2021-2022學(xué)年湖南省郴州市軍山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省郴州市軍山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知為函數(shù)上任意一點(diǎn)，為點(diǎn)P處切線的斜率，則的部分圖像是（

）參考答案：B2.已知向量，，若向量滿足，，則向量

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知向量，且，那么實(shí)數(shù)等于(

)A．3

B．

C．9

D．參考答案：D4.已知變量滿足約束條件,則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：解析:畫出可行域(圖略),為一個(gè)三角形區(qū)域,頂點(diǎn)分別為.表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,當(dāng)時(shí)取最大值6,當(dāng)時(shí)取最小值.故選A.5.若曲線（為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：D6.直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D7.參考答案：D略8.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外的一點(diǎn)，則下列條件中，能得到P∈平面ABC的是（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】共線向量與共面向量．【分析】根據(jù)題意，由空間向量基本定理可得：P∈平面ABC的充要條件是存在實(shí)數(shù)α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，實(shí)數(shù)α、β、γ有且僅有1組；據(jù)此依次分析選項(xiàng)，驗(yàn)證α+β+γ=1是否成立，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外的一點(diǎn)，若P∈平面ABC，則存在實(shí)數(shù)α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，實(shí)數(shù)α、β、γ有且僅有1組；據(jù)此分析選項(xiàng)：對(duì)于A：中，+（﹣）+=0≠1，不滿足題意；對(duì)于B：中，++（﹣1）≠1，滿足題意；對(duì)于C：=++中，1+1+1=3≠1，不滿足題意；對(duì)于D：=﹣﹣中，1+（﹣1）+（﹣1）=﹣1≠1，不滿足題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的共線與共面的判斷，關(guān)鍵是掌握空間向量共面的判斷方法．9.已知函數(shù)，若同時(shí)滿足條件： ①，為的一個(gè)極大值點(diǎn)；②，。則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

） A. B. C.

D.參考答案：A略10.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B．

C． D．參考答案：C函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則有.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問(wèn)題：函數(shù)的對(duì)稱中心為

.參考答案：12.函數(shù)的值域是________________.參考答案：13.若直線與曲線（為參數(shù)）沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．參考答案：或

；

略14.數(shù)據(jù)3，4，5，6，7的方差是___

___.參考答案：215.以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為_(kāi)_______．參考答案：雙曲線焦點(diǎn)(±4,0)，頂點(diǎn)(±2,0)，故橢圓的焦點(diǎn)為(±2,0)，頂點(diǎn)(±4,0)．答案：16.若圓的方程是，則該圓的半徑是

參考答案：117.拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

．參考答案：（0，1）【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】拋物線方程即x2=4y，從而可得p=2，=1，由此求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：拋物線即x2=4y，∴p=2，=1，故焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），故答案為（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)M為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線MB與x軸交于點(diǎn)C，直線MA與軸交于點(diǎn)D，求證：四邊形ABCD的面積為定值．參考答案：（1）；（2）見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)題目所給的條件得到解出參數(shù)值即可；（2）分別設(shè)出直線AM和BM求出點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，并表示出AC，BD的長(zhǎng)度，代入面積公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）由已知可得：解得：；所以橢圓C的方程為：．（2）因?yàn)闄E圓C的方程為：，所以，．設(shè)，則，即．則直線BM的方程為：，令，得；同理：直線AM的方程為：，令，得．所以．即四邊形ABCD的面積為定值2．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是考查的重點(diǎn)，一般難度較大，計(jì)算較復(fù)雜，考查較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.解題時(shí)，要將問(wèn)題合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成易于計(jì)算的方向.19.（本小題滿分14分）如圖1，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面分別為的中點(diǎn)。（1）證明平面；（2）設(shè)，求二面角的大小。

參考答案：解法一（傳統(tǒng)法）：（1）作交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)。連結(jié)，又，故為平行四邊形。，又平面平面。所以平面。（2）如圖2，不妨設(shè)，則為等腰直角三角形取中點(diǎn)，連結(jié)，則。又平面，所以，而，所以面。取中點(diǎn)，連結(jié)，則。連結(jié)，則。故為二面角的平面角。所以二面角的大小為。解法二:（I），又是平面的一個(gè)法向量，，，平面同理，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由題意可知，即，取，則，。，由題意可知，二面角的大小為。略20.已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)是，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（I）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（II）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求的最小值．

參考答案：解：（I）點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，

…………（2分）∵，∴，即，…………（4分）化簡(jiǎn)得曲線C的直角坐標(biāo)方程是；

…………（5分）（II）設(shè)直線的傾斜角是，則的參數(shù)方程變形為，

…………（7分）代入，得設(shè)其兩根為，則，

…………（8分）∴．當(dāng)時(shí)，取得最小值3．

…………（10分）略21.已知函數(shù)，，.（1）求f(x)的最小值；（2）關(guān)于x的方程有解，求a的取值范圍.參考答案：（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）令，則，化簡(jiǎn)函數(shù)得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．（2）把方程有解，轉(zhuǎn)化為方程在上有解，即，利用的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，令，則在上單調(diào)遞增，∴，此時(shí).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為．（2）方程有解，由（1）得方程在上有解，而，即.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又由函數(shù)為奇函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，.∴的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了與二次函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與心智，合理轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．22.（2016秋?溫江區(qū)期末）從參加高二年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其英語(yǔ)成績(jī)分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：（1）求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）根據(jù)補(bǔ)充完整頻率分布直方圖估計(jì)出本次考試的平均分?jǐn)?shù)、中位數(shù)；（小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）（3）用分層抽樣的方法在各分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則各分?jǐn)?shù)段抽取的人數(shù)分別是多少？參考答案：【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；分層抽樣方法．【分析】（1）計(jì)算分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，利用求出小矩形的高，補(bǔ)出圖形即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算平均分與中位數(shù)即可；（3）根據(jù)分層抽樣原理，計(jì)算各分?jǐn)?shù)段內(nèi)應(yīng)抽取的人數(shù)即可．【解答】解：（1）分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．又=0.03，補(bǔ)出的圖形如下圖所示；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算平均分為：=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，估計(jì)這次考試的平均分是71；又0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4＜0.5，0.4+0.03×10=0.7＞0.5，∴中位數(shù)在[70，80）內(nèi)，計(jì)算中位數(shù)為70+≈73.3；（3）根據(jù)分層抽樣原理，[40，50）分?jǐn)?shù)段應(yīng)抽