線性系統(tǒng)的根軌跡法

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)零極點(diǎn)分布決定。當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)也相應(yīng)變化，閉環(huán)極點(diǎn)也要改變（解根難）。研究閉環(huán)極點(diǎn)隨開(kāi)環(huán)某參數(shù)變化而變化的規(guī)律，進(jìn)而討論閉環(huán)系統(tǒng)性能的變化趨勢(shì)，是具有理論和實(shí)際工程意義的課題。（調(diào)參、設(shè)計(jì)等）。根軌跡的特點(diǎn)：圖解法，簡(jiǎn)單；特別適用于研究當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)性能的變化趨勢(shì)問(wèn)題；近似方法，不十分精確?！?.1根軌跡的基本概念根軌跡的概念：當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從0到∞變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上變化所描繪出的軌跡。例1：系統(tǒng)如右：根軌跡增益。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程為：特征根為：,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)（或）從零變化到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化情況如表4-1所示。表4-1、=0～時(shí)系統(tǒng)的特征根000-20.50.25-0.3-1.710.5-1-121-1+j-1-j52.5-1+j2-1-j2∞∞-1+j∞-1-j∞閉環(huán)零極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)之間的關(guān)系：例2：系統(tǒng)如右：●閉環(huán)零點(diǎn)=前向通道的零點(diǎn)+反饋通道的極點(diǎn)（不隨變化，易得到，不必專門(mén)研究。）閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和根軌跡增益都有關(guān)系（需專門(mén)研究）。根軌跡方程：例3、如右系統(tǒng)令1+G(s)=0,如右系統(tǒng)、設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可寫(xiě)為開(kāi)環(huán)增益于根軌跡間的關(guān)系：(者除外)（根軌跡方程）例4、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分布如右圖所示，分別討論是否在根軌跡上。任一點(diǎn)S,總可以有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，滿足模值條件，但它不一定在根軌跡上（不一定滿足相角條件）。滿足相角條件的S，也一定有對(duì)應(yīng)的使之滿足模值條件，所以相角條件是判定S在不在根軌跡上的充要條件。當(dāng)S滿足相角條件時(shí)，它一定在根軌跡上，所對(duì)應(yīng)的值，由模值條件確定?！?.2繪制根軌跡的基本法則1、起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)少于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)，則有條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。 起點(diǎn)：終點(diǎn)：2、根軌跡的分支數(shù)及對(duì)稱性：實(shí)軸上的根軌跡：從實(shí)軸最右端的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)算起，奇數(shù)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)到偶數(shù)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)間一定是根軌跡，否則一定不是證明：見(jiàn)右圖為例說(shuō)明∴S是根軌跡上的點(diǎn)。定理：當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)有2個(gè)，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)有1個(gè)，并且在復(fù)平面上有根軌跡時(shí)，則復(fù)平面上的根軌跡一定是以零點(diǎn)為圓心的圓弧。證明:（見(jiàn)下面兩頁(yè)）要求：對(duì)于二階系統(tǒng)的根軌跡，一定要能畫(huà)的熟練準(zhǔn)確。例：例：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,畫(huà)出當(dāng)時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡，證明根軌跡是圓，求出圓心和半徑。解：（實(shí)軸上的根軌跡：根位于復(fù)平面時(shí)，有）分離點(diǎn)處，有解出：性能分析：快：穩(wěn)：全過(guò)程穩(wěn)定準(zhǔn)：4、根之和，閉環(huán)根之和保持一個(gè)常數(shù)證明：即：●，在s平面上有一部分極點(diǎn)隨變化向左移,則另一部分必然向右移，移動(dòng)的總增量為0，保證根之和為常數(shù)。如右根軌跡：25、漸近線：n-m個(gè)極點(diǎn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的規(guī)律?！皬V義重心”如右根軌跡： 將閉環(huán)極點(diǎn)、閉環(huán)零點(diǎn)（不一定是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)）標(biāo)在[s]平面上，便可以計(jì)算閉環(huán)性能。注：1）、根軌跡法研究的是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化規(guī)律。2）、根軌跡法的目的：在于通過(guò)研究參數(shù)變化、根變化的規(guī)律，來(lái)研究閉環(huán)系統(tǒng)性能的變化規(guī)律。例1、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：Ⅰ、作時(shí)的根軌跡。解：1、起點(diǎn)、終點(diǎn)2、分支數(shù)、對(duì)稱性3、實(shí)軸上的根軌跡4、根之和5、漸近線： 用根之和解釋為什么根軌跡是這樣6、分離點(diǎn)坐標(biāo)d分離點(diǎn)d的一般公式：即有：試根：（1）、現(xiàn)在根軌跡上判斷一下d的大致范圍：-0.5~-1之間。 （2）、先取=-0.5;上面方程不平衡。再取=-0.6;上面方程反相不平衡（選擇方向?qū)?，但過(guò)頭了）選=-0.55;方程基本平衡（）（3）、d的精度到以內(nèi)即可。II、分析當(dāng)變化過(guò)程中，閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的變化規(guī)律。系統(tǒng)始終穩(wěn)定。

III、確定兩復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部為-1時(shí)，標(biāo)出閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)，定性分析其性能。系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能主要取決于一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)實(shí)際響應(yīng)對(duì)應(yīng)的應(yīng)比只有時(shí)要?。ū戎拷c(diǎn)）。具體指標(biāo)的數(shù)值可以用P160相應(yīng)公式計(jì)算。求一對(duì)復(fù)根實(shí)部為-1時(shí)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益及三個(gè)根的坐標(biāo)。解法一、①先由根之和法則解出單根②由模值條件求出相應(yīng)的③由長(zhǎng)除法解出、坐標(biāo)：依題意，應(yīng)有：解出：∴商為：解出：解法二：依題意有：左邊展開(kāi)式右邊展開(kāi)式比較系數(shù)有：聯(lián)立解出：例2、系統(tǒng)如右，，畫(huà)根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡：，漸近線：分離點(diǎn)：經(jīng)整理得故，，，顯然分離點(diǎn)位于實(shí)軸上間，故取。7、與虛軸地交點(diǎn)①是臨界穩(wěn)定點(diǎn)----勞斯表第一列出現(xiàn)0的點(diǎn)②s=j是特征根令實(shí)部 虛部 性能變化趨勢(shì)： 8、出射角、入射角：出射角：根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角入射角：根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角例3設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：利用相角條件：由（a）：由(b)：例4如右圖所示系統(tǒng)，，畫(huà)閉環(huán)根軌跡。解：實(shí)軸上的根軌跡：起始角: 與虛軸交點(diǎn)：實(shí)部：虛部：性能變化趨勢(shì)：2、閉環(huán)極點(diǎn)的確定1）、給定，確定根軌跡上全部極點(diǎn)的位置。例：如右系統(tǒng)：先畫(huà)出系統(tǒng)根軌跡如右：（已知=4）解1、先在復(fù)數(shù)根軌跡上試根：移動(dòng)的位置，使?jié)M足模值方程：得：長(zhǎng)除：得：解2、先在實(shí)軸上試根（求出分離點(diǎn)d處對(duì)應(yīng)的）可判定時(shí)，一定在實(shí)軸上。用模值條件，移動(dòng)，得出：利用根之和，合起來(lái)向左移動(dòng)的總量為：因分別向右移動(dòng)。解3、試出兩根：解出：例：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：畫(huà)出Ｋ由時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的概略的根軌跡解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：1、軌跡起點(diǎn)、終點(diǎn)、分支數(shù)：起于，終于處，共有4條軌跡分支。2、實(shí)軸上的根軌跡：（0，-20）3、漸近線：4、出射角：5、分離點(diǎn)：由分離點(diǎn)公式有：（之間必有分離點(diǎn)）即：當(dāng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)數(shù)時(shí)，一般得用試探法。利用試探法解出:d=-15.16、與虛軸的交點(diǎn)：至此，可以畫(huà)出根軌跡的概略圖,(如前頁(yè)示)可以用之分析K↗時(shí)的特性。注：用以上法則，只能概略的畫(huà)出根軌跡來(lái)(誤差20%)并非每一題全部法則都要用。開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的位置有時(shí)略有變化，根軌跡可能有顯著的不同，要依據(jù)情況具體分析而確定（關(guān)鍵在于分離點(diǎn)的確定）如：例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右;,畫(huà)根軌跡解;實(shí)軸上軌跡：（）漸近線：虛部：實(shí)部：聯(lián)立（1）、（3）兩式，根軌跡如圖：借助于根之和的法則分析性能：?jiǎn)栴}：若把上結(jié)構(gòu)圖化為如右形式：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋喝糇鲌D，↗，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位置也在變，很難研究，對(duì)此問(wèn)題，可用廣義根軌跡法來(lái)研究?！?.3廣義根軌跡法1、參數(shù)根軌跡[94年西工大碩研考題]（15分）例1、已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制的根軌跡，并求出系統(tǒng)在臨界阻尼比（）的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：（1）閉環(huán)特征方程：做等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)做根軌跡：（如右）分離點(diǎn)： 解得：漸近線： 虛軸交點(diǎn)：令s=j（2）時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)位于分離點(diǎn)處，對(duì)應(yīng)a值是： , ∴另一極點(diǎn)位于∴例2單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為求變化的根軌跡解法一：?。孩俜蛛x點(diǎn): ②與虛軸交點(diǎn):令 ③終止角: 解法二、 取 令(相當(dāng)于)畫(huà)出的根軌跡與前同，只是箭頭方 向反向即可。性能：（注：有一閉環(huán)零點(diǎn)z=-26）例3、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，K=4,1)、，繪制根軌跡。2）、當(dāng)解：令 繪制根軌跡如右圖所示定的極點(diǎn):相應(yīng)有 比較系數(shù)：也可使用模值條件：例、已知系統(tǒng)特征方程解：取等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：分離點(diǎn)方程：分離點(diǎn)：a取值00.5159分離點(diǎn)分離點(diǎn)數(shù)0000121200002、零度根軌跡----------實(shí)質(zhì)上正反饋時(shí)的根軌跡根軌跡方程：零度根軌跡的繪制法則：①實(shí)軸上的根軌跡：從實(shí)軸右端起，偶數(shù)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)到奇數(shù)開(kāi)環(huán)零極 點(diǎn)之間。②漸近線 ③起始角：其余同常規(guī)根軌跡。例：系統(tǒng)如右，分別畫(huà)出正、負(fù)反饋時(shí)的根軌跡。負(fù)反饋時(shí)正反饋時(shí)實(shí)軸上軌跡：漸近線： 起始角： 分離點(diǎn)： 從相對(duì)的觀點(diǎn)看根軌跡：已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求分離點(diǎn)d： a=9時(shí)： 可視為系統(tǒng)的特征式：相當(dāng)于變化時(shí)描述出來(lái)的根軌跡系統(tǒng)在d=-3出的分離角問(wèn)題變化為系統(tǒng)的起始角問(wèn)題時(shí)的根軌跡部分，可以看作是系統(tǒng)時(shí)的零度根軌跡a=13時(shí):當(dāng)兩支根軌跡在相遇時(shí)由根之和：由根之積： 根軌跡的對(duì)稱性：開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)均為偶數(shù)且對(duì)稱分布于某縱軸左右，則根軌跡對(duì)該縱軸對(duì)稱。例：?jiǎn)挝环答侀_(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：畫(huà)根軌跡解：1、實(shí)軸根軌跡（-4，0）2、漸近線3、“十”豎線上軌跡的確定：有極點(diǎn)分布對(duì)稱于，根軌跡應(yīng)對(duì)應(yīng)跑又由根之和，對(duì)稱走，只能上下走利用相角條件，之間部分是根軌跡這樣可能出現(xiàn)以下三種情況：分析：可以有與虛軸交點(diǎn)、分離點(diǎn)來(lái)確定是哪一種。4、與虛軸交點(diǎn)： 實(shí)部：虛部：5、分離點(diǎn)d：解法一：解出：解法二：分析復(fù)平面分離點(diǎn)A的特征→是當(dāng)取極大值時(shí)的點(diǎn)。由模值條件： 令：∴A點(diǎn)坐標(biāo)：最后作出根軌跡如上頁(yè)圖示：注：當(dāng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布對(duì)稱于某c而且零極點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)時(shí)，一般根軌跡是對(duì)稱于c的。時(shí),系統(tǒng)性能分析：（注意各個(gè)階段不同閉環(huán)極點(diǎn)在各軌跡分支上的相對(duì)位置）例：已知：K=1,T=0.5,變化，求根軌跡，討論變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解：令終止角：與虛軸交點(diǎn)：做根軌跡如右圖所示：可見(jiàn)：減小對(duì)改善系統(tǒng)性能有利。當(dāng)變化時(shí)，做零度根軌跡。分離點(diǎn)：試根終止角：做根軌跡如圖所示可見(jiàn)時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：繪出系統(tǒng)當(dāng)變化時(shí)的零度根軌跡，180度根軌跡。解：依傳遞函數(shù)，開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布如右圖示∵∵；；；∴說(shuō)明：進(jìn)行s平面的坐標(biāo)平移（左右）后，系統(tǒng)的根軌跡形狀不變，也只是平移而已，為討論方便，將新的虛軸平移到對(duì)稱軸s=-2處：（）由（1） （2）180根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：由相角條件判定虛軸上：求分離點(diǎn)可見(jiàn)，是三重分離點(diǎn)，（即是當(dāng)取某一值時(shí)的四重根）可驗(yàn)證如下：由（2）：：即： 得證。求起始角：∴做出180根軌跡如上頁(yè)紅筆畫(huà)出做出0根軌跡如上頁(yè)藍(lán)筆畫(huà)出。還可以利用相角條件在根軌跡上取一點(diǎn)加以驗(yàn)證：如取0根軌跡上的一點(diǎn)：對(duì)稱于+45線的零點(diǎn)對(duì)或極點(diǎn)對(duì)相應(yīng)的矢量相角之和分別都是90。兩對(duì)零點(diǎn)共，兩對(duì)極點(diǎn)共。相角代數(shù)之和為0，∴在0根軌跡上。明顯的結(jié)論：1、根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。2、若零極點(diǎn)分布關(guān)于一縱軸對(duì)稱，零極點(diǎn)都是偶數(shù)，則根軌跡對(duì)稱于該縱軸。3、若零極點(diǎn)分布又關(guān)于一點(diǎn)（對(duì)稱點(diǎn)）對(duì)稱，零極點(diǎn)都是偶數(shù)，則根軌跡關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱?！?.4利用根軌跡分析系統(tǒng)性能例、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，變化，畫(huà)出閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡，并分別確定：（1）系統(tǒng)穩(wěn)定且為欠阻尼時(shí)的開(kāi)環(huán)增益K的范圍；（2）復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)（）時(shí)的K值及閉環(huán)極點(diǎn)位置；（3）當(dāng)一個(gè)根=-5時(shí)，其余根的位置及相應(yīng)K值；（4）=4時(shí)，閉環(huán)根的位置，并由零點(diǎn)極點(diǎn)法求，。解、根軌跡：實(shí)軸根軌跡：[-∞，-4]，[-2，0]漸近線分離點(diǎn)：虛軸交點(diǎn)（1）、依題意，要求0<<1,（對(duì)應(yīng)根軌跡分離點(diǎn)到虛軸交點(diǎn)之間的部分）∴有：（2）、（）時(shí)，設(shè)共軛復(fù)根為：依根之和，∴應(yīng)有：比較系數(shù)：（3）=-5時(shí)，∴（4）=4時(shí)，必須先試出一個(gè)根（此時(shí)以先求單根為簡(jiǎn)單）由于，存在一對(duì)共軛復(fù)根且較靠近d，在-4之左不遠(yuǎn)。令試根求出：解根：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，有在閉環(huán)零點(diǎn)z=-4由閉環(huán)零極點(diǎn)分布位置，可以看出：將作為主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)是合理的：∴例、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：I做出根軌跡（變化）II確定使閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)（）時(shí)的值求閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。解：依題： 作根軌跡如右圖所示：II 依幾何關(guān)系，閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)為（）比較常數(shù)項(xiàng)：III 估算性能：把由于零極點(diǎn)對(duì)消丟掉的閉環(huán)零極點(diǎn)補(bǔ)上，用零點(diǎn)極點(diǎn)法估算性能：例PID控制系統(tǒng)如右已知討論變化時(shí)，系統(tǒng)采用比例P/比例＋微分PD/比例＋積分PI/比例＋微分＋積分PID/控制方案時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。解（１）比例控制時(shí)：（2）比例+微分時(shí):分離點(diǎn)：（3）比例+積分時(shí)漸近線（4）比例＋微分＋積分時(shí)：起始角： 終止角：經(jīng)驗(yàn)算根軌跡與虛軸無(wú)交點(diǎn)。分析I：（1）系統(tǒng)性能隨的變化規(guī)律：（2）正反饋系統(tǒng)未必都不穩(wěn)定，只要G(s)H(s)本身有一定的穩(wěn)定儲(chǔ)備量（此時(shí)無(wú)積分環(huán)節(jié)，要求差）正反饋的量又不大到一定值，系統(tǒng)可以穩(wěn)定（至少?gòu)睦碚撋现v是這樣），實(shí)際系統(tǒng)中，由于模型是忽略了次要因素的理想簡(jiǎn)化模型，若加上正反饋，常常不穩(wěn)定，所以一般地講，正反饋時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）180軌跡和0軌跡構(gòu)成連續(xù)的圖形（求出的分離點(diǎn)若不是180軌跡分離點(diǎn)，便可能是0軌跡分離點(diǎn)。）例2、p101作業(yè)3-11系統(tǒng)及響應(yīng)曲線如右：判斷每種情況下系統(tǒng)兩個(gè)反饋的極性。解：分析所有情況，得出上面結(jié)果?？梢杂糜谂蓬}時(shí)的查錯(cuò)和故障分析。例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右要使閉環(huán)兩個(gè)根=-1.6±j4確定相應(yīng)的a,,解法一：用相角條件依圖有∴由根之和：∴得：解法二：系數(shù)比較法：比較系數(shù)：聯(lián)立求解：解法三：代入法：令：（運(yùn)算中只?。嗦?lián)立求解：由根之和：解得：定相應(yīng)的閉環(huán)零點(diǎn)：閉環(huán)極點(diǎn)：用零點(diǎn)極點(diǎn)法可計(jì)算出：系統(tǒng)性能分析與估算（補(bǔ)充）系統(tǒng)性能定性分析：思路：開(kāi)環(huán)增益(等效)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)根軌跡系統(tǒng)性能定量估算：思路：GH(s)根軌跡定零極點(diǎn)定主導(dǎo)零極點(diǎn)例：系統(tǒng)如右，求系統(tǒng)具有最小阻尼時(shí)K值及相應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能r(t)=t，?解：I 畫(huà)根軌跡：分離點(diǎn)對(duì)應(yīng)出現(xiàn)重根的情況，此時(shí)令即：II 做出根軌跡如右圖（是一個(gè)圓）；找出最?。ㄗ畲螅┑拈]環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)增益=6K=2III 標(biāo)出閉環(huán)零點(diǎn): -3; -1Ⅳ 確定主導(dǎo)極點(diǎn)：=-1±j0.707 主導(dǎo)零點(diǎn)： z=-1V近似估算：由P185公式：由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：特別注意：（1）：閉環(huán)零點(diǎn)要由s分子來(lái)定，畫(huà)根軌跡時(shí)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)不一定是閉環(huán)零點(diǎn)。（2）：開(kāi)環(huán)有零極點(diǎn)相消時(shí)，消去的極點(diǎn)（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）也是閉環(huán)極點(diǎn)，不能丟掉。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，要求：1）、作出當(dāng)變化時(shí)的根軌跡2）、確定使系統(tǒng)阻尼比達(dá)到最小時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)位置（，）和相應(yīng)的a值。3）、計(jì)算此時(shí)的速度誤差系數(shù)，并求當(dāng)輸入r(t)=3+2t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：1）等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：作根軌跡如右圖所示：2）依圖，要求的閉環(huán)極點(diǎn)位置為此時(shí)：比較：3）∴第四章小結(jié)模型根軌跡方程：G(s)H(s)=–1注：（1）根軌跡法解題的前提條件：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)已知。（2）在根軌跡上確定了閉環(huán)極點(diǎn)后，還要由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖確定全部閉環(huán)零點(diǎn)，才能進(jìn)一步估算動(dòng)態(tài)性能。（3）出現(xiàn)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)相消時(shí)，注意找全固定的閉環(huán)零極點(diǎn)。1-4章習(xí)題課一、單項(xiàng)選擇題1、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)（a>0,b>0）,閉環(huán)穩(wěn)定條件是：①、a>b ②、b>a③、a=b ④、b>=a2、單位反饋系統(tǒng)r(t)=t時(shí)，=，說(shuō)明系統(tǒng)①、中有一個(gè)環(huán)節(jié) ②、是0型系統(tǒng)③、中有兩個(gè)環(huán)節(jié) ④、開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定3、穩(wěn)態(tài)速度誤差的正確含意是：① r(t)=A*1(t)時(shí)，輸出速度與輸入速度之間的穩(wěn)態(tài)誤差；② r(t)=A*1(t)時(shí)，輸出位置與輸入位置之間的穩(wěn)態(tài)誤差；③ r(t)=At時(shí)，輸出位置與輸入位置之間的穩(wěn)態(tài)誤差；r(t)=At時(shí)，輸出速度與輸入速度之間的穩(wěn)態(tài)誤差；4、閉環(huán)零點(diǎn)影響系統(tǒng)的：①、穩(wěn)定性 ②、③、 ④、5、I型單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)增益為：①、與K有關(guān) ②、與r(t)形式有關(guān)③、1 ④、與各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)有關(guān)6、單位反饋系統(tǒng)，則其分別是①、 ②、③、 ④、二、多項(xiàng)選擇題1、典型二階系統(tǒng)h(t)如右圖所示A、是的系統(tǒng) 、開(kāi)環(huán)增益K=2C、=80% D、E、