計(jì)算機(jī)控制理論結(jié)課作業(yè)-基于極點(diǎn)配置法的直線一級倒立擺的控制器設(shè)計(jì)

基于極點(diǎn)配置法的直線一級倒立擺的控制器設(shè)計(jì)姓名：學(xué)號：專業(yè)：控制工程

基于極點(diǎn)配置法的直線一級倒立擺的控制器設(shè)計(jì)摘要倒立擺系統(tǒng)是一種典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合和快速運(yùn)動的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。在對該系統(tǒng)的控制過程中能反映出許多控制理論中的關(guān)鍵問題，如跟蹤問題、魯棒性問題、非線性問題以及鎮(zhèn)定問題等。對倒立擺系統(tǒng)的研究在控制理論方面和工程應(yīng)用方面意義深遠(yuǎn)，與此相關(guān)的科研成果已經(jīng)成功地應(yīng)用到航天科技控制和機(jī)器人學(xué)等諸多領(lǐng)域。本文首先介紹了倒立擺的系統(tǒng)特性、分類方式、系統(tǒng)控制研究的發(fā)展趨勢和現(xiàn)狀及其控制方法。接著利用牛頓力學(xué)的分析推導(dǎo)出直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，得出相應(yīng)的傳遞函數(shù)以及寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，本文先采用PID控制和極點(diǎn)配置法對一級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，分別設(shè)計(jì)出PID控制器和極點(diǎn)配置控制器，搭建仿真框圖，然后通過MATLAB對兩種控制算法的效果進(jìn)行仿真。關(guān)鍵詞：倒立擺，PID控制，極點(diǎn)配置，MATLAB/SIMULINK

DesignoftheLinear1-stageInvertedPendulumControllerBasedontheTheoryofpoleAuthor：ChaiHaibinTutor：GuanShoupingAbstractInvertedpendulumsystemismultivariable,nonlinear,strong-coupling,fast-movingandinstabilitytypically.Inthecontrolprocess,manyofthepivotalquestionsincontroltheorycanbereflected,suchastrackingquestion,robustquestion,non-linearproblemaswellascalmquestionandsoon.TheresearchesonInvertedPendulumsystemintheoryandengineeringapplicationshasfar-reachingsignificance.Theinterrelatedresearchhasbeenalreadyappliedtosomanyfieldslikeastronauticsscienceandrobotics.Thesystemcharacters,classification,controlmethods,theprogressoftheresearchonInvertedPendulumcontrolanditsstatushavebeentalkedaboutinthisdissertationfirstly.Inthenextplace,themathematicalmodelofthelinear1-stageInvertedPendulumhasderivedfromthemeansofNewtonmechanics,thenitscorrespondingtransferfunctionexpressionandstatespacerepresentationhavebeenobtained.Onthisbasis,thedissertationadoptsthePIDcontrolandpoleplacementmethodforcontrollingthelinear1-stageInvertedPendulumatfirst.PIDcontrollerandpoleplacementcontrollerweredesigned.Thenbuildthesystemsimulationdiagram,andtheeffectsoftwocontrolalgorithmsarepresentedbyMATLAB.KeyWords:invertedpendulum,PIDcontrol,poleassignment,Matlab/Simulink

目錄引言 -15-引言倒立擺系統(tǒng)的控制問題是經(jīng)典的控制方面的問題，針對倒立擺系統(tǒng)的研究也十分成熟。在二十世紀(jì)四十年代，一級倒立擺設(shè)備由麻省理工大學(xué)的電機(jī)工程學(xué)院設(shè)計(jì)出來，該成果標(biāo)志著倒立擺研究的起點(diǎn)。研究表明，控制系統(tǒng)對倒立擺系統(tǒng)的物理特性的穩(wěn)定性有影響[1]。所以，我們推測到可以施加適度的控制，使一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。本文首先對PID控制的基本理論和基于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置理論作了簡短的介紹，然后通過力學(xué)分析對直線一級倒立擺進(jìn)行系統(tǒng)建模，得到直線一級倒立擺的傳遞函數(shù)。再由傳遞函數(shù)計(jì)算得到一級倒立擺的狀態(tài)空間模型，并分析了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性。其次，針對該系統(tǒng)首先用臨界比例度法對PID的三個(gè)參數(shù)進(jìn)行合理設(shè)置，通過Matlab/Simulink搭建仿真框圖進(jìn)行仿真，使系統(tǒng)得到比較好的響應(yīng)效果。然后確定理想的極點(diǎn)，配置系統(tǒng)極點(diǎn)，得到滿意的控制效果。最后利用MATLAB對控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證控制方法的有效性。最后，對比了經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論的進(jìn)行了比較。

1PID控制與極點(diǎn)配置法簡介1.1PID控制的基本原理在控制理論中，PID控制是一種簡易成熟的控制方法。PID控制的基本思想是對實(shí)際測量值與理論值的差值進(jìn)行控制。通過調(diào)整KP、KI、KD三個(gè)參數(shù)，進(jìn)行線性組合后，對被控對象進(jìn)行控制。PID控制器產(chǎn)生的控制信號控制差值使其圖1.1PID控制器原理圖PID控制是利用給定輸入r(t)與實(shí)際輸出c(t)的差值求得系統(tǒng)偏差e(t)： (1.1)PID的控制規(guī)律： (1.2)或以傳遞函數(shù)形式： (1.3)上述等式還可以改為： (1.4)式中，PID控制器包含三個(gè)環(huán)節(jié)，各個(gè)環(huán)節(jié)的用處見下：（1）比例環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)作用程度的大小受比例系數(shù)KP的影響。KP的數(shù)值越大，系統(tǒng)的過渡時(shí)間越短，控制后系統(tǒng)的靜態(tài)誤差越小。但K（2）積分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)的引入能消減系統(tǒng)靜態(tài)誤差，提高系統(tǒng)誤差度。積分的效果強(qiáng)弱受到積分時(shí)間常數(shù)TI的值越小，積分效果越強(qiáng)。KI的值增大可能導(dǎo)致超調(diào)量增加，甚至系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩，而（3）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)對誤差的變化率起作用，有一定的預(yù)報(bào)作用，在e(t)變化大的情況下加入適當(dāng)控制，使系統(tǒng)的響應(yīng)變快，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短。1.2基于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置理論狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的含義是，以一組期望的極點(diǎn)為性能指標(biāo)，對線性時(shí)不變受控系統(tǒng)綜合出一個(gè)狀態(tài)反饋的控制，使綜合導(dǎo)出的控制系統(tǒng)的特征值配置到復(fù)平面的期望位置[2]。為使極點(diǎn)配置問題標(biāo)準(zhǔn)化，考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：x=A式中，x為n維狀態(tài)，u為p維輸入，A、B為已知相應(yīng)維數(shù)矩。再任意指定nλ1*它們?yōu)閷?shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。進(jìn)而，限定控制輸入為狀態(tài)反饋，有u=-Kx式中，K為p×n反饋矩陣，v為p維參考輸入?；诖耍瑺顟B(tài)反饋極點(diǎn)配置的形式化提法就是，對給定受控系統(tǒng)，確定一個(gè)反饋矩陣Kx=A的特征值滿足關(guān)系式：λiA式中，λ(□)表示矩陣的特征值，通過阿克曼公式或者比較系數(shù)法，可以

2直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型2.1一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立一級倒立擺系統(tǒng)的模型如圖2.1。圖2.1一級倒立擺系統(tǒng)示意圖建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型所必須的諸多參數(shù)見表2.1。表2.1直線一級倒立擺數(shù)學(xué)模型參數(shù)參數(shù)參數(shù)意義及單位x小車的位移，在導(dǎo)軌中心時(shí)為零，單位：mθ擺桿的角位移，擺桿直立時(shí)為零，單位：radM小車的質(zhì)量，單位：kgm擺桿的質(zhì)量，單位：kgl擺桿的長度，單位：mJ擺桿的轉(zhuǎn)動慣量，單位：kg*m2θ擺桿與豎直向上方向的夾角，單位：radφ擺桿與豎直向下方向的夾角，單位：radF對小車施加的拉力，單位：Nb轉(zhuǎn)軸的摩擦阻尼系數(shù)，單位：N/m/secP擺桿和小車間力垂直方向上分力，單位：NN擺桿和小車間力水平方向上分力，單位：N下圖2.2是小車和擺桿單獨(dú)的受力分析圖。(a)小車受力分析(b)擺桿受力分析圖2.2受力分析圖假設(shè)擺桿為質(zhì)量均勻的剛體，小車與導(dǎo)軌間無摩擦。根據(jù)牛頓定律分析水平和垂直方向小車受力，線性化處理并在零初始條件下Laplace變換可得： (2.1)由于系統(tǒng)的輸出為角度，求解式(2.1)中的第一個(gè)式子可得： (2.2)若令，則可以得到： (2.3)把(2.3)代入(2.1)的第二個(gè)式子中，整理后得到傳遞函數(shù)： (2.4)其中，由得到傳遞函數(shù)，可寫出狀態(tài)空間方程，系統(tǒng)的四個(gè)變量為。由(2.1)對，解方程得：(2.5)將式(2.5)整理，得到矩陣形式的狀態(tài)空間：(2.6)其中，u表示由，對于勻質(zhì)分布的擺桿有，故可得到： (2.7)將小車的加速度作為輸入時(shí)，即令，則有： (2.8)其中，表2.2中為倒立擺系統(tǒng)模型的實(shí)際參數(shù)值，將各項(xiàng)參數(shù)的實(shí)際值代入式(2.8)，得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。表2.2直線一級倒立擺實(shí)際模型參數(shù)參數(shù)參數(shù)值參數(shù)參數(shù)值M1.096kgl0.25mm0.1096kgJ0.0034kg*m2b0.1N/m/sec小車加速度作為輸入的狀態(tài)空間方程為 (2.9)將參數(shù)的實(shí)際值代入到式(2.2)、(2.3)、(2.4)中，可得在系統(tǒng)中：（1）擺桿的角度為輸出和小車位移為輸入的傳遞函數(shù)： (2.10)（2）擺桿角度為輸出和小車加速度為輸入的傳遞函數(shù)： (2.11)其中，，即小車的位移等于對加速度求雙重積分。（3）擺桿角度為輸出和外部作用力為輸入的傳遞函數(shù)： (2.12)2.2一級倒立擺系統(tǒng)的性能分析2.2.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)——李雅普諾夫第一判定定理：對于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，有：(1)系統(tǒng)在李雅普諾夫定義下是穩(wěn)定的的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征根都有非正的實(shí)部，且只具有虛部的特征值為A的最小多項(xiàng)式的單根。(2)系統(tǒng)僅有的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都只有負(fù)實(shí)部。所以由上節(jié)得到的實(shí)際模型，可知狀態(tài)空間方程為： (2.13)其中，將代入特征方程，矩陣運(yùn)算后得系統(tǒng)的特征值：由特征值可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)有二重特征根在原點(diǎn)，分別有一個(gè)特征根在S平面的左、右半平面上。由李雅普諾夫定理可知：一級倒立擺系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。2.2.2系統(tǒng)能控性和能觀性的檢驗(yàn)n階線性定常連續(xù)系統(tǒng)式(2.13)狀態(tài)完全能控，僅當(dāng)系統(tǒng)能控性陣： (2.14)滿秩，即。n階線性定常連續(xù)系統(tǒng)式(2.13)狀態(tài)完全能控，僅當(dāng)系統(tǒng)能觀性矩陣： (2.15)滿秩，即。MATLAB可用函數(shù)求能控性矩陣M以及計(jì)算?？捎煤瘮?shù)得系統(tǒng)的能控性矩陣N及求出。最后可得結(jié)果，均滿秩。則一級倒立擺系統(tǒng)是能控、能觀的。綜上所述，可得直線一級倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，卻是能控、能觀的。

3直線一級倒立擺系統(tǒng)的控制3.1一級倒立擺的PID控制3.1.1PID控制器的設(shè)計(jì)為了讓閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)都分布在S平面的左半部分，需要調(diào)整PID控制器中的、、，通過調(diào)整參數(shù)，改善系統(tǒng)的動、靜態(tài)指標(biāo)[3]。綜上，設(shè)計(jì)PID控制器，，由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，得出擺桿角度的傳遞函數(shù)如式(2.12)，PID控制器的設(shè)計(jì)和仿真框圖如圖3.1所示。圖3.1倒立擺的角度與作用力控制框圖同理，由式(2.11)，得出擺桿角度與小車加速度的傳遞函數(shù)?？驁D如圖3.2所示。圖3.2倒立擺的角度與加速度控制框圖3.1.2PID控制器的參數(shù)整定臨界比例度法整定原則是讓控制器在純比例作用下，在不斷試驗(yàn)找到系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩的時(shí)刻，記下該時(shí)刻的比例，再用簡單的計(jì)算求出衰減振蕩時(shí)的參數(shù)值。具體步驟如下：1、設(shè)置使，比例系數(shù)為較大值，隨之在工況穩(wěn)定的前提條件下將控制系統(tǒng)投入自動狀態(tài)[4]。2、將設(shè)定的值增大到一個(gè)數(shù)值，觀察記錄曲線，此時(shí)得到的是一個(gè)衰減過程的曲線。系統(tǒng)運(yùn)行后，慢慢減小系統(tǒng)比例，系統(tǒng)等幅震蕩時(shí)，記下此時(shí)的比例和振蕩周期。3、由經(jīng)驗(yàn)整定表，利用所測得的和計(jì)算衰減振蕩時(shí)的控制器參數(shù)。經(jīng)驗(yàn)整定表格如下，即：表3.1穩(wěn)定邊界法的參數(shù)整定公式調(diào)節(jié)規(guī)律利用穩(wěn)定邊界法調(diào)整各參數(shù)，可得： (3.1)其中，。由式(3.1)能夠看出，控制器由一個(gè)位于原點(diǎn)的極點(diǎn)和兩個(gè)位于的零點(diǎn)。3.1.3PID控制仿真分析通過穩(wěn)定邊界法整定系數(shù)，可得時(shí)出現(xiàn)等幅振蕩，，系統(tǒng)臨界振蕩的增益為60。由式(2.11)的傳遞函數(shù)，得到系統(tǒng)角度與加速度引入PID控制器后的仿真結(jié)果，如圖3.3。其中，。若所得結(jié)果不理想，可以減小取值，使得調(diào)節(jié)時(shí)間縮短。圖3.3一級倒立擺角度的PID控制仿真圖由圖3.3可以知道，角度最終穩(wěn)定在1，穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零，說明PID控制器是系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。圖3.4表示在10s以后，小車的位移量都已經(jīng)達(dá)到-460，即PID控制器不能使小車的位移穩(wěn)定[3]。故得到結(jié)論，PID控制器是單輸入、單輸出的，對擺桿的角度進(jìn)行控制時(shí)，不能控制小車的位移，所以小車只能向單一方向運(yùn)動。圖3.4一級倒立擺位移的PID控制仿真圖綜上，利用PID控制系統(tǒng)時(shí)，PID控制器只能較理想得控制擺桿角度，卻無法同時(shí)控制小車位移[5]。故單輸入單輸出的PID算法無法滿足倒立擺的控制要求。3.2一級倒立擺極點(diǎn)配置控制器的設(shè)計(jì)下圖3.5為狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置控制器。圖3.5狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置控制器設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： (3.2)對系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋，假設(shè)受控信號為： (3.3)式中，為系統(tǒng)外部的輸入信號。將上式轉(zhuǎn)換后，改寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： (3.4)假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)為，，則特征方程可以表示成： (3.5)。3.2.1一級倒立擺極點(diǎn)配置的算法在Ackermann算法中，反饋矩陣由式(3.6)確定： (3.6)其中，為將A代入式(3.5)中得到多項(xiàng)式的值。TC稱為系統(tǒng)的能控性判據(jù)，。若系統(tǒng)能控，則滿秩。若是單變量系統(tǒng)，存在，據(jù)此能實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置控制器的設(shè)計(jì)[6]。MATLAB中的函數(shù)可實(shí)現(xiàn)該算法，使用該函數(shù)的格式為：對于一級倒立擺系統(tǒng)有：，.例如若期望的極點(diǎn)為：，由程序計(jì)算得到反饋矩陣為：。3.2.2一級倒立擺極點(diǎn)配置的仿真與分析如圖3.6為一級倒立擺系統(tǒng)極點(diǎn)配置的仿真框圖，輸出分別為小車的位移x和速度以及擺桿的角度和角速度。系統(tǒng)的狀態(tài)空間參數(shù)和初始條件的設(shè)置如圖3.7所示，初始位移0.8m，初始角度1rad。圖3.6一級倒立擺極點(diǎn)配置的仿真框圖圖3.7極點(diǎn)配置仿真參數(shù)設(shè)置期望配置的極點(diǎn)為時(shí)，根據(jù)相應(yīng)的反饋矩陣，得到：圖3.8極點(diǎn)配置的小車位移仿真圖1圖3.9極點(diǎn)配置的擺桿角度仿真圖1為了研究極點(diǎn)配置中所選取的極點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)或者虛軸遠(yuǎn)近對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響，所以將期望配置的極點(diǎn)重新設(shè)為時(shí)，利用程序得出反饋矩陣，可得：圖3.10極點(diǎn)配置的小車位移仿真圖2圖3.11極點(diǎn)配置的擺桿角度仿真圖2對比圖3.8和圖3.10，可以看出位移仿真1的穩(wěn)態(tài)時(shí)間為6s左右，且小車的位移變化很大，位移仿真2的穩(wěn)態(tài)時(shí)間為2s左右，小車位移變化小，故當(dāng)極點(diǎn)距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間越短。再對比圖3.9和圖3.11，可以看出角度仿真1的穩(wěn)態(tài)時(shí)間為5.5s左右，且擺桿角度穩(wěn)定到0的時(shí)間較長，角度仿真2的穩(wěn)態(tài)時(shí)間為2s左右，擺桿很快停下來，故極點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間越短?？梢钥闯鲈静环€(wěn)定的系統(tǒng)，通過極點(diǎn)配置，小車位移和擺桿角度都得到較好的控制。說明控制器的控制精度較高，能獲得較理想的控制效果[7]。小車位移穩(wěn)定在具體值上，擺桿穩(wěn)定在豎直方向