高考數(shù)學(xué)專題數(shù)列超經(jīng)典

-.z..高考復(fù)習(xí)序列-----高中數(shù)學(xué)數(shù)列一、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系①〔注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用〕②〔注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用〕③〔注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用〕=4\*GB3④sn+1-sn-1=二、等差與等比數(shù)列的根本知識(shí)1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式與公差：定義式：一般式：推廣形式：；；=2\*GB2⑵前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：前n項(xiàng)和公式：.前n項(xiàng)和公式的一般式：應(yīng)用：假設(shè)，即可判斷為*個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，并可求出首項(xiàng)及公差的值。與的關(guān)系：〔注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用〕例：等差數(shù)列，〔直接利用通項(xiàng)公式作差求解〕⑶常用性質(zhì)：①假設(shè)m+n=p+q，則有；特別地：假設(shè)的等差中項(xiàng)，則有2n、m、p成等差數(shù)列；②等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列〞〔如，〕仍是等差數(shù)列；③為公差為d等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，，．．．也成等差數(shù)列,構(gòu)成的新數(shù)列公差為D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)-Sm；對(duì)于任意Sm，Sn，等差數(shù)列公差，即也構(gòu)成一個(gè)公差為等差數(shù)列。=6\*GB3⑥假設(shè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①偶奇；②；=7\*GB3⑦假設(shè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①奇偶；②。例：等差數(shù)列，其中解析：法一，用等差數(shù)列求和公式求出法二，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為D，則：法三,63.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：⑴①一般形式：；②推廣形式：，③其前n項(xiàng)的和公式為：，或.⑵⑶常用性質(zhì)：假設(shè)m+n=p+q，則有；特別地：假設(shè)的等比中項(xiàng)，則有n、m、p成等比數(shù)列;等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列〞〔如，〕仍是等比數(shù)列；③為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，，．．．也成等比數(shù)列〔僅當(dāng)當(dāng)或者且不是偶數(shù)時(shí)候成立〕；設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列．=4\*GB3④為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.=5\*GB3⑤既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項(xiàng)法：是等差數(shù)列=3\*GB3③一般通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④一般前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：〔1〕定義法：為等比數(shù)列；〔2〕中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；〔3〕通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列；〔4〕前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。為等比數(shù)列。數(shù)列最值的求解〔1〕，時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；〔2〕最值的求法：①假設(shè)，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法〔〕；②或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：假設(shè)，則最值時(shí)的值〔〕可如下確定或。例1：等差數(shù)列中，，則前項(xiàng)的和最大?！窘馕觥浚豪?．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，=1\*GB3①求出公差的*圍，=2\*GB3②指出中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。【解析】：=1\*GB3①=2\*GB3②由，可知，n=12是前n項(xiàng)和正負(fù)分界項(xiàng)，故所以，最大變式：假設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為為31，從第16項(xiàng)開場(chǎng)小于1，則此數(shù)列公差d的取值*圍是解析：，但要注意此時(shí)還要一個(gè)隱含條件，聯(lián)立不等式組求解。3、假設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，數(shù)值最小項(xiàng)是第項(xiàng)?！窘馕觥浚悍ㄒ弧矊?dǎo)數(shù)法〕：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的標(biāo)準(zhǔn)形式，可知該數(shù)列為等差數(shù)列，令,取得最小值，其中，可見當(dāng)n=3時(shí)取得最小。法二〔列舉法〕：對(duì)于可用列舉法，分別求出n=1、2…時(shí)的的值，再進(jìn)展比較發(fā)現(xiàn)。4、數(shù)列，【解析】：法一〔均值不等式〕：由累加法：，令法二〔列舉法〕：實(shí)在沒(méi)招時(shí)使用該法。5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和?！窘馕觥浚?、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：類型1：等差數(shù)列型思路：把原遞推式轉(zhuǎn)化為，再使用累加法〔逐差相加法〕求解。例，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為變式：數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，此時(shí)，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：此題前的系數(shù)不一致，不能直接使用前述方法，解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型2：等比數(shù)列型把原遞推式轉(zhuǎn)化為，再使用累乘法〔逐商相乘法〕求解。例〔2004年全國(guó)I第15題，原題是填空題〕數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)棰偎寓谟芒谑剑偈降脛t；故所以③由，，則，又知，則，代入③得。所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型4：待定系數(shù)法處理或型數(shù)列把原遞推式轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化思路：例，數(shù)列解：令，所以即是公比為2的等比數(shù)列，=〔〕，或令，是公比為2的等比數(shù)列，所以，變式1：數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路：等式兩邊同時(shí)除于；原遞推式變成令，評(píng)注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式2：數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路：將原遞推式兩邊倒數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為變式3：數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路：將原遞推式兩邊求對(duì)數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為變式4：數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路：：換元，則，再代入原遞推式，再轉(zhuǎn)化為類型5遞推式求這種類型一般利用導(dǎo)出，消去，得到與的遞推式，再利用前面的方法求解出〔知識(shí)遷移：〕例，數(shù)列前n項(xiàng)和，求：〔1〕，〔2〕通項(xiàng)。解：〔1〕〔2〕由上式：，令，即有，而，，所以，2，公差為2,的等差數(shù)列，類型6：求用作商法：數(shù)列求和的常用方法然數(shù)和公式：；；一、利用等差等比數(shù)列的求和公式求和1、等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：[例1]，求的前n項(xiàng)和.解：由，由等比數(shù)列求和公式得＝＝＝1－〔利用等比數(shù)列求和公式〕[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得，∴＝＝＝∴當(dāng)，即n＝8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和：………①解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)……….②①－②得〔錯(cuò)位相減〕再利用等比數(shù)列的求和公式得：∴[例4]求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)…………………①………………②-②∴三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列〔反序〕，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).[例5]求的值解：設(shè)………….①將①式右邊反序得…………..②又因?yàn)椋?②得＝89∴S＝44.5題1函數(shù)〔1〕證明：；〔2〕求的值.解：〔1〕先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊〔2〕利用第〔1〕小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：所以.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例5]求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得當(dāng)a＝1時(shí)，＝時(shí)，＝五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)〔通項(xiàng)〕分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終到達(dá)求和的目的.通項(xiàng)分解〔裂項(xiàng)〕如：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕=5\*GB2⑸[例6]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)則＝＝[例7]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.解：∵∴∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和＝＝六、分段求和法〔合并法求和〕針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將*些項(xiàng)合并在一起就具有*種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.[例8]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+