2023年山東省棗莊十高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合人=卜卜2一2》-3<0},集合B={x|x-1NO},則Q(AcB)=().

A.(-oo,l)(J[3,+<?)B.(-OO,1]U[3,+OO)

C.S,1)U(3,”)D.(1⑶

2.已知雙曲線4=l(a>0,b>0),過原點(diǎn)作一條傾斜角為(直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點(diǎn)，以線

段PQ為直徑的圓過右焦點(diǎn)F,則雙曲線離心率為()

A.V2+1B.V3+1C.2D.V5

3.已知函數(shù)=方程/(劃一a=0有四個(gè)不同的根，記最大的根的所有取值為集合。，貝心函

數(shù)E(x)=/(x)—日(xe0有兩個(gè)零點(diǎn)”是“A>；”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4,將函數(shù)/(x)=cosx的圖象先向右平移*乃個(gè)單位長(zhǎng)度，在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(口>0)倍，縱

6CD

IT37r

坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在(W，3)上沒有零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(0,勺U。?]B.(0,芻

oQ

c.(o,-ju[-,nD.(o.u

5.已知數(shù)列{4“}為等比數(shù)列，若％+。7+%=26,且4?。9=36,則二"+,+'=()

a6a7a8

1313?19八1313

A.—B.—或一C.—D.—

18183696

6.已知三棱錐尸-ABC的頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=也,尸5=舊，AB=4,CA=C5=JiU,面B45_L面ABC,

則球O的表面積為()

10萬25萬40750萬

~6~

7.集合中含有的元素個(gè)數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.12

8.設(shè)命題〃：H一可<同+例，則一1P為

A.Pa,bwR,|a-Z?|>|a|+|Z?|B.3a,b&R,|?-/?|<|?|+|Z?|

C.3a,beR,|rz-/?|>|a|+|Z?|D.3a,b&R,|a-ft|>|a|+|h|

9.設(shè)集合A={l,2,6},8={-2,2,4},C={xwA|—2<x<6},則（AUB）nC=（）

A.{2}B.{1,2,4）

C.{1,2,4,6}D.{%GR|-1<X<5}

10.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是（）

A.Scm2B.12cm2C.（475+2）cm2D.卜遂+4,病

11.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則||FA卜|FB||的值等于（）

A.8夜B.8C.4夜D.4

12.某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（x,y）分別為（2,1.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回歸直線方程為?=L6x+&,若計(jì)劃維修費(fèi)用超過15萬元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且滿足6+34+…+3"-%“=〃，貝|JS4=

14.已知直線^一丁+。=0與圓心為。的圓工2+,2+2彳一4,一4=0相交于45兩點(diǎn)，且ACJ.BC,則實(shí)數(shù)”的值

為.

tx-y-l>0

15.已知x,y滿足約束條件x+y-3S。，則z=2x-y的最小值為一

[2y+1>0

16.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

①因?yàn)椴?江,所以？不是函數(shù)y=sinx的周期；

②對(duì)于定義在R上的函數(shù)/（戲若/（-2）。/⑵,則函數(shù)“X）不是偶函數(shù)；

③“M>N”^，log2M>log】N”成立的充分必要條件；

④若實(shí)數(shù)。滿足/44,則aW2.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）設(shè)直線/與拋物線2），交于A,8兩點(diǎn)，與橢圓亍+彳_=1交于C,。兩點(diǎn)，設(shè)直線04,OB,OC,OD

（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為匕，內(nèi),占，k4,若。4_LQB.

（1）證明：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）是否存在常數(shù)X,滿足匕+心=/1（匕+%4）?并說明理由.

18.（12分）隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的

普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析，從而

得到表（單位：人）

經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)

男性50100

女性70100

合計(jì)

（1）完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)？

（2）①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券，求選取的3

人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率；

②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為X,求隨機(jī)變

量X的數(shù)學(xué)期望和方差.

n(ad-be)-

參考公式：K2

(a+b)(c+d)(a+c)(O+d)

2

P(K>K^0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前

每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)5件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.若

每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每4個(gè)(AW5)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如

果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件

產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)1次或1+攵次.設(shè)該工廠生產(chǎn)1000件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)

次數(shù)為X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)試說明，當(dāng)，越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；

(ii)當(dāng)P=0」時(shí)，求使該方案最合理時(shí)Z的值及1000件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).

,1,

20.(12分)已知函數(shù)u(x)=xlnx,v(x)=-mx~+x-Lm￡R.

2

u(x)

(1)令m=2,求函數(shù)h(x)=(，?的單調(diào)區(qū)間;

v(x)-x+l

(2)令f(x)=u(x)-V(x),若函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,且滿足l<U<e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

xi

求X『X2的最大值.

21.(12分)AABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ccosB—bsbiC=0,cosA=coslA.

⑴求C；

(2)若a=2,求，AABC的面積S.Bc

r22

22.(10分)已知橢圓C：—+與=1(。>力〉0)的短軸長(zhǎng)為26，左右焦點(diǎn)分別為月，工，點(diǎn)3是橢圓上位于第一

a"b~

象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)*?而=()時(shí)，I甌卜g.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓。上點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，過點(diǎn)B作8D垂直于x軸，垂足為O,連接并延長(zhǎng)交C于另一點(diǎn)

M,交y軸于點(diǎn)N.

(i)求△O￡W面積最大值；

(五)證明：直線AB與BM斜率之積為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

算出集合A、〃及再求補(bǔ)集即可.

【詳解】

由/一2%-3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},又8={x|xNl},

所以Ac8={x|l〈x<3},故為(Ac3)={x|x<l或xN3}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

求得直線PQ的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)EQLEP列方程，化簡(jiǎn)后

求得離心率.

【詳解】

設(shè)尸(9,%)，依題意直線PQ的方程為y=代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得

2ci^b~2r23a~b-_i?八—ci~b~今—3ab~、兒生一〃工一、t

X=-z----=3X“=F---------------------79故％+用>=F----T，X?%=3%?占=二----79設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為

b2-3a2b2-3a2'21'b2-3a2'-b2-3a2

*c,O),由于以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)尸，故麗.①=0,即(玉一3)(々—c,%)=0,即4中2+C2=0,即

人6。2/-3。4=0,兩邊除以/得陽一6⑶-3=0,解得⑶=3+28.故

\a)\aj\aj

e={l+[2)="+2百=6+1,故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

3.A

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

作出函數(shù)f(x)=[卜的圖象如圖，

''X2+2X+2,X<0

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有2個(gè)零點(diǎn)，即f(x)=kx有兩個(gè)不同的根，

也就是丫=1?與丫=“*)在(2,4]上有2個(gè)交點(diǎn)，則k的最小值為:；

設(shè)過原點(diǎn)的直線與y=log2X的切點(diǎn)為(Xo，k)g2Xo),斜率為一j~3，

x八in，

，x1/x、

則切線方程為y-log2=—T-7(—X。)，

xoln2

把(0,0)代入，可得一k)g,Xo=—T[,即x0=e,.?.切線斜率為工，

ln2eln2

.?.k的取值范圍是

12eln27

...函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xwD)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“k>!”的充分不必要條件,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上

某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

4.A

【解析】

5%

根據(jù)尸Acos(3X+g的圖象變換規(guī)律，求得g(X)的解析式，根據(jù)定義域求出。X-二的范圍，再利用余弦函數(shù)的

6

圖象和性質(zhì)，求得3的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)/(X)=COSX的圖象先向右平移3萬個(gè)單位長(zhǎng)度，

6

可得y=cos(x)的圖象，

再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(?>0)倍(縱坐標(biāo)不變),

0)

得到函數(shù)gCv)=cos"一看的圖象，

2"

???周期7=/，

co

Jr

若函數(shù)g(x)在(g，三37r)上沒有零點(diǎn)，

.a)n5萬5萬?>a)7i5%

.1.(y2<1>解得

7L,0)715萬

----K7T<--------

2261_

又解得不---

7T,3am5乃2323

——\-k7t>

1226

28

當(dāng)A=0時(shí)，解一<0<一,

39

2

當(dāng)A=-l時(shí)，可得

77Q

故答案為：4

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)尸Acos(3X+9)的圖象變換及零點(diǎn)問題，此類問題通常采用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建不等關(guān)系式，求解可

得，屬于較難題.

5.A

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得％?%&9=色=36,通分化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

由題意，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則%?%=%?%=5=36,

又4+%+%=26,即。6+%=26—%,

111%q+R+4,%36+%?（4+〃8）36+%（26-%）

所以,—?-1—=---------=-------=--------

%%/%?丹?/36?%36?%

_36+%OG—)_36+26?%一d_36+26?％—36_269_13

36a736-?736-a-j36918'

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

由題意畫出圖形，找出ARIB外接圓的圓心及三棱錐尸-5C。的外接球心0,通過求解三角形求出三棱錐尸-5C。的

外接球的半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖；設(shè)的中點(diǎn)為。；

,:PA=垃,PB=A，43=4,

.,.△RIB為直角三角形，且斜邊為A3,故其外接圓半徑為：r=；AB=AZ)=2；

設(shè)外接球球心為0；

,：CA=CB=4\Q,?ABC,

???COLAB可得。)_1_面如5；KDC^VC42-A￡>2=y[6?

，0在CD上；

L5

故有：AO2=OD2+AD2^R2=(V6-/?)2+^=>/?=^

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

7.B

【解析】

解：因?yàn)镴xeN*|]eZ集合中的元素表示的是被12整除的正整數(shù)，那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B

8.D

【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.

【詳解】

因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題，：心一百<同+回，則r?為：3a,b&R,|a-/?|>|?|+|/?|.

故本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可.

【詳解】

解：AuB={-2,l,2,4,6};

.?.(ADB)CC={1,2,4}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計(jì)算出幾何體的表面積.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為2x2=4.側(cè)面的高為萬手=石，所以側(cè)面積為

4x1x2x75=475.所以該幾何體的表面積是卜石+4卜病.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

將直線方程y=1代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出||￡4|-|￡訓(xùn)的值.

【詳解】

fy2=4x

F(1,0),故直線AB的方程為y=x-1,聯(lián)立方程組〈，可得X2-6X+1=0,

設(shè)A(xi,yi),B(X2?y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知XI+X2=6,xiX2=l.

由拋物線的定義可知：|FA|=xi+l,|FB|=X2+1,

.,.||FA|-|FB||=|x,-x2|=J(X]+X2)2—4中2=J36-4=4x/2.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

12.D

【解析】

根據(jù)樣本中心點(diǎn)丘J)在回歸直線上，求出〃，求解y>15,即可求出答案.

【詳解】

依題意最=3.5,1=4.5,(3.5,4.5)在回歸直線上，

4.5=1.6x3.5+a,Q=—1.1,y=l.6x—1.1，

由9=1.6%-1.1>15,》>10+，

估計(jì)第11年維修費(fèi)用超過15萬元.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查回歸直線過樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

40

13.—

27

【解析】

對(duì)題目所給等式進(jìn)行賦值，由此求得%的表達(dá)式，判斷出數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，由此求得S’的值.

【詳解】

1

解：4+3a2H------F3"an=n,可得〃=1時(shí)，q=1,

1=

〃22時(shí)，q+3a,+…+3”一^n-\=〃-1,又q+3<22+…+3"unn,

(1、"-i|

兩式相減可得3"-%=1,即%=1,上式對(duì)〃=1也成立，可得數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為1,公比為％的等比數(shù)列，可

3

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查已知S“求a,,考查等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于中檔題.

14.0或6

【解析】

計(jì)算得到圓心。(一1,2),半徑「=3,根據(jù)AC_LBC得到d=逑，利用圓心到直線的距離公式解得答案.

【詳解】

f+y2+2x—4y—4=0,即（x+iy+（y—2）2=9,圓心C（—1,2）,半徑r=3.

AC1BC,故圓心到直線的距離為[=述，即]=嘮1=逑，故a=6或4=0.

2V22

故答案為：0或6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。

3

15.-

2

【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再由y=2x-漾示直線在y軸上的截距最大即可得解.

【詳解】

tx-y-1>0

X,y滿足約束條件x+y-3S0,畫出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)Z=2x-y,BPv=2x-z.

{2y+1>0

平移直線y=2x-z,截距最大時(shí)即為所求.

產(chǎn)二及點(diǎn)4('，』，

\x-y-1-U22

]]3

z在點(diǎn)A處有最小值：z=2x-+-=

222

故答案為：-

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的基本方法.

16.①②④

【解析】

對(duì)①,根據(jù)周期的定義判定即可.

對(duì)②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可.

對(duì)③,舉出反例判定即可.

對(duì)④，求解不等式/<4,再判定即可.

【詳解】

解：因?yàn)楫?dāng)kg時(shí)，sin^x+^^sinx,

所以由周期函數(shù)的定義知與不是函數(shù)y=sinx的周期，

故①正確；

對(duì)于定義在R上的函數(shù)“X),

若/(-2)=/⑵，由偶函數(shù)的定義知函數(shù)不是偶函數(shù)，

故②正確；

當(dāng)M=1,N=0時(shí)不滿足log2M>log2N,

則“M>N”不是“/。82例>/。82%,”成立的充分不必要條件，

故③錯(cuò)誤；

若實(shí)數(shù)“滿足4,

則-2Ka<2,

所以2成立，

故④正確.

正確命題的序號(hào)是①?④.

故答案為：①②

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(()，2)；(2)存在，理由見解析

【解析】

(1)設(shè)直線/的方程為產(chǎn)h+b代入拋物線的方程，利用。4_LO5,求出心即可知直線過定點(diǎn)(2)由斜率公式分別

求出匕+內(nèi)，&+%，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關(guān)系得玉+%2，玉%2，芻+%4，當(dāng)％代入勺+修，

%+勺，化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】

(1)證明：由題知，直線/的斜率存在且不過原點(diǎn),

故設(shè)/:。=6+勵(lì)=0),A(王，x),3(孫為)

[y=kx+b

由「2c可得d—2乙一28=0，

%=2y

xt+x2=2k,xyx2=-2b.

-.OA1OB,.-.OAOB^O>

2

(x,x2)

XX

X1%2+X%=]2+----=0，

故〃=2

所以直線/的方程為y="+2

故直線/恒過定點(diǎn)(0,2).

(2)由(1)知X[+々=2A,玉々=一4

及+k2=—+—

=2"包⑻=k

x}x2

設(shè)。（七,％）,。（七,”）

y=Ax+2

由—2y2可得（1+2妤卜2+8丘+4=0,

-1--=1

I42

8k4

二…=一忘記』=0

k,+k.--+—

'七%

^+2（x3+,r4）

=-2k

?.4+e=-g(匕+&)，即存在常數(shù)2=-；滿足題意.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

49

18.(I)詳見解析；(II)①②數(shù)學(xué)期望為6,方差為2.4.

60

【解析】

(1)完成列聯(lián)表，由列聯(lián)表，得犬=]“8.333>6.635,由此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民

網(wǎng)購與性別有關(guān).

7030

(2)①由題意所抽取的10名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購的有10*而=7人，偶爾或不用網(wǎng)購的有10x訴=3人，由此

能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率.

②由2x2列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為：妥=0.6,由題意X~8(W,Q6),由此能求出隨機(jī)變量X的

數(shù)學(xué)期望石(X)和方差D(X).

【詳解】

解：(1)完成列聯(lián)表(單位：人):

經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)

男性5050100

女性7030100

合計(jì)12080200

由列聯(lián)表，得:

2200x(50x30-50x70)-25

K-=------i---------------------=—?8.333>6.635，

120x80x100x1003

，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).

70

（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購的有10x麗=7人,

偶爾或不用網(wǎng)購的有10x需30=3人，

選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率為:

p_aq+g_竺

’4-60

120

②由2x2列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為：鑄=0$,

將頻率視為概率,

.?.從我市市民中任意抽取一人，恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購市民的概率為0.6,

由題意X~8(10,0.6),

???隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=10X0.6=6,

方差。（X）=O（X）=10x0.6x0.4=2.4.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查古典概型、二項(xiàng)分布

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.（1）見解析，1一（1一〃>+）（2）（i）見解析（ii）左=4時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為594次.

【解析】

（1）由題意可得x的可能取值為!和*,分別求出其概率即可求出分布列，進(jìn)而可求出

VkJkk

期望.

（2）6）由6記./'（〃）=1一（1一〃）"+；,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出；的記8優(yōu)）=1—（1一〃）*+；=1-0。+；,

KKK

當(dāng)g（4）<1且取最小值時(shí)，該方案最合理，對(duì)Z進(jìn)行賦值即可求解.

【詳解】

（1）p[x=：]=（i—py由題，x的可能取值為!和上史

vkJkk

（2）（，）由⑴記/（p）=i_（i_py+J,因?yàn)殡?gt;o,

所以了（〃）在〃e（O,l）上單調(diào)遞增，

故〃越小，/（〃）越小，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少，該方案越合理

(ii)記g(Z)=l—(1—力”+-=1-0.9*+-

kk

當(dāng)g（%）<1且取最小值時(shí)，該方案最合理，

因?yàn)間⑴=l.l,g（2）=0.69,g（3）。0.604,g（4）*0.594,g（5）?0.61

所以攵=4時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為10（）（）x0.594=594次.

【點(diǎn)睛】

本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.

e+1

20.（1）單調(diào)遞增區(qū)間是（0,e）,單調(diào)遞減區(qū)間是（e,+oo）（2）

【解析】

lyix

（1）化簡(jiǎn)函數(shù)〃（X）=——，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出

X

（2）函數(shù)/（X）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)Xi,X2,則尸（x）-mx=0有兩個(gè)正根，由此得到m（X2-Xi）=biX2-InXi,

%+1

Xjrf+1

tn（x2+xi）=lnx2^lnxi9消參數(shù)機(jī)化簡(jiǎn)整理可得/〃（X1X2）=hL.-----，設(shè)廣^,構(gòu)造函數(shù)g（f）=（-----）

bit,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值即可求出X1?X2的最大值.

【詳解】

xlnx1-lnx

(1)令m=2,函數(shù)h(x)

v(x)—x+lX"+X-1—X+1X

令h，(x)=0,解得x=e,

.,.當(dāng)乂￡(0,e)時(shí)，hr(x)>0,當(dāng)x￡(e,+oo)時(shí)，hr(x)<0,

，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+oo)

12

(2)f(x)=u(x)-v(x)=xlnx——mx-x+1,

2

.*.F(x)=l+lnx-mx-l=Inx-mx,

:函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,

AT(x)=lnx-mx=0有兩個(gè)不等正根，

AInxi-mxi=0,Inxz-mx2=0，

兩式相減可得Inxi-lnxi=m(xz-x式,

兩式相加可得m(xz+xi)=lnx2+lnxi,

/、強(qiáng)+1

.In(*32)__x2+Xj_Xj

??ln?x2-xi?一1

X1X］

強(qiáng)+1

X2X.

/.In(X1X2)=ln—?--------,

x'

x1

X,7X］,

設(shè)1==,V1^e,l<t<e,

xixi

令(p(t)=t2-1-2tlnt,(t)=2t-2(1+lnt)=2(t-1-Int),

再令p(t)=t-1-Int,；.p，(t)=1一一>0恒成立，

.*.p(t)在(1,e］單調(diào)遞增，(t)=p(t)>p(1)=1-1-1111=0,

/.(P(t)在(1,e］單調(diào)遞增，/.gr(t)=<p(t)><p(1)=1-1-21nl=0,

e+1

Ag(t)在(1,e］單調(diào)遞增，1?g(t)max=g(e)=------,

e-1

/?In(X1X2)<------,/.X1X2

e-1

故x”2的最大值為e鬲.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和最值，考查了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題

21.(1)—.(2)上立.

123

【解析】

(1)由已知利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求勿〃8=1,結(jié)合范圍Bw(O,乃)，可求Bn?,由已知利用二

倍角的余弦函數(shù)公式可得2cos2A—CQSA-1=0,結(jié)合范圍Ae(O/),可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C

的值.

(2)由(1)及正弦定理可得6的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求s加C的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

（1）..?由已知可得=,

hc

又由正弦定理=，可得ccosB-csi〃B,BPtanB-1,

sinBsinC

4

cosA=cos2A=2cos2A.-\，即2cos2A-cosA-1=0>

又Ae（O,乃），

i2〃

.?.casA=-一，或1（舍去），可得A=*,

23

IT

C=7T—A—B=—.

12

A27rTC

（2）,/A=—,B=—,a=2,

vf34