由一道高考真題探數(shù)列求和方法 論文

由一道高考真題探數(shù)列求和方法

摘要數(shù)列求和問(wèn)題是高考的?？键c(diǎn)，本文由一道高考試題介紹了等差乘等比型數(shù)列的多種求和方法，以此開(kāi)闊知識(shí)和方法的視野，發(fā)散思維。并對(duì)形式和方法進(jìn)行了拓展和應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)了研析高考真題的重要性。 關(guān)鍵詞數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，高考

一、試題重現(xiàn)與解答

題目（2021年新高考全國(guó)卷第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對(duì)折次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推．則對(duì)折次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折n(n∈N?)次，那么S1+S2+?+Sn=dm2．本題以中國(guó)元素剪紙藝術(shù)為背景，讓考生體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。第一空主要考查了學(xué)生的歸納推理能力，比較簡(jiǎn)單。第二空主要考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，主要考查等差乘以等比型數(shù)列求和問(wèn)題，下面對(duì)這種形式數(shù)列的求和方法做一個(gè)闡述。 本道數(shù)列求和常用方法是錯(cuò)位相減法，具體解法如下： 1由題意，每次對(duì)折后的圖形面積成首項(xiàng)為120，公比為的 2等比數(shù)列，故第次對(duì)折后的圖形面積為120′n-1??

?÷

è?，故Sn=

1202

(n

n-1

+1).記Tn3 4=++2 22+…… n+2+1n-11Tn=2 3+22+…… n+2n-1n+1+2n22\1Tn=21 1++2 22+…… 1+2n--n+1=-n+3212n2n\Tn=23??è-n+3?

÷?\n

?k=1Sk=2403??è-n+3?

÷

?2n2n下面介紹這種數(shù)列的其他解法。

法2：裂項(xiàng)相消法設(shè)n+1=Tn(+1)-Tn()，Tn()=An+BAn+2n2n+12n-A-B故右邊=An(++) B-An+B=A(n1)++B2 2-An-B=2222n+12n2n2n則ì-??í?A??2A=1,所以，A=-2,B=-4，2-B=12所以n+1=2n+4-2(n++) 42n2n2n+12(n1)++4T(1)+T(2)+T(3)+L+Tn()=21′+4-22+422+4+22-23′+4+L 2n4+2n-2122232n+1=21′+4-2(n1)++4=-2n6=-n3212n+12n+12nn=240Tn=240(3-n3)2n法3：構(gòu)造法當(dāng)n32時(shí)，Tn()=Tn(-1)n+1+2n，設(shè)()an+b+2n=Tn(-1) an+-1)+b2n-1ìa=1即Tn()=Tn(-1) an+-2a+b則ìí?a=12nb-2a=1Tí?b=3ì

í

?Tn()n+3+2nü

y是首項(xiàng)為3的常數(shù)列。t所以Tn()n+3+2n=3所以Tn()=-n+32n則Sn=240Tn()=240(3-n+3)2n法4：求導(dǎo)法nx2?

?1-èxn?x2-xn+22設(shè)fx()=x2+x3+x4+L+x+1=2n?=22n+1222232n1-x1-x22對(duì)上述等式兩邊求導(dǎo)，得x3x2+224x3+23+L+(n+1)xn=é

x-(n+2)xn+1ùú???è1-x?÷-??x2?è2-xn+2??-1?2ê?2n+122n+1÷??è2÷

?22n??1è-x2

?

÷

?2當(dāng)x=1時(shí)，n+3?

÷?2 3+22 4+23+Ln+1+2n=-n+3\Sn=2403??è-22n2nB法：公式法---適合小題該題的最優(yōu)解()+Bq)n-若Cn=abn n=(an+bq)n-1,則其前項(xiàng)和Sn=(An可以由cc1,2求出AB,,通過(guò)多種解法，可以感受知識(shí)間的緊密聯(lián)系。在教學(xué)中，讓學(xué)生掌握通性通法固然重要，但是通過(guò)一題多解，能夠讓學(xué)生從不同角度看待問(wèn)題，解決問(wèn)題，進(jìn)而發(fā)散思維，使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和方法。二．方法拓展與應(yīng)用下面，對(duì)上述數(shù)列形式加以拓展。一般地，對(duì)于{naqn}型數(shù)列，均可使用裂項(xiàng)相消求和?？稍O(shè)an=qfn( +-) fn(),則aqn n=é?qfn( +-) fn()ù?qn=fn( +1)qn+1- fnq() n,n n\ ?aqk k=?é?fk( +1)qk+1- fkq() kù?k=1 k=1=fn( +1)qn+1- f()q,其中fn()可由的特征采用待定系數(shù)法求出.n例：求數(shù)列ìí?n2ü

y的前項(xiàng)和Stn.+c3n)解設(shè)n2 1=3é?an(+1)

2+bn(++) cù?-(an2+bn 1

=3é?an2+(2a+bn)+++cù?-(an2+bn+c)?

÷

?=-2an2 2+a-2bn a++-2c333\-2a=1,2a-2b=0,a+-2c=03\a===-329\n

?k=1k2 1=3n+1éê?-3(n+1)

2-3(n+-)3ùú?-1g??-è3k222321

=-3n?n2?è2 3+2n 3+2? 3÷?

+2三．幾點(diǎn)思考

研析高考真題既能促進(jìn)教師對(duì)之前的教學(xué)進(jìn)行反思，又能指引教師今后教學(xué)的方向。關(guān)于數(shù)列求和問(wèn)題近幾年來(lái)，高考一直在考查。比如2021年新高考卷，全國(guó)甲卷和乙卷均為解答題形式考查了數(shù)列求和問(wèn)題；2020年全國(guó)一卷和三卷也以解答題形式考查了等差成等比型數(shù)列的求和，二卷以選擇和填空題的形式考查了數(shù)列的求和?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確要求：數(shù)學(xué)高考命題應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧。所以高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該深入數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，圍繞解決問(wèn)題的通性通法展開(kāi)。教師教學(xué)中可以反復(fù)加強(qiáng)數(shù)列求和