\BC\=2\AC

則向量份的坐標(biāo)是.

答案(4,7)

解析由點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，|辰：|=2|危得慶：=—2危.

設(shè)點(diǎn)B為(光，y),

則(2—x,3-y)=-2(l,2),

2—X——2,x=4,

即解得《

3—y=-4,J=7.

所以向量為的坐標(biāo)是(4,7).

4.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量次，OB,0C,其中與為的夾

角為120。,宓與灰:的夾角為30。,且麗1=1,|比1=2小,

若沆'=2宓+〃彷(九〃GR),則丸+〃的值為

答案6

解析以。為原點(diǎn)，04為x軸建立直角坐標(biāo)系,

則A(l,0),C(2V3cos30°,2小sin30。),

B(cos120°,sin120°).

C(3,小),《一/

即A(l,0),

A-於=3,

由比=%醇+/帝得，＜

件嚴(yán)小.

I乙

4=2,

.?.%+〃=6.

U=4.1

感悟提升平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若

已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求

解.

考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示

角度1利用向量共線求參數(shù)

例2(1)已知向量。=(1,2),6=(2,-2),c=(l,2).若c//(2a+b),貝U2=.

答案2

解析2a+5=(4,2),因?yàn)閏=(l,2),且c〃(2a+A),所以1X2=42,即2=；.

(2)已知向量為=(312),為=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線，

則k=.

答案V2

解析AB=OB-OA=(4~k,-7),

AC=OC—OA=(—2k,—2).

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以油，病共線，

2

所以一2X(4一%)=-7X(—2%),解得％=一？

角度2利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)

例3已知點(diǎn)A(4,0),3(4,4),C(2,6),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與。3的交點(diǎn)P

的坐標(biāo)為.

答案(3,3)

解析法一由。，P,8三點(diǎn)共線，可設(shè)/=丸加=(4九42),則崩=0>—倒

=(42—4,42).

又AC=OC—OA=(—2,6),

由協(xié)與危共線，得(4/1—4)X6—42X(—2)=0,

解得丸=W，所以刃=^^=(3,3),

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).

法二設(shè)點(diǎn)P(x,y),則0>=(尤，y),因?yàn)闉?(4,4),且必與為共線，所以點(diǎn)=

4,即x=V

又能=(x—4,y),AC=(-2,6),且辦與危共線，

所以(無(wú)-4)><6—yX(—2)=0,

解得x=y=3,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).

感悟提升1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若4=(X1,y),》=(X2,

yi),則a//b的充要條件是xi”一X2yi=0:

(2)若a〃〃SW0),則4=勸.

2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的

坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.

訓(xùn)練2平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(~i,2),c=(4,1).

⑴若(a+姐〃(2Z>-a),求實(shí)數(shù)A；

(2)若d滿足(d—c)〃m+方)，且|d—c|=小，求d的坐標(biāo).

解(l)a+品=(3+4女,2+女)，

2b—。=(—5,2),

由題意得2X(3+%一(-5)X(2+2)=。,

解得人=—

(2)設(shè)d=(x,y),則a—c=(x—4,y—1),

又a+》=(2,4),|d—c|=小,

4(x-4)-2(y-1)=0,x=3,

<解得

.(x—4)2+(y—1)2=5,1,

x=5,

或

)=3.

的坐標(biāo)為(3,-1)或(5,3).

拓展視野/等和線的應(yīng)用

等和(高)線定理

(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)、B'

論可知，若5>=%昂+〃為〃?R),則2+〃=1,由△OAB

與△OA?相似，必存在一個(gè)常數(shù)攵，ZWR,使得辦』攵舁，

則辦三人由=以或+例為，又分，=》醇+)，彷(x,yGR),：.x+y=k^+fi)=k；

反之也成立.

(2)平面內(nèi)一組基底萬(wàn)I,為及任一向量辦。dP'=XOA+naB{X,//eR),若點(diǎn)P，

在直線AB上或在平行于A3的直線上，則％+〃=%（定值）；反之也成立，我們把

直線A8以及與直線A8平行的直線成為等和（高）線.

例給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量次和彷，它們的夾角為~

120。，如圖，點(diǎn)。在以。為圓心的圓弧松上運(yùn)動(dòng)，若比=》醇\j

_0A

+yOB,其中x,y￡R,則x+y的最大值是.

答案2

解析法一由已知可設(shè)QA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.

其中A（l,0）,《一；，明，C（cos。，sin。），（其中NAOC=0,0W9W竽）.

則有0C=（cosOysin0）

=x（l,0）+y（—由，

〃y

x-2~cos仇廠r

即＜廠得x=s^sin8+cos0,y=—^sin0,

￥＞‘=sin仇

x+y=^sin9+cos6+^^sin?=y/5sin9+cos夕=25山（。+季），

27r

其中owew丁，所以（x+y）max=2,

TT

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.

法二如圖，連接AB交OC于點(diǎn)。，一'、

設(shè)沆＞=t比，由于肉=%為+＞訪，\

所以歷=*x次+y狗）.oA

因?yàn)椤辏?A,8三點(diǎn)在同一直線上，所以次+?=1,x+y=1,

由于麗=/函="當(dāng)OO_LAB時(shí)t取到最小值看

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A,或點(diǎn)3重合時(shí)f取到最大值1,

故1Wx+yW2.故x+y的最大值為2.

法三(等和線法)連接AB,過(guò)C作直線1//AB,則直線/為B<['、

以次，場(chǎng)為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和線，顯然當(dāng)

/與圓弧相切于C時(shí)，定值最大，/

因?yàn)镹AOB=120。，所以龍1=宓+為，

所以x+y的最大值為2.

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

|A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

y

1.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量油的坐標(biāo)是()

A。，2)/

1B：：

B.(—2,-2)o-V~2

C.(l,1)

D.(—1,-1)

答案D

解析因?yàn)锳(2,2),B(l,1),

所以AB=(—1,—1).

2.在下列向量組中，可以把向量。=(3,2)表示出來(lái)的是()

A.ei=(O,0),e2=(l，2)

B.ei=(-1,2),e2=(5,-2)

C.ei=(3,5),02=(6,10)

D.ei=(2,一3),e2=(—2,3)

答案B

解析對(duì)于A,C,D都有ei〃e2,所以只有B成立.

3.如圖，已知命=a,AC=b,BC=4BD,CA=3CE,則無(wú)=

()

A.%一53,

Bp-a

r5,3

C.^a—^bD它一心

答案D

4.（多選）（2021?威海調(diào)研）設(shè)”是已知的平面向量且“WO,關(guān)于向量a的分解，有

如下四個(gè)命題（向量方，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線），則真命題是（）

A.給定向量分，總存在向量c,使a=A+c

B.給定向