偏微分行波法

偏微分課件行波法第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日行波法波動方程的初值問題（一維）（I）波動方程2023/4/262第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日一維波動方程的定解問題無界弦的自由振動無界弦的強迫振動半無界弦的自由振動半無界弦的強迫振動三維波動方程的定解問題二維波動方程的定解問題球?qū)ΨQ情形一般情形球面平均法行波法降維法有限弦的振動問題2023/4/263第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日1.無界弦的自由振動特征方程為特征線為故作線性變換方程改寫為2023/4/264第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日2023/4/265第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日此即為原方程的通解。利用初值條件確定函數(shù)F，G其中為任意一點，而C為積分常數(shù)，2023/4/266第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日達朗貝爾公式2023/4/267第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日把定解問題的解表示為左、右行進波相疊加的方法稱為“行波法”。2023/4/268第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日例1：解：由達朗貝爾公式2023/4/269第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日例2：解：2023/4/2610第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日例3：2023/4/2611第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日物理意義右傳播波左傳播波2023/4/2612第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日2023/4/2613第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日影響區(qū)域、依賴區(qū)域、決定區(qū)域波動是以一定的速度a向兩個方向傳播的。

如果在初始時刻t＝0，擾動僅僅在有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時間t后，擾動傳到的范圍為影響區(qū)域定義：上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域。2023/4/2614第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日定義區(qū)間稱為解在（x，t）的值的依賴區(qū)間。從達朗貝爾公式中可以看出，u(x,t)僅僅依賴于中的初始條件。依賴區(qū)間它是過（x，t）點，斜率分別為的直線與x軸所截而得到的區(qū)間（如右圖）。2023/4/2615第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日定義區(qū)間過作斜率為的直線過作斜率為的直線則它們與區(qū)間一起圍成的三角形區(qū)域中的任意一點(x,t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間內(nèi)，因此該三角區(qū)域稱為決定區(qū)域。2023/4/2616第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日2.無界弦的強迫振動（I）（II）（III）2023/4/2617第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日疊加原理定解問題（I）的解是定解問題（II）的解與定解問題（III）的解之和。問題（II）的解可以用達朗貝爾公式來求解。故只須考慮求解問題（III）的解。我們利用齊次化原理來求解問題（III）的解。2023/4/2618第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日齊次化原理（Duhamel原理）設(shè)是（IV）的解，則正是的解。（III）2023/4/2619第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日下面來求出（III）的解的表達式令（IV）化為利用達朗貝爾公式可得于是有2023/4/2620第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日齊次化原理的證明需要用到參變量積分的求導(dǎo)2023/4/2621第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日2023/4/2622第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日定解問題（I）的解一維非齊次波動方程的Kirchhoff公式。2023/4/2623第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日例5：由例2，2023/4/2624第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日3.半無界弦的自由振動我們先考慮情形，即一端x=0固定的振動。希望能利用達朗貝爾公式來求解2023/4/2625第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日為此，我們要作奇延拓（有時也作偶延拓）2023/4/2626第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日為了得到半無界問題的解，只須限制當時，當時，當在x=0處有一個自由端，即則需要作偶延拓。2023/4/2627第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日例當當2023/4/2628第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日4.半無界弦的強迫振動作奇延拓2023/4/2629第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日考慮2023/4/2630第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日2023/4/2631第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日下面考慮情形的半無界振動。作變換2023/4/2632第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日例6：令2023/4/2633第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日2023/4/2634第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日解法二：由于外力、初始位移以及初始速度均為零，所以弦振動時波傳播只是受到邊界點x＝0的影響而向x軸正向傳播的右傳播波。由此，解具有如下形式根據(jù)邊界條件確定任意函數(shù)f：令故2023/4/2635第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日規(guī)定，當時2023/4/2636第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日例7：令2023/4/2637第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日當當2023/4/2638第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日注意2023/4/2639第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日6.三維波動方程的柯西問題2023/4/2640第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日球?qū)ΨQ情形所謂球?qū)ΨQ是指與無關(guān)，則波動方程可化簡為2023/4/2641第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日半無界問題2023/4/2642第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日這是關(guān)于v=ru的一維半無界波動方程.2023/4/2643第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日一般情形我們利用球平均法。從物理上看，波具有球?qū)ΨQ性。從數(shù)學上看，總希望把高維化為一維情形來處理，并設(shè)法化為可求通解的情況。所謂球平均法，即對空間任一點（x，y，z），考慮u在以（x，y，z）為球心，r為半徑的球面上的平均值其中為球的半徑的方向余弦，2023/4/2644第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日如把x,y,z看作參變量，則是r，t的函數(shù)，若能求出，再令則為此把波動方程的兩邊在以x，y，z為中心，r為半徑的球體內(nèi)積分，并應(yīng)用Gauss公式，可得（*1）2023/4/2645第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日同時有由（*1）(*2)可得（*2）關(guān)于r微分，得（*3）利用球面平均值的定義，（*3）可寫成（*4）2023/4/2646第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日（*4）又可改寫為2023/4/2647第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日通解為令r＝0，有代入上式，得（*5）關(guān)于r微分，再令r＝0，有（*6）2023/4/2648第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日接下來，求滿足初值的解。對（*5）關(guān)于t微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得2023/4/2649第49頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日2023/4/2650第50頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日從而有2023/4/2651第51頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日2023/4/2652第52頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日Poisson公式2023/4/2653第53頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日7.二維波動方程如果我們把上述問題中的初值視為重復(fù)推導(dǎo)Poisson公式的過程，將會發(fā)現(xiàn)所得Poisson公式中不含第三個變量。降維法：由高維波動方程的柯西問題的解來求解低維波動方程柯西問題的方法。由Hadamard最早提出的。2023/4/2654第54頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日計算上述曲面積分。由于初始數(shù)據(jù)與第三個變量無關(guān)，因此，在上的球面積分可由在圓域上的積分得到。2023/4/2655第55頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日因此2023/4/2656第56頁，共59頁，2023年，2月20日，星期日物理意義惠更斯原理（無后效性現(xiàn)象）三維情形二維情形波