人教版 八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué) 同步復(fù)習(xí) 第9講 菱形的性質(zhì)及判定 講義

學(xué)生/課程年級(jí)8年級(jí)學(xué)科數(shù)學(xué)授課教師日期時(shí)段核心內(nèi)容菱形的性質(zhì)及判定（第9講）課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理．知識(shí)點(diǎn)01菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.注意：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.知識(shí)點(diǎn)02菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.知識(shí)點(diǎn)03菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.注意：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.導(dǎo)學(xué)一：菱形的性質(zhì)重點(diǎn)1利用菱形的性質(zhì)求線段長度菱形的兩條對(duì)角線長分別為6，8，則它的周長是（）A．5 B．10 C．20 D．24變式1-1如圖，菱形ABCD的周長為28，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，則OE的長等于（）A．2 B．3.5 C．7 D．14變式1-2如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E，則線段DE的長為（）A． B． C．4 D．變式1-3如圖，在菱形中，P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E．于點(diǎn)F．若菱形的周長為20，面積為24，則的值為（

）A．4 B． C．6 D．（變式1-1圖）（變式1-2圖）（變式1-3圖）重點(diǎn)點(diǎn)撥：當(dāng)菱形的一個(gè)內(nèi)角為120°重點(diǎn)點(diǎn)撥：當(dāng)菱形的一個(gè)內(nèi)角為120°或60°時(shí)，菱形被其對(duì)角線分為4個(gè)含30°角的直角三角形；菱形較短的一條對(duì)角線將其分成兩個(gè)等邊三角形，因此可利用其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.如圖，菱形中，，則的度數(shù)為（

）A. B． C． D．變式2-1如圖，菱形中，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是（

）A．35° B．30° C．25° D．20°變式2-2如圖，在菱形中，分別垂直平分，垂足分別為，則的度數(shù)是（

）A．90° B．60° C．45° D．30°變式2-3如圖，菱形的邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，則（

）A． B． C． D．（變式2-1圖）（變式2-2圖）（變式2-3圖）重點(diǎn)點(diǎn)撥：在菱形中已知邊要求角的度數(shù)時(shí)需要利用矩形的性質(zhì)和特殊三角形的性質(zhì)找到角的關(guān)系，這些所求角度一般為45重點(diǎn)點(diǎn)撥：在菱形中已知邊要求角的度數(shù)時(shí)需要利用矩形的性質(zhì)和特殊三角形的性質(zhì)找到角的關(guān)系，這些所求角度一般為45°，60°等特殊角度已知一個(gè)菱形的周長是20cm，兩條對(duì)角線的比是4：3，則這個(gè)菱形的面積是（

）A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2變式3-1已知菱形的周長為8，兩鄰角的度數(shù)比為1：2，則菱形的面積為（）A．8 B．8 C．4 D．2變式3-2如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝4，AC＝3BD，則菱形ABCD的面積為（）A．96 B．48 C．24 D．6重點(diǎn)點(diǎn)撥：菱形的對(duì)角線容易作為一個(gè)直角三角形的斜邊，這樣兩條對(duì)角線的交點(diǎn)也是斜邊的中點(diǎn)；重點(diǎn)點(diǎn)撥：菱形的對(duì)角線容易作為一個(gè)直角三角形的斜邊，這樣兩條對(duì)角線的交點(diǎn)也是斜邊的中點(diǎn)；菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半如圖，在菱形ABCD中，BE⊥CD于點(diǎn)E．DF⊥BC于點(diǎn)F．求證：BF＝DE；變式4如圖，菱形的邊長為1，，點(diǎn)E是邊上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線段的垂直平分線交，分別于點(diǎn)F，G，，的中點(diǎn)分別為M，N．求證：；重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：利用菱形的性質(zhì)證明邊的相等關(guān)系時(shí)，常常會(huì)與全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰（邊）三角形的性質(zhì)和判定相結(jié)合重點(diǎn)5利用菱形的性質(zhì)證明角相等已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD＝∠CBE．變式5如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：利用菱形的性質(zhì)證明角的相等關(guān)系時(shí)，常常會(huì)與全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰（邊）三角形的性質(zhì)和判定相結(jié)合難點(diǎn)6菱形中的圖形變換問題如圖，將菱形紙片折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心O處，折痕為EF．若菱形的邊長為4，，則的值是（

）A． B．2 C． D．4變式6-1如圖，在菱形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD長分別為16、12，折疊紙片使點(diǎn)A落在DB上，折痕交AC于點(diǎn)P，則DP的長為（）A．3 B． C．3 D．3變式6-2如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，P為AB中點(diǎn)．折疊該紙片使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處且點(diǎn)P在DC′上，折痕為DE，則∠CDE的大小為（）A．30° B．40° C．45° D．60°（變式6-1圖）（變式6-2圖）難點(diǎn)點(diǎn)撥：難點(diǎn)點(diǎn)撥：解決菱形問題的思考方向：①邊；②對(duì)角線.有60°的特殊角，就可以由菱形的性質(zhì)構(gòu)造等邊三角形解決問題；有等邊三角形，有中點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)“三線合一”難點(diǎn)7菱形中的最值問題如圖，點(diǎn)P是邊長為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，則MP+PN的最小值是（）A． B．1 C． D．2變式7如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4（例7圖）（變式7圖）導(dǎo)學(xué)二：菱形的判定重點(diǎn)1利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE=BF，AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．變式1-1如圖，在?ABCD中，作對(duì)角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．變式1-2已知：如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線EF與AB、CD的延長線分別相交于點(diǎn)E、F．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，以A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？并給出證明．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：用判定方法“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證明四邊形是菱形的前提條件是該四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．重點(diǎn)2利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接.求證：四邊形是菱形；變式2如圖，在ABCD中，E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥DB，且CF＝DE，連接AE，BF，EF（1）求證：△ADE≌△BCF；（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，則四邊形ABFE是什么特殊四邊形？說明理由．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．重點(diǎn)3利用四條邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行判定如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于F，連接DF，（1）證明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，試證明四邊形ABCD是菱形．變式3如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點(diǎn)；②作直線PQ，分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，連接CE；③過C作CF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接AF.(1)求證：△AED≌△CFD；(2)求證：四邊形AECF是菱形．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：在無法確定一個(gè)四邊形是平行四邊形的情況下，要證明該四邊形是菱形，可考慮利用“四條邊相等的四邊形是菱形”進(jìn)行證明.難點(diǎn)4菱形的性質(zhì)與判定的綜合如圖，矩形中，，，點(diǎn)、分別在、上，且.（1）求證：四邊形是菱形；（2）求線段的長．變式4如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面積．難點(diǎn)點(diǎn)撥：利用菱形的性質(zhì)和判定解決問題，一般是先判定一個(gè)四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)解決其他問題.判定一個(gè)四邊形是菱形的思路：難點(diǎn)點(diǎn)撥：利用菱形的性質(zhì)和判定解決問題，一般是先判定一個(gè)四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)解決其他問題.判定一個(gè)四邊形是菱形的思路：1．下列結(jié)論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．內(nèi)角和為360° B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相垂直2．下列條件中，能判定?ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD3．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH等于（）A． B． C．5 D．44．如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線分別為6cm和8cm，則這個(gè)菱形的高DE為()A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm（題3圖）（題4圖）5．菱形的兩條對(duì)角線長分別為6，8，則它的周長是（）A．5 B．10 C．20 D．246．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．40°7．如圖，任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，對(duì)于四邊形EFGH的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，通過動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是各邊中點(diǎn)，且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形B．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是各邊中點(diǎn)，且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形C．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH可以為平行四邊形D．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH不可能為菱形8．如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，則OH的長為______________.10．如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝16，點(diǎn)O是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．則OE+OF＝___．（題9圖）（題10圖）11．如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線