幾類簡單的微分方程

幾類簡單的微分方程2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2—積分問題

—微分方程問題

推廣第6節(jié)幾類簡單的微分方程本節(jié)僅討論幾類能直接利用積分方法求解的簡單微分方程及其應(yīng)用.ch7章對微分方程的理論及其求解將進(jìn)行較為系統(tǒng)的介紹第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3第6節(jié)幾類簡單的微分方程6.1幾個(gè)基本概念6.2可分離變量的微分方程6.3一階線性微分方程6.4變量代換法6.5可降階的高階方程6.6應(yīng)用舉例第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系4解6.1、幾個(gè)基本概念第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系5解第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系6代入條件后知故開始制動(dòng)到列車完全停住共需第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系7微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實(shí)質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.分類1:常微分方程,偏微分方程.第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系8一階微分方程高階(n)微分方程分類2:微分方程的階:

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系9分類3:線性與非線性微分方程.分類4:單個(gè)微分方程與微分方程組.如果一個(gè)微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)作為整體的一次冪,則稱它為線性微分方程.

第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系10微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).微分方程的解的分類：(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系11(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.通解的圖象:積分曲線族.初始條件:用來確定任意常數(shù)的條件.第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系12過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系13解第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系14所求特解為補(bǔ)充:微分方程的初等解法:初等積分法.求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系156.2可分離變量的微分方程第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系16定義~~~~~~~~~~~~~~~~~~分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系17可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系18例4求解微分方程解分離變量兩端積分第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系19例5解第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系20一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.例如線性的;6.3一階線形微分方程第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系21齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系222.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊方程通解形式與齊方程通解相比:第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系23常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系24對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系25解例1第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系26求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出例2第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系276.4變量代換法2伯努利方程1齊次方程3其他的變量替換法舉例第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系286.4變量代換法的微分方程稱為齊次方程.(2)解法作變量代換代入原式可分離變量的方程(1)定義1齊次方程第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系29例1求解微分方程微分方程的解為解第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系30伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.2伯努利方程解法:需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系31求出通解后，將代入即得代入上式第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系32解例2第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系33解代入原方程原方程的通解為3其他的變量替換法舉例第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系34通解為解第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系35EX3.1第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系361解代入原方程原方程的通解第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系37解分離變量法得所求通解為第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系383.解第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系39(h,k為待例5求解可化為齊次方程的方程作變換原方程化為令,解出h,k

(齊次方程)定常數(shù)),第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系40求出其通解后,即得原方程的通解.原方程可化為令(可分離變量方程)第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系41解代入原方程得例方程變?yōu)榈?1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系42分離變量,得得原方程的通解第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系436.5可降階的高階方程1、型降階n階降到n-1階2、型3、型第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系44型代入原方程,得解法：特點(diǎn)：P(x)的(n-k)階方程可得通解.第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系45解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為例1第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系46型求得其解為原方程通解為特點(diǎn)：解法：第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系47解代入原方程得原方程通解為例2第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系486.6、微分方程應(yīng)用舉例應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題的基本步驟：（1）分析問題，建立起實(shí)際問題的數(shù)學(xué)

模型—常微分方程（組）（2）求解與分析這一數(shù)學(xué)模型，即求出相應(yīng)的常微分方程（組）的解，或是精確解或近似解，其中還包括分析解的特性第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系49（3）用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果（解的形式和數(shù)值定性分析等）回過頭去解決實(shí)際問題，從而預(yù)測某些自然現(xiàn)象甚至社會(huì)現(xiàn)象中的特定性質(zhì)，以便達(dá)到能動(dòng)地改變世界解決實(shí)際問題的目的。1.根據(jù)規(guī)律列方程，2.微分分析法（微元法），3.模擬近似法?；痉椒ǖ?9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日例1解衰變規(guī)律第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系51例2解第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系52第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系53流量系數(shù)孔口截面面積例3解重力加速度第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系54設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日可分離變量所求規(guī)律為第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系56AB例4第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系57解第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系58第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系59某車間體積為12000立方米,開始時(shí)空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含的的新鮮空氣,同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?例4’解設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后時(shí)刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系60的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系61OxyATS例5解第61頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系62OxyATS第62頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2008年12月17日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院