北師大版選修1-2：3.4反證法-教學設計一、二、三、四

淘出優(yōu)秀的你聯(lián)系電話：4000-916-716《反證法》教學設計一1．教學目標：知識與技能：結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。過程與方法:多讓學生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。2.教學重點：了解反證法的思考過程、特點3.教學難點：反證法的思考過程、特點4．教具準備：與教材內容相關的資料。5．教學設想：利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。6．教學過程:學生探究過程：綜合法與分析法歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。上，都需要翻轉奇數(shù)次，所以3枚硬幣全部反面朝上時，需要翻轉3個奇數(shù)之和次，即要翻轉奇數(shù)次．但由于每次用雙手同時翻轉2枚硬幣，3枚硬幣被翻轉的次數(shù)只能是2的倍數(shù)，即偶數(shù)次．這個矛盾說明假設錯誤，原結論正確，即無論怎樣翻轉都不能使3枚硬幣全部反面朝上．一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法(reductiontoabsurdity).例1、已知直線和平面，如果，且，求證。證明：因為,所以經(jīng)過直線a,b確定一個平面。因為，而，所以與是兩個不同的平面．因為，且，所以.下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點．假設直線a與平面有公共點，則，即點是直線a與b的公共點，這與矛盾．所以.點評：線面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．推理模式：．例2、求證：不是有理數(shù)分析：直接證明一個數(shù)是無理數(shù)比較困難，我們采用反證法．假設不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)．我們知道，任一有理數(shù)都可以寫成形如（互質，”的形式．下面我們看看能否由此推出矛盾．正是的發(fā)現(xiàn)，使人們認識到在有理數(shù)之外，還有一類數(shù)與1是不可公度的，這就是無理數(shù)；從而引發(fā)了數(shù)學史上的第一次危機，大大推動了數(shù)學前進的步伐。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？鞏固練習：課后作業(yè)：教學反思：教學設計二教學要求：結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學難點：根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法.教學過程：一、復習準備：1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個命題？3.給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點。但∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾)∴過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓.二、講授新課：1.教學反證法概念及步驟：①練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么②提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設原命題的結論不成立→從假設出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾→矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注：結合準備題分析以上知識.2.教學例題：①出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結論？→如何從假設出發(fā)進行推理？→得到怎樣的矛盾？與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結OP，則由垂徑定理：OPAB，OPCD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.②出示例2：求證是無理數(shù).（同上分析→板演證明，提示：有理數(shù)可表示為）證：假設是有理數(shù)，則不妨設（m,n為互質正整數(shù)），從而：，，可見m是3的倍數(shù).設m=3p（p是正整數(shù)），則，可見n也是3的倍數(shù).這樣，m,n就不是互質的正整數(shù)（矛盾）.∴不可能，∴是無理數(shù).③練習：如果為無理數(shù)，求證是無理數(shù).提示：假設為有理數(shù)，則可表示為（為整數(shù)），即.由，則也是有理數(shù)，這與已知矛盾.∴是無理數(shù).3.小結：反證法是從否定結論入手，經(jīng)過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結論正確.注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）三、鞏固練習：教學設計三教學目的：搞清函數(shù)的反證法，了解反證法是間接證明的一種方法，理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題.教學重點：反證法的解題思想教學難點：反證法的解題步驟.教學過程：用反證法證明否定性命題例1已知三個正數(shù)SKIPIF1<0成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：SKIPIF1<0不成等差數(shù)列.證明：假設SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0不成等差數(shù)列矛盾，故SKIPIF1<0不成等差數(shù)列.點評：結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題的反面比較具體，適用反證法.（2）反證法屬于“間接解題的方法”書寫格式易錯之處是“假設”易錯寫成“設”.二、用反證法證明唯一性問題例2一點A和平面SKIPIF1<0.求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面SKIPIF1<0垂直.證明：根據(jù)點A和平面SKIPIF1<0的位置關系，分兩種情況證明.（1）如圖（1），點A在平面SKIPIF1<0內，假設經(jīng)過點A至少有平面SKIPIF1<0的兩條垂線AB、AC，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0相交于經(jīng)過點A的一條直線SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內經(jīng)過點A有兩條直線都和直線SKIPIF1<0垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.（2）如圖（2），點A在平面SKIPIF1<0外，假設經(jīng)過點A至少有平面SKIPIF1<0的兩條垂線AB和AC（B、C為垂足），那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0相交于直線BC，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在平面SKIPIF1<0內經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.綜上，經(jīng)過一點A只能有平面SKIPIF1<0的一條垂線.三、用反證法證明“至多”或“至少”類問題.例3已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，至少有一個方程有實根證明：假設兩個一元二次方程都沒有實根，那么它們的判別式都小于零，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。這與“任何實數(shù)的平方為非負數(shù)”相矛盾，所以假設不成立。故這兩個方程中，至少有一個方程有實根.點評；對于否定性命題或結論中出現(xiàn)“至多”“至少”“不可能”等字樣時，常用反證法.常用的“原結論詞”與“反設詞”歸納如下表：原結論詞至少有一個至多有一個至少有SKIPIF1<0個至多有SKIPIF1<0個反設詞一個也沒有至少有兩個至多有SKIPIF1<0個至少有SKIPIF1<0總結歸納：課后練習：設SKIPIF1<0均為實數(shù)，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0中至少有一個大于零.教學設計四1．教學目標：知識與技能：結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。過程與方法:多讓學生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。2.教學重點：了解反證法的思考過程、特點3.教學難點：反證法的思考過程、特點4．教具準備：與教材內容相關的資料。5．教學設想：利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。6．教學過程:學生探究過程：綜合法與分析法(1)、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。

反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。(2)、例子例1、求證：不是有理數(shù)例2、已知，求證：（且）例3、設，求證證明：假設，則有，從而因為，所以，這與題設條件矛盾，所以，原不等式成立。例4、設二次函數(shù)，求證：中至少有一個不小于.證明：假設都小于，則（1）另一方面，由絕對值不等式的性質，有（2）（1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？例5、設0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1證：設(1a)b>,14(1b)c>,14(1則三式相乘：ab<(1a)b?(1又∵0<a,b,c<1∴同理：,以上三式相乘：(1a)a?(1∴原式成立例6